8.5 乘法公式
第1课时 平方差公式
知识点
1 平方差公式
1．填空：(1)(x＋3)(x－3)＝x2－(________)2＝________；
(2)(2x＋________)(2x－y)＝(________)2－(________)2＝________；
(3)(－3a＋2b)(________＋3a)＝(________)2－(________)2＝________．
2．下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A．(x－y)(－x＋y)
B．(－x＋y)(－x－y)
C．(－x－y)(x－y)
D．(x＋y)(－x＋y)
3．下列各式运算结果是x2－25y2的是( )
A．(x＋5y)(－x＋5y)
B．(－x－5y)(－x＋5y)
C．(x－y)(x＋25y)
D．(x－5y)(5y－x)
4．若a＋b＝53，a－b＝38，则a2－b2的值为( )
A．15
B．38
C．53
D．2014
5．在等式(－a－b)( )＝a2－b2中，括号内应填的多项式是( )
A．a－b
B．a＋b
C．－a－b
D．－a＋b
6．(1)＝____________；
(2)(________－4b)(________＋4b)＝9a2－16b2；
(3)(________)＝y4－x2；
(4)＝____________．
7．计算：
(1)
3(x2＋2)－3(x＋1)(x－1)；
(2)[2018·济宁](y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．
知识点
2 平方差公式的几何意义
8．如图8－5－1所示，将图①中阴影部分的小长方形变换到图②位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是____________________．
图8－5－1
知识点
3 利用平方差公式进行简便计算
9．[2017·六盘水]计算：2017×1983＝________．
10．用简便方法计算：
(1)298×302；
(2)1232－122×124.
知识点
4 与平方差公式有关的化简求值问题
11．先化简，再求值：
(1)(x＋1)(x－1)－x(x－1)，其中x＝；
(2)(a＋b)(a－b)－b(a－b)，其中a＝－2，b＝1.
12．计算a4＋(1－a)(1＋a)(1＋a2)的结果是( )
A．－1
B．1
C．2a4－1
D．1－2a4
13．(1)若(x－ay)(x＋ay)＝x2－16y2，则a＝________．
(2)已知(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，则a＋b＝________．
14．先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)·(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
15．如图8－5－2①，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．
图8－5－2
(1)用含字母a，b的代数式表示图①中阴影部分的面积为________；
(2)将图①中的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图②的长方形，用含字母a，b的代数式表示此长方形的长为________，宽为________，面积为________；
(3)比较(1)、(2)中的结果，请你写出一个熟悉的公式：____________________________．
16．已知a，b，c是三个连续的正整数(a17．[2018·邯郸一模]张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：①32－12＝8×1；②52－32＝8×2；③72－52＝8×3.
(1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
(2)验证规律：设两个连续奇数为2n＋1，2n－1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数；
(3)拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
【详解详析】
1．(1)3 x2－9 (2)y 2x y 4x2－y2
(3)2b 2b 3a 4b2－9a2
2．A [解析]
A．由于两个括号中含x，y项的符号都相反，故不能使用平方差公式；B.两个括号中，含x项的符号相同，含y项的符号相反，故能使用平方差公式；C.两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式；D.两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式．
3．B [解析]
(－x－5y)(－x＋5y)＝(－x)2－(5y)2＝x2－25y2.
4．D [解析]
(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝53×38＝2014.
5．D
6．(1)x2－0.49y2 (2)3a 3a(或－3a －3a)
(3)y2－x (4)x2－4y2
7．解：(1)原式＝3x2＋6－3(x2－1)＝3x2＋6－3x2＋3＝9.
(2)原式＝(y2－4)－(y2＋4y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1.
8．(a＋b)(a－b)＝a2－b2
9．3999711 [解析]
原式＝(2000＋17)×(2000－17)＝20002－172＝4000000－289＝3999711.
10．解：(1)298×302＝(300－2)×(300＋2)
＝3002－22
＝89996.
(2)1232－122×124
＝1232－(123－1)×(123＋1)
＝1232－1232＋1＝1.
