江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省吴江2020-2021学年高一下学期期中数学试题
一、单选题（共8题；共40分）
1. 下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于false的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为false；⑥若false，则false是第四象限角.其中正确命题的个数是（ ）
A.?1个? B.?2个 C.?3个 D.?4个
2. 若false为虚数单位，复数false满足false，则false的最大值为（ ）
A. false B. false C. false D. false
3.已知函数false，false为其图像的对称中心，false，false是该图像上相邻的最高点和最低点，若false，则false的单调递增区间是（ ）
A. false，false B. false，false
C. false，false D. false，false
4.欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：false（false为自然对数的底数，false为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，false（ ）
A. 1 B. 0 C. -1 D. false
5.甲船在湖中false岛的正南false处，false，甲船以false的速度向正北方向航行，同时乙船从false岛出发，以false的速度向北偏东false方向驶去，则行驶半小时，两船的距离是（ ）
A. false B. false C. false D. false
6.已知false，且false，false，则false的值是（ ）
A. false B. false C. false D. false
7.在false中，角false，false，false所以对的边分别为false，false，false，若false，false的面积为false，false，则false（ ）
A. false B. false C. false或false D. false或3
8.已知false中，false，false，false，false为false所在平面内一点，且false，则false的值为（ ）
A. -4 B. -1 C. 1 D. 4
二、多选题（共4题；共20分）
9.已知复数false的实部与虚部之和为-2，则false的取值可能为（ ）
A. false B. false C. false D. false
10.在false中，false.若false，则false的值可以等于（ ）
A. false B. false C. 2 D. 3
11.甲，乙两楼相距false，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为false，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为false，则下列说法正确的有（ ）
A.?甲楼的高度为false B.?甲楼的高度为false
C.?乙楼的高度为false D.?乙楼的高度为false
12.已知函数false，则下列说法正确的是（ ）
A.?最小正周期是false B.?false是偶函数
C.?false在false上递增 D.?false是false图象的一条对称轴
三、填空题（共4题；共20分）
13.定义运算false，则符合条件false的复数false对应的点在第________象限.
14.在false中，false，false，若false，false，则false的取值范围为________.
15.若函数false的图象关于点false对称，则实数false__________.
16.在false中，角false，false，false的对边false，false，false为三个连续偶数，且false，则false__________，最大角的余弦值为__________.
四、解答题（共6题；共70分）
17.已知false，向量false，false.
（1）若向量false与false平行，求false的值；
（2）若向量false与false的夹角为锐角，求false的取值范围.
18.已知函数false的图象关于直线false对称，且图象相邻两个最高点的距离为false.
（1）求false和false的值；
（2）若false，求false的值.
19.在false中，角false，false，false的对边分别是false，false，false，且false.
（1）若false，false，求false的值；
（2）求false的取值范围.
20.在锐角false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false.
（1）若false，false，求false；
（2）求false的取值范围.
21.在平面直角坐标系中，false为坐标原点，false、false、false三点满足false.
（1）求证：false、false、false三点共线；
（2）已知false、false，false，false的最小值为5，求实数false的值.
22.如图，某登山队在山脚false处测得山顶false的仰角为false，沿倾斜角为false（其中false）的斜坡前进false后到达false处，休息后继续行驶false到达山顶false.

（1）求山的高度false；
（2）现山顶处有一塔false从false到false的登山途中，队员在点false处测得塔的视角为false（false）若点false处高度false，则false为何值时，视角false最大？

答案解析部分
一、单选题（共8题；共40分）
1.【答案】 B
【考点】象限角、轴线角，弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】对于①：钝角是大于false小于false的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；
对于②：锐角是大于false小于false的角，小于false的角也可能是负角. 故②错误；
对于③：false显然是第一象限角.故③错误；
对于④：false是第二象限角，false是第一象限角，但是false.故④错误；
对于⑤：时针转过的角是负角.故⑤错误；
对于⑥：因为false，所以false，是第四象限角.故⑥正确.
综上，①⑥正确.
故选：B.
【分析】利用象限角的判断方法结合角度制与弧度制的互化方法，进而结合已知条件找出正确命题的个数.
2.【答案】 D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解：设false，则false，
因为false，
所以false，
所以false在如图所示有阴影上，

