江苏省启东重点中学2020-2021学年高一下学期第二次月考（6月）数学试题 Word版含答案

启东2020-2021学年第二学期第二次月考
高一数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了false个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在false内，其中支出金额在false内的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则false等于（ ）
A.180 B.160 C.150 D.200
2.已知false，false，其中false.若false，则false的值等于（ ）
A.false B.false C.1 D.false
3.已知false，false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为false的点利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角星，如图所示，已知false，false为false的两个黄金分割点，研究发现如下规律：false.若false是顶角为false的等腰三角形，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
5.已知正方体的棱false上存在一点false（不与端点重合），使得false平面false，则（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.非零向量false，false满足：false，false，则false与false夹角false的大小为（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.三角形false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，且false，false，若边false的中线等于3，则false的面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.平面四边形false中，false，false，且false，现将false沿对角线false翻折成false，则在false折起至转到平面false的过程中，直线false与平面false所成最大角的正切值为（ ）
A.2 B.false C.false D.false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：false）的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A.这10天中PM2.5日均值的众数为33
B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32
C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差
10.正方体false的棱长为1，动点false在线段false上，false，false分别是false，false的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A.false
B.false平面false
C.存在点false，使得平面false平面false
D.三棱锥false的体积为定值
11.在false中，false，false，false，在下列命题中，是真命题的有（ ）
A.若false，则false为锐角三角形
B.若false，则false为直角三角形
C.若false，则false为等腰三角形
D.若false，则false为直角三角形
12.已知false，且false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有______人.”
14.已知半径为5的球false被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦为4，若其中的一圆的半径为4，则另一圆的半径为______.
15.设false，且满足false，则false的取值范围为______.
16，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式false（其中false、false、false、false为三角招的三边和面积）表示在false中，false、false、false分别为角false、false、false所对的边，若false，且false，则false面积的最大值为_______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过false时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差（单位：false），将所得数据分组，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
false
0.10
false
8
false
0.50
false
10
false
合计
50
1.00
（1）将上面表格中缺少的数据填在相应位置；
（2）估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间false内的概率；
（3）现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数.
18.（12分）在false中，false，false是false的中点.
（1）若false，求向量false与向量false的夹角的余弦值；
（2）若false是线段false上任意一点，且false，求false的最小值.
19.（12分）已知false，false且false.
（1）求false的值；
（2）求false的值.
20.（12分）在①false面积false，②false这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求false.如图，在平面四边形false中，false，false，______，false，求false.
21.（12分）如图所示，在四棱锥false中，底面false为平行四边形，false为等边三角形，平面false平面false，false，false，false.
（1）设false，false分别为false，false的中点，求证：false平面false；
（2）求证：false平面false；
（3）求直线false与平面false所成角的正弦值.
22.（12分）如图所示，矩形false是一个历史文物展览厅的俯视图，点false在false上，在梯形false区域内部展示文物，false是玻璃幕墙，游客只能在false区域内参观，在false上点false处安装一可旋转的监控摄像头，false为监控角，其中false，false在线段false（含端点）上，且点false在点false的右下方，经测量得知，false，false，false，false.记false，监控摄像头的可视区域false的面积为false.
（1）求false关于false的函数关系式，并写出false的取值范围；（参考数据：false）
（2）求false的最小值.
2020-2021学年第二学期第二次月考高一数学试卷
数学答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A 2.C 3.B 4.A 5.D
6.A 7.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.ABD 10.ABD 11.BCD 12.CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.8100 14.false 15.false 16.false
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解析：（1）频率分布表如下表所示.
分组
频数
频率
false
5
0.10
false
8
0.16
false
25
0.50
false
10
0.20
false
2
0.04
合计
50
1.00
（2）由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间false内的概率约为false.
（3）设这批产品中的合格品数为false件，依题意有false，解得false.
所以该批产品的合格品件数估计是1980件.
18.解析：（1）设向量false与向量false的夹角为false，
则false，
令false，则false.
（2）∵false，∴false，
设false（false），则false.而false，
∴false
false
false
false.
∴当false时，false取得最小值，最小值是false.
19.解析：（1）∵false，
∴false，即false.
∵false，∴false，false均不为零.
∴false，∵false，∴false.
（2）由（1）知false而false，
∴由false，false
得false
∴false，false，
∴false.
【解析】选择①：
false，所以false；
由余弦定理可得false
false，
所以false.
选择②
设false，则false，false，
在false中false，即false，
所以false，在false中，false，
即false，所以false.
所以false，解得false，
又false，所以false，所以false.
21.（1）证明：连接false，易知false，false.
又由false，故false.
又因为false平面false，false平面false，所以false平面false；
（2）证明：如图，取棱false的中点false，连接false.依题意得false，
又因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，
所以false平面false，又false平面false，故false.
又已知false，false，所以false平面false；
（3）连接false，由（2）中false平面false，可知false为直线false与平面false所成的角，
因为false为等边三角形，false且false为false的中点，
所以false.又false，在false中，false.
所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.
22.（1）解法1：在false中，false，false，false，false，
由正弦定理得false，
所以false.
同理，在false中，由正弦定理得false，
所以false.
所以false的面积
false
false
false
false
false，
当false与false重合时，false；
当false与false重合时，false，即false，false，所以false.
综上，可得false，false.
解法2：在false中，false，false，false，false，
由正弦定理可知，false，所以false.
在false中，由正弦定理可知false，
所以false.
所以false.
又点false到false的距离为false，
所以false的面积
false
false
false
false
false，
当false与false重合时，false；当false与false重合时，false，
即false，false，所以false.
综上，可得false，false.
（2）当false，即false时，false取得最小值为false.
所以可视区域false面积的最小值为false