11．解：(1)原式＝x2－1－x2＋x＝x－1.
当x＝时，原式＝－1＝－.
(2)(a＋b)(a－b)－b(a－b)＝
a2－b2－ab＋b2＝a2－ab.
当a＝－2，b＝1时，原式＝(－2)2－(－2)×1＝6.
12．B [解析]
原式＝a4＋(1－a2)(1＋a2)＝a4＋(1－a4)＝1.
13．(1)±4 (2)±8 [解析]
(1)∵(x－ay)(x＋ay)＝x2－(ay)2＝x2－16y2，∴a2＝16，∴a＝±4.
(2)把(a＋b)看成一个整体可得(a＋b)2－1＝63，
所以(a＋b)2＝64，即a＋b＝±8.
14．解：
原式＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，原式＝5－20＝－15.
15．(1)a2－b2
(2)a＋b a－b (a＋b)(a－b)
(3)(a＋b)(a－b)＝a2－b2
16．解：以b为边长所作的正方形的面积大．
理由如下：
依题意得a＝b－1，c＝b＋1.
正方形的面积为b2，
长方形的面积为ac＝(b－1)(b＋1)＝b2－1，
而b2＞b2－1，
所以以b为边长所作的正方形的面积大．
17．解：(1)92－72＝8×4，112－92＝8×5.
(2)(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1－2n＋1)·(2n＋1＋2n－1)＝2×4n＝8n.
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
(3)不正确．
解法一：举反例：42－22＝12，因为12不是8的倍数，所以这个结论不正确．
解法二：设这两个偶数为2n和2n＋2，(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2－2n)(2n＋2＋2n)＝
8n＋4.
因为8n＋4不是8的倍数，
所以这个结论不正确．第2课时 完全平方公式
知识点
1 完全平方公式
1．填空：(1)(x＋2)2＝x2＋2·________·________＋________2＝__________；
(2)(2a－3b)2＝________2＋________＋________2＝__________．
2．下列计算正确的有( )
①(a＋b)2＝a2＋b2；
②(a－b)2＝a2－b2；
③(a＋2b)2＝a2＋2ab＋2b2；
④(－2m－3n)2＝(2m＋3n)2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．若x2＋16x＋m是完全平方式，则m的值是( )
A．4
B．16
C．32
D．64
4．计算：(1)(2x＋y)2＝______________；
(2)＝______________；
(3)(－2x＋3y)2＝______________；
(4)(－2m－5n)2＝______________．
5．计算：(1)[2017·重庆](x＋y)2－x(2y－x)；
(2)[2018·江西]计算：(a＋1)(a－1)－(a－2)2；
(3)(x＋y－3)2.
知识点
2 完全平方公式的几何意义
6．利用如图8－5－3①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图8－5－3②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为( )
图8－5－3
A．(a－b)2＋4ab＝(a＋b)2
B．(a－b)(a＋b)＝a2－b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
知识点
3 利用完全平方公式进行简便计算
7．计算：3012＝________．
8．用简便方法计算：
20182－4036×2019＋20192.
知识点
4 与完全平方公式有关的化简求值问题
9．(1)[2018·宁波]先化简，再求值：(x－1)2＋x(3－x)，其中x＝－.
(2)已知代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2.
①当x＝1，y＝3时，求代数式的值；
②当4x＝3y时求代数式的值．
10．若x2＋kx＋64是某个整式的平方，则k的值是( )
A．8
B．－8
C．±8
D．±16
11．若等式x2＋ax＋19＝(x－5)2－b成立，则a＋b的值为( )
A．16
B．－16
C．4
D．－4
12．如图8－5－4，从边长为(a＋4)cm的正方形纸中剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则长方形的面积为( )
图8－5－4
A．(2a2＋5a)cm2
B．(3a＋15)cm2
C．(6a＋9)cm2
D．(6a＋15)cm2
13．若xy＝12，(x－3y)2＝25，则(x＋3y)2的值为( )
A．196
B．169
C．156
D．144
14．已知(x－1)2＝ax2＋bx＋c，则a＋b＋c的值为________．
15．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义
＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若＝8，则x＝________．
16．用两种方法计算：
(x－2y)2－(x＋2y)2.