因为false表示false到点false的距离，而false到false的距离为false，大圆的半径为false，
所以false的最大值为false.
故选：D.
【分析】设false，再利用复数的加法运算法则结合复数的模求解公式，进而结合已知条件因为false，推出false，再利用复数的模的几何意义，得出false表示false到点false的距离，而false到false的距离为false，大圆的半径为false，再结合几何法求出false的最大值.
3.【答案】 D
【考点】函数的单调性及单调区间，图形的对称性
【解析】【解答】因为false为图象false的对称中心，所以false，
因为false，false是该图象上相邻的最高点和最低点，false，
所以false，∴false，false，
因此false，
∵false，∴false，
∴false，
有false，false，
化简得false，false.
故选：D.
【分析】因为false为图象false的对称中心，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的对称中心，所以false，因为false、false是该图象上相邻的最高点和最低点，false，所以false，进而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出false的值，从而结合false的取值范围求出false的值，进而求出正弦型函数的解析式，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的单调递增区间.
4.【答案】 C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】根据false，
可知false.
故选：C.
【分析】利用欧拉公式结合代入法和诱导公式，进而求出false的值.
5.【答案】 C
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图，

行驶半小时后，设甲船到达false，乙船到达false，依题意可知false，
false，且false，在false中，由余弦定理得：
false，
所以，false，即半小时后，两船的距离是false.
故选：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出行驶半小时后两船的距离.
6.【答案】 A
【考点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】∵false，false，
∴false，
∴false，
∵false，false，false，
∴false，false，
∴false，
∴false.
故选：A.
【分析】利用已知条件结合角之间的关系式，再利用两角和的正切公式，进而求出角false的正切值，再利用角之间的关系式结合两角和的正切公式，进而求出false的值，再利用false，false，false，从而结合不等式的基本性质，进而求出角false的取值范围，从而选出满足要求的角false的值.
7.【答案】 D
【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【解答】由false，由正弦定理得false，又false，
得false，得false，得false，又false，得false，
则false，则false，由余弦定理false，
得false，得false或false.
故选：D.
【分析】利用已知条件结合正弦定理，和三角形面积公式，得出false的值，再利用false，进而求出false的值，再结合代入法求出角false的正弦值，再利用同角三角函数基本关系式，进而求出角false的余弦值，再结合余弦定理，进而求出false的值.
8.【答案】 B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】false.
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则，进而结合数量积的定义，从而求出数量积的值.
二、多选题（共4题；共20分）
9.【答案】B，C
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】由题得false，
所以false，
所以false，
所以false或false，
因为false，
所以false，false，false.
故选：BC
【分析】利用已知条件复数false的实部与虚部之和为-2，再结合复数的实部与虚部的定义，得false，再利用二倍角的余弦公式，进而解一元二次方程求出角false的余弦值，再利用角false的取值范围，进而求出满足要求的角false的值.
10.【答案】A，D
【考点】两角和与差的正弦公式，运用诱导公式化简求值，正弦定理
【解析】【解答】因为false，
所以false，
在false中，因为false，
所以false，
即false，
解得false或false，
当false时，因为false，
所以false，false，false，
false，false，false，
当false时，由正弦定理得：false，
所以false，
综上所述：false或false.
故选：AD
【分析】利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式和两角和的正弦公式，进而推出false，在false中，因为false，所以false，解得false或false，再利用分类讨论的方法结合已知条件，再结合正弦定理，进而求出false的值.
11.【答案】A，C
【考点】余弦定理的应用
【解析】【解答】如图示，

