2020-2021学年冀教版数学七年级下册9.2三角形的内角和外角课后培优（Word版含答案）

9.2三角形的内角和外角
一、单选题
1．如图摆放一副三角尺，，点在上，点在的延长线上，，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列说法中错误的是（　　）
A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：2：4，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A＝∠B﹣∠C，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC为直角三角形
3．如图，在中，是的一个外角，，，则为（
）
A．
B．
C．
D．
4．光线a照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射．若已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知直线∥，将一块含30°的直角三角尺按如图方式放置（∠ABC=60°），其中A、C两点分别落在直线、上，若∠1=20°，则∠2的度数为（
）
A．50°
B．30°
C．20°
D．40°
6．如图，把纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCED的外部，，，则的度数为（
）
A．32°
B．30°
C．28°
D．26°
7．如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（
）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（　　）
A．
B．90°﹣
C．α﹣90°
D．2α﹣180°
9．如图，已知，，，，则（
）
A．60°
B．80°
C．90°
D．100°
10．如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，四边形是长方形，点是长线上一点，是上一点，并且，．若，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
12．将一副学生用三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（
）
①平分；②；③；④
A．0
B．1
C．2
D．3
13．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（
）
A．80°
B．82°
C．84°
D．86°
14．将一副三角板的直角顶点重合按如图所示方式放置，得到下列结论，其中正确的结论有（
）
①；
②；
③若，则；
④若，则．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
15．如图，和相交于点，，则下列结论中不正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
16．满足条件，则是________三角形．
17．如图，点是上一点，，则图中与构成同旁内角的角有
______
个，这些角的度数和为
______．
18．在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍（为整数），那么我们称这个三角形为倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．
19．如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转70°得到Rt△AB1C1，若，，则______．
20．如图，将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则的度数是_____．
三、解答题
21．在证明“三角形内角和等于180”这一命题时，小彬的思路如下．请写出“求证”部分，补充第一步推理的依据并按他的思路完成后续证明．
已知：如图，．
求证：_____________________．
证明：如图，在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：_____________________）．
∵，
∴．
22．如图，点、、、都在同一直线上，与的延长线交于点，，，求证：．
23．如图，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
24．将一副直角三角尺和如图放置，其中，，，若，试判断与的位置关系，并说明理由．
25．如图，在中，于点，
交于点，于点，交
于点．
（1）求证：；
（2）若，，求
的度数．
参考答案
1．A
解：∵∠EDF＝90°，∠F＝45°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝90°，∠A＝30°，
∴∠ACB＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACB＝60°，
∴∠CED＝∠CEF?∠DEF＝15°．
2．D
解：A、在△ABC中，因为∠A：∠B：∠C＝2：2：4，所以∠C＝90°，∠A＝∠B＝45°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
B、在△ABC中，因为∠A＝∠B﹣∠C，所以∠B＝90°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
C、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠C＝90°，∠B＝60°，∠A＝30°，△ABC为直角三角形，本选项不符合题意．
D、在△ABC中，因为∠A＝∠B＝2∠C，所以∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，△ABC不是直角三角形，本选项符合题意，
3．B
解：∵∠1+∠E=∠2，
∴∠E=∠2-∠1，
∵∠A+3∠1=∠ACD=3∠2，
∴∠A=3∠2-3∠1=3（∠2-∠1）=3∠E=78°，
∴∠E=26°．
4．D
解：∵∠6=∠1=55°，∠5=∠3=75°，
∴∠2=（55+75）÷2=65°，
5．D
解：∵∠ABC=60°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，
又∵a∥b，
∴∠2=180°-30°-90°-20°=40°，
6．C
解：如图，由翻折的性质得，
∴，
∴在△ADE中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
7．B
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
又∵∠A＝110°，
∴∠C＝70°，
∴∠AED＝∠C+∠D＝85°，故（2）正确，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，
∴∠D+∠CED＝110°，
∴∠A＝∠CED+∠D，故（3）正确，
∵点E在AC上的任意一点，
∴AE无法判断等于CE，∠BED无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，
8．D
解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，
∵，
∴，，
∴γ+β＝∠B+∠C＝α，
∵EB′∥FG，
∴∠CFG＝∠CEB′＝y，
∴x+2y＝180°①，
根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，
∴，
∵γ+y＝2∠B，
同理可得出：β+x＝2∠C，
∴γ+y+β+x＝2α，
∴x+y＝α②，
②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，
∴∠C′FE＝2α﹣180°．
9．C
解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，
∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，
∴∠FAB=4x，∠FCD=4x，
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD=180°，
∵∠AFC=120°，
∴∠FAC+∠FCA=180°-120°=60°，
∴∠FAC+∠FCA+∠FAB+∠FCD=180°，即60+4x+4y=180°，
解得：x+y=30°，
∴∠AEC
=180°-（∠EAC+∠ECA）
=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）
=180°-（x+y+60°）
=90°
10．B
解：如图：
由题意得：∠4＝180°?90°?30°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2＝70°，
∴∠1＝180°?∠3-∠4=180°?70°?60°＝50°.