17.阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2，通过配方可对a2＋b2进行适当的变形，如a2＋b2＝(a＋b)2－2ab或a2＋b2＝(a－b)2＋2ab.从而使某些问题得到解决．例：已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝52－2×3＝19.
解决问题：
(1)已知a＋＝6，则a2＋＝________；
(2)已知a－b＝2，ab＝3，分别求a2＋b2，a4＋b4的值．
18．如图8－5－5所示，已知AB＝a，P是线段AB上一点，分别以AP，BP为边作正
方形．
(1)设AP＝x，求两个正方形的面积之和S；
(2)当AP分别为a和a时，比较S的大小．
图8－5－5
【详解详析】
1．(1)x 2 2 x2＋4x＋4
(2)(2a) (－2·2a·3b) (3b) 4a2－12ab＋9b2
2．A
3．D [解析]
x2＋16x＋m＝x2＋2×8x＋m.
∵x2＋16x＋m是完全平方式，∴m＝82＝64.
4．(1)4x2＋4xy＋y2
(2)x2－2xy＋4y2
(3)4x2－12xy＋9y2
(4)4m2＋20mn＋25n2
5．解：(1)原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.
(2)原式＝a2－1－(a2－4a＋4)
＝a2－1－a2＋4a－4
＝4a－5.
(3)(x＋y－3)2
＝(x＋y)2－2(x＋y)×3＋32
＝x2＋2xy＋y2－6x－6y＋9.
6．A [解析]
∵大正方形的边长为(a＋b)，∴大正方形的面积为(a＋b)2.1个小正方形的面积加上4个长方形的面积和为(a－b)2＋4ab，∴(a－b)2＋4ab＝(a＋b)2.
7．90601 [解析]
3012＝(300＋1)2＝3002＋2×300＋1＝90601.
8．解：
原式＝20182－2×2018×2019＋20192＝(2018－2019)2＝1.
9．解：(1)原式＝x2－2x＋1＋3x－x2＝x＋1.
当x＝－时，原式＝－＋1＝.
(2)原式＝x2－4xy＋4y2－(x2－y2)－2y2
＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2－2y2
＝－4xy＋3y2.
①当x＝1，y＝3时，原式＝－4×1×3＋3×32＝－12＋27＝15；
②当4x＝3y时，原式＝－y(4x－3y)＝0.
10．D [解析]
由完全平方公式的特点可知，当k＝±16时，x2＋kx＋64是某个整式的平方．故选D.
11．D [解析]
由已知，得x2＋ax＋19＝(x－5)2－b＝x2－10x＋25－b，可得a＝－10，b＝6，则a＋b＝－10＋6＝－4.故选D.
12．D
13．B [解析]
(x＋3y)2＝(x－3y)2＋12xy＝25＋12×12＝169.故选B.
14．0 [解析]
将x＝1代入(x－1)2＝ax2＋bx＋c，得(1－1)2＝a＋b＋c，则a＋b＋
c＝0.
15．2 [解析]
依题意，得(x＋1)2－(1－x)2＝(x2＋2x＋1)－(1－2x＋x2)＝4x＝8，
∴x＝2.
16．解：方法一：原式＝(x2＋4y2－2xy)－(x2＋4y2＋2xy)＝－4xy.
方法二：原式＝(x－2y＋x＋2y)(x－2y－x－2y)＝x·(－4y)＝－4xy.
17．解：(1)a2＋＝(a＋)2－2·a·＝62－2＝34.
(2)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝22＋2×3＝10；
a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝102－2×32＝100－18＝82.
18．解：(1)S＝AP2＋BP2＝x2＋(a－x)2＝x2＋a2－2ax＋x2＝2x2－2ax＋a2.
(2)当AP＝a时，
S＝＋＝a2＋a2＝a2；
当AP＝a时，S＝＋＝a2.
因为a2>a2，所以当AP＝a时，S更小．