在false中，false，false，
∴false，
在false中，设false，
由余弦定理得：false，即false，
解得：false，
则乙楼的高度分别为false.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合余弦定理，进而求出甲楼和乙楼的高度.
12.【答案】A，B，C
【考点】函数单调性的判断与证明，函数奇偶性的判断，三角函数的周期性及其求法，图形的对称性
【解析】【解答】false
false.
对选项A，false，故A正确.
对选项B，false，false，
所以false是偶函数，故B正确.
对选项C，false，false，由余弦函数的单调性可知C正确.
对选项D，false或false，故D错误.
故选：ABC
【分析】利用同角三角函数基本关系式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，将函数转化为余弦型函数，再利用余弦型函数的最小正周期公式求出余弦型函数的最小正周期，再利用偶函数的定义判断出余弦型函数为偶函数，再利用换元法将余弦型函数转化为余弦函数，再利用余弦函数的图像判断出余弦型函数在给定区间的单调性，再结合余弦函数的图像求出余弦型函数得一条对称轴，从而选出说法正确的选项.
三、填空题（共4题；共20分）
13.【答案】 二
【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由题意将false，化简得false，
false，
所以false，
所以复数false对应的点在第二象限.
故答案为：二.
【分析】利用定义运算false，结合已知条件false，化简得false，再利用复数的乘除法运算法则求出复数false，再利用复数与共轭复数的关系，进而求出复数false的共轭复数，再利用复数的几何意义，进入求出共轭复数对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限.
14.【答案】false
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵false，false，
∴false，
∵false，∴false，
∴false，即false，
∴false，
设false，则false，代入false得：
false，整理得：false，
要使关于false的方程有根，只需false，
解得：false，
所以false的取值范围为false.
故答案为：false.
【分析】利用已知条件结合数量积的定义，得出false的值，再利用已知条件结合数量积的运算法则，得出false，设false，则false，代入false，整理得false，要使关于false的方程有根结合判别式法，进而求出false的取值范围，从而求出false的取值范围.
15.【答案】 3
【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，图形的对称性
【解析】【解答】由题得false，
所以false，
所以false，
当false时，函数false的图象关于点false对称.
故答案为：3.
【分析】利用函数false的图象关于点false对称，得false，进而求出false的值.
16.【答案】8；false
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】解：设false，false，false分别为false，false，false，
因为false，所以false，即false，
由正弦定理得false，
所以false，化简得false，
所以false，
化简，整理得false，解得false或false（舍去），
所以false，false，false，
所以角false最大，
所以false.
故答案为：8，false.
【分析】 在false中，因为角false，false，false的对边false，false，false为三个连续偶数，所以设false，false，false分别为false，false，false，因为false，所以false，再结合二倍角的正弦公式和正弦定理、余弦定理，化简得false，所以false，化简整理得false，进而求出false的值，从而求出false，false，false的值，再利用大边对应大角，所以角false最大，再利用余弦定理求出角false的余弦值.
四、解答题（共6题；共70分）
17.【答案】（1）解：由向量false，false，
所以false，
又false与false平行，所以false，
解得false或false.
（2）解：若向量false与false的夹角为锐角，
则false，
解得false；
由（1）知，当false时，false与false平行，
所以false的取值范围是false.
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算和共线向量的坐标表示，进而求出false的值.
（2）利用数量积求向量夹角公式结合向量false与false的夹角为锐角，则false，从而求出false的取值范围，由（1）知，当false时，false与false平行，从而求出实数false的取值范围.
18.【答案】（1）解：∵false图象相邻两个最高点的距离为false，
∴false的最小正周期为false，
∴false，又false解得：false.
∵false的图象关于直线false对称，
∴false，又false，解得：false.
（2）解：由（1）知，false，
∴false，所以false.
因为false，所以false，
所以false，
所以false
false
false
false.
【考点】两角和与差的余弦公式，三角函数的周期性及其求法，图形的对称性，同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1)利用函数图象相邻两个最高点的距离为false，从而求出正弦型函数的最小正周期，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出false的值，再利用函数图象关于直线false对称结合false的取值范围，进而求出false的值.