11．C
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
12．D
解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠AOC=∠BOD，故②正确；
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°，故④正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
没有条件能证明OE平分∠AOD，故①错误．
综上，②③④正确，共3个，
13．A
解：∵∠BAC＝105°，
∴∠2＋∠3＝75°①
∵∠1＝∠2，
∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2②
把②代入①得：3∠2＝75°，
∴∠2＝25°．
∴∠DAC＝105°?25°＝80°．
14．C
解：
故①符合题意，
故②符合题意；
故③不符合题意；
如图，记交于
故④符合题意，
综上：符合题意的有①②④．
15．D
∵∠1=∠2，∠A=∠C，∠1=∠A+∠D，∠2=∠B+∠C，
∴∠B=∠D，
∴选项A、B正确；
∵∠2=∠A+∠D，
∴，
∴选项C正确；
没有条件说明
16．钝角
解：设∠A、∠B、∠C分别为6k、3k、2k，
则6k+3k+2k
=180°，
解得，
所以，最大的角∠A≈3×33°=99°
，
所以，这个三角形是钝角三角形．
17．4；
230．
解：由图像可知图中与构成同旁内角的角有，，，，共计4个，
由三角形的内角和定理可得：
，
，
∴
18．或或或
设最小的内角为．分类讨论：
①当2倍角为，3倍角为时，可得：，
解得．
②当2倍角为，3倍角为时，可得：，
解得．
③当3倍角为，2倍角为时，可得：，
解得．
④当即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为，可得：，
解得．
综上可知，最小的内角为或或或．
19．
解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转70°得到Rt△AB1C1，
∴∠CAC1=70°，
∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠CAB=30°，
∴∠BAC1=∠CAC1-∠CAB=70°-30°=40°．
20．
解：由于是两个直角三角形，所以上下两线平行，
如图所示则，
根据三角形外角定理，
21．；两直线平行，同位角相等；见解析．
解：已知：如图，．
求证：．
证明：在边上取点，过点作交于点，过点作交于点．
∵，
∴，（依据：两直线平行，同位角相等）．
∵，
∴，．
∴
∵
∴
22．见详解
解：∵
∴
∵，
,
,
∴
23．46°
解：∵∠BDF＝130°，
∴∠EDF＝180°﹣130°＝50°．
∵∠E＝30°，
∴∠AFC＝30°+50°＝80°．
∵∠C＝54°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠AFC＝180°﹣54°﹣80°＝46°．
24．AE与BC平行，理由见解析．
解：AE与BC平行．理由：
∵∠AFD是△AEF的外角，，，
∴∠EAF=∠AFD-∠AED=75°-45°=30°，
又∵∠BCA=30°，
∴∠EAF=∠BCA，
∴AE∥BC．
25．（1）证明见详解；（2）．
（1）证明：，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
，
．