江苏省扬州市重点中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学试卷 Word版含答案

扬州市重点中学高二数学月考试卷2021.05
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知复数false，其中i为虚数单位，则false（ ）
A．i B．false C．7 D．1
2．已知随机变量false，且false，false，则false为（ ）
A．0.1358 B．0.1359 C．0.2716 D．0.2718
3．false的展开式中false的系数为（ ）
A．12 B．60 C．24 D．64
4．函数false的单调递减区间是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的false列联表：
及格
不极格
合计
很少使用手机
20
5
25
经常使用手机
10
15
25
合计
30
20
50
则有（ ）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．
参考公式：false，其中false
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.06
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%
6．现有语文、数学、英语、物理、化学、生物各1本书，把这6本书分别放入3个不同的抽屉里，要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学放在同一个抽屉里，则不同的放法总数为（ ）
A．78 B．126 C．148 D．150
7．已知函数false，若函数false恰有四个不同的零点，则m的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知函数false．若不等式false在false上恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z、false、false结论正确的是（ ）
A．false表示点A到点false的距离 B．若false，则点A的轨迹是圆
C．false D．false
10．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从false，若false，则false
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；
C．设随机变量false服从正态分布false，若false，则false
D．某人10次射击中，击中目标的次数为X，false，则当false时概率最大
11．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一．如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1，1，2，3，5，8，13，…，则（ ）
A．在第9条斜线上，各数之和为55
B．在第false条斜线上，各数自左往右先增大后减小
C．在第n条斜线上，共有false个数
D．在第11条斜线上，最大的数是false
12．已知函数false，则下列结论正确的是（ ）
A．函数false在false上单调递减
B．函数false在false上有极小值
C．方程false在false上只有一个实根
D．方程false在false有两个实根
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．曲线false在点false处切线的方程为________．
14．复数false，则false的最大值为_________．
15．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据，
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
则其线性回归直线方程是false_____________．
参考公式：false，false
16．已知函数false．
①当false时，若函数false有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是________；
②若函数false的最大值为1，则false__________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设false，问：
（1）a，b满足什么条件时，false是实数；
（2）若false，求z．
18．已知二项式false的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．
（1）求false的展开式中的常数项的值；
（2）在false的展开式中，求false项的系数的值．
19．已知函数false．
（1）讨论false的单调性：
（2）若false存在极值，且false在false上恒成立，求a的取值范围．
20．如图，已知菱形false的边长为2，false，S为平面false外一点，false为正三角形，false，M、N分别为false、false的中点．
（1）求证，平面false平面false；
（2）求二面角false的余弦值；
（3）求四棱锥false的体积．
21．受新冠肺炎疫情的影响，2020年一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为false，false；乙通过笔试、面试的概率分别为false，false；丙通过笔试、面试的概率与乙相同．
（1）求甲、乙、丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率；
（3）为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：
参与环节
笔试
面试
补贴（元）
100
200
记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X元，求X的分布列和数学期望．
22．已知函数false．
（1）证明：false有唯一极值点；
（2）讨论false的零点个数．
参考答案
1-8 DBACCDDB
9．ACD 10．BCD 11．BCD 12．ABD
13．false 14．false 15．false 16．false false
17．（1）false且false；（2）false或0时，false；当false时，false
（1）false
false
false
false
false
若false是实数，
则false且false，解得false且false．
所以false且false时，false是实数．
18．（1）false；（2）1365．
（1）因为二项false的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，
所以false，可得false，
false即false的展开式的通项是：
falsefalse，
令false得：false，
∴常数项是false；
（2）由（1）知false，
false即false，
false展开式中false项的系数分别为：false
所以false的展开式中false项的系数为：
false
false
false
false
…
false．
19．（1）见解析；（2）false．
（1）由题意，函数false，
可得false的定义域为false，且false，
令false，对称轴为false，
当false，即false时，false在false上单调递增，且false，
所以false在false上单调递增：
当false即false时，令false，得false恒成立，
可得false，
所以在false上false，即false在false上单调递减；
在false上false，即false在false上单调递增，
综上所述，当false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false上递减，在false上递增．
（2）由（1）可知，若false存在极值，则false，
false，不等式false恒成立，等价于false恒成立，
令false，则false，
令false，则false，所以false在false上递减，
因为false，所以当false时，false在false上单调递增；
当false时，false在false上单调递减，
所以false，即false，解得false．
20．（1）见解析：（2）false；（3）false．
（1）证明：取false的中点O，连接false，
因为false为正三角形，所以false，且false，
又菱形false的边长为2，false，所以false，
而false，所以false，即false，
因为false，
所以false平面false，又false平面false，
所以平面false平面false；
（2）解：因为false，点M为false的中点，所以false，
由（1）知false，又菱形false的边长为2，false，所以false，
因为false，所以false面false，
因为false面false，所以false，
因为点N为false的中点，所以false，故false，
所以false为二面角false的平面角，
又平面false平面false，连接false，则false，
所以false平面false，所以false，
在直角三角形false中，false，所以false，
所以false，
∴false．
∴二面角false的余弦值false；
（3）解：由（2）知，false，因为false，false，
所以false，
又false平面false，所以O点到平面false的距离为false，
因为false平面false，所以false平面false﹐
所以A点到平面false的距离等于O点到平面false的距离false，
所以三棱锥false的体积为false．
21．（1）false；（2）false；（3）分布列答案见解析，数学期望：false．
（1）设事件A表示“甲被企业M正式录取”，事件B表示“乙被企业M正式录取”，事件C表示“丙被企业M正式录取”，
则false，
所以甲、乙，丙三人中恰有一人被企业M正式录取的概率
false
false．
（2）设事件D表示“甲、乙、丙三人都没有被企业M正式录取”，
则false，
所以甲、乙，丙三人中至少有一人被企业M正式录取的概率false．
（3）X的所有可能取值为300，500，700，900，
false，
false，
false.
false．
所以X的分布列为
X
300
500
700
900
P
false
false
false
false
false．
22．解：（1）false．
设false，则false，故false单调递增．
又false．
故存在唯一false，使得false．
当false时，false，false单调递减；当false时，false，false单调递增．
故false是false的唯一极值点． （5分）
（2）由（1）false是false的极小值点，且满足false．
又false；
同理false．
故false时，false有两个零点；false时，false有一个零点：false时，false无零点．
又false
令false，解得false，即false．
令false
此时false关于false单调递增，故false．
令false，解得false即false或false．
此时false，故false或false
令false，解得false，即false．
此时false关于false单调递增，故false．
综上所述：
当false时，false有两个零点；
当false或false时，false有一个零点；
当false时，false无零点． （12分）