（2）由（1）知函数的解析式为false，再结合代入法得出false，再利用角false的取值范围结合同角三角函数基本关系式，进而求出false的值 ， 再利用角之间的关系式结合两角差的余弦公式，进而求出false的值.
19.【答案】（1）解：∵false，false，∴false，即false.
又false，由余弦定理得：false，
∴false，
配方得：false，
所以false.
（2）解：∵false，∴false，∴false，
∴false
false
false，
∵false，
∴false，
∴false的取值范围是false.
【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的定义，进而求出false的值，再利用余弦定理结合配方法，进而求出false的值.
（2）利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，得出false，再利用两角差的正弦公式结合三角形这角false的取值范围，进而结合余弦型函数的图像，从而求出false的取值范围.
20.【答案】（1）解：由false，得false，得false，得false，
在false，∴false，
由余弦定理false，
得false，
即false，解得false或false.
当false时，false，false，即false为钝角（舍），
故false符合.
（2）解：由（1）得 false，
所以false，
∴false，
∵false为锐角三角形，∴false，∴false，
∴false，
∴false，
故false的取值范围是false.
【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，正弦定理，余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理得出角false的余弦值，再利用三角形中角false的取值范围，进而求出角false的值，再利用余弦定理，进而求出false的值，再利用分类讨论的方法，进而找出满足要求的false的值.
（2）由（1）得false，再利用三角形内角和为180度的性质，所以false，再利用已知条件结合正弦定理和两角差的正弦公式，从而得出false，再利用三角形false为锐角三角形，从而求出角false的取值范围，再结合正弦型函数的图像，进而求出false的取值范围.
21.【答案】（1）证明：因为false，
所以false，又false与false有公共点false，
所以false，false，false三点共线.
（2）解：因为false，false，
所以false，false，
故false，false，
从而false
false，
关于false的二次函数的对称轴为false，
因为false，所以false，又区间false的中点为false.
①当false，即false时，当false时，false，
由false得false或false，又false，所以false；
②当false，即false时，当false时，false，
由false得false，又false，所以false.
综上所述：false的值为-3或false.
【考点】向量的共线定理，平面向量的坐标运算，数量积的坐标表达式，三点共线
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三角形法则，得出false，再结合向量共线定理，所以false，又因为false与false有公共点false，所以false，false，false三点共线.
（2）利用已知条件结合向量的坐标表示，进而求出向量的坐标，再结合平面向量基本定理结合向量的坐标运算，得出false，false，再利用数量积的坐标表示和向量的模的坐标表示，得出false，false，从而结合同角三角函数基本关系式，进而求出函数false的解析式，再利用二次函数的图像求最值的方法结合分类讨论的方法，进而求出函数false的最小值，再结合函数false的最小值为5，进而求出false的值.
22.【答案】（1）解：因为false，false为锐角，所以false，false，
所以false
false，
在false中，过false作false于false，
因为false，
所以false，
在false中，false，
所以山的高度为false.

（2）解：过false作false于false，因为false，所以false，
因为false在false上，false，所以false，
所以false，false，
所以false
false，false，
令false，则false，
所以false，
当且仅当false，即false，false时，false取得最大值，
所以当false时，视角false最大.

【考点】两角和与差的正切公式，三角函数模型的简单应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式，再利用角false为锐角，进而求出false，false，再利用角之间的关系式结合两角差的余弦公式，进而求出false的值，在false中，过false作false于false，因为false， 再利用余弦函数的定义，进而求出false的长， 在false中结合余弦函数的定义，进而求出false的长，从而求出山的高度.
（2）过false作false于false，因为false，所以false，因为false在false上，false，所以false，再利用正切函数的定义求出false，false的值，再利用两角差的正切公式，进而求出false，false，令false，则false，从而结合均值不等式求最值的方法，进而求出当false，false时，false取得最大值，所以当false时，视角false最大.