辽宁省盘锦市第二高级中学2012届高三第一次模拟考试数学（理）试题

考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、考号填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数对应点在轴负半轴上，则实数的值是
A. B. C. D.
3. 右图是2011年在某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为
A. 84,4.84 B. 84,1.6
C. 85,1.6 D. 85,4
4.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
5．在等比数列中，且前n项和，则项数n等于
A．4 B．5 C．6 D．7
6．的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量， 若，则角B的大小为
A． B． C． D．
7．设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和直线所围成三角形的边界及内部．当时，的最大值是
A．24 B．25 C．4 D．7
8．已知中，，点为边所在直线上的一个动点，则满足（ ）
A.最大值为16 B.最小值为4 C.为定值8 D.与的位置有关
如图为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的全面积为
A. B.
C. D.
10．下列四个命题中，正确的是
A．对于命题，则，均有；
B．函数切线斜率的最大值是2；
C．已知函数则
D．函数的图象可以由函数的图象仅通过平移变换得到；
11. 已知函数的定义域为导函数为，则满足的实数的取值范围为
A. B. C. D.
12. 在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且，若侧棱SA=，则正三棱锥 S-ABC外接球的表面积为
A．12 B．32 C．36 D．48
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为,的值为
14、已知实数，执行如右图所示的程序框图，则输出的不小于47的概率为
15.设函数（x＞0），观察：
f2(x)=f(f1（x）)=
f3(x)=f(f2（x）)=
f4(x)=f(f3（x）)=
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fm（x）=f（fm-1（x））=__________.
16. 函数(，), 有下列命题：
①的图象关于y轴对称； ②的最小值是2 ；
③在上是减函数，在上是增函数； ④没有最大值．
其中正确命题的序号是 . （请填上所有正确命题的序号）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项.
( I ) 求数列的通项公式；
(II) 若数列满足，且，求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
19．(本小题满分12分)
四棱锥的底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点.
（Ⅰ）证明//平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在点，使⊥平面？若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的长轴长为4，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．
（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）求动圆圆心轨迹的方程；
（Ⅱ） 在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，与共线，且，求四边形面积的最小值．
21．（本小题满分12分）已知函数，．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；
（Ⅱ）证明: 当时，求证：；
（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立,求的最大值．
22. 选修4－4：坐标系与参数方程（本小题10分）
已知直线的极坐标方程为圆M的参数方程为（其中为参数）．
（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2） 求圆M上的点到直线的距离的最小值．
盘锦市第二高级中学2012届高三第一次模拟考试
理科数学答案
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为()，
（Ⅱ）由， ∴，
．
．……… 12分
18、(本小题满分12分)
红队至少两人胜的事件有DE，DF，EF，DEF
∴P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF)
= =0.55 …………………6分
（Ⅱ）由已知
0 1 2 3
0.1 0.35 0.4 0.15
∴
设 是平面BDE的一个法向量，
则由 …………………3分
∵ …………………4分
∴
故二面角--的余弦值为 …………………8分
则，
由
∴
即在棱上存在点，，使得⊥平面 ------------12分
（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为. ----------------------------6分
由，消去可得
由抛物线定义可知：
-------------------9分
由消去得，
令，∵则 ,则
因为 , 所以
所以四边形PMQN面积的最小值为8 ------------------------------12分
21．解:（Ⅰ）,
所以 ． ---------------1分
（Ⅱ）当时，．
由（Ⅰ）知：当时，，即．
所以对任意恒成立．
令，则，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以．
故整数的最大值是． -----------------12分
（2）------------8分
∴当时，。----------------10分