《1.5平方差公式》期末复习专题提升训练2020-2021学年七年级数学北师大版下册（Word版 附答案）

2021年北师大版七年级数学下册《1.5平方差公式》期末复习专题提升训练（附答案）
1．（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　）
A．255024 B．255054 C．255064 D．250554
3．简便计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝　 　．
4．观察下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，
根据前面各式的规律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　（其中n为正整数）．
5．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是　 　．
6．已知（39+）（40+）＝a﹣b，若a是整数，0＜b＜1，则a＝　 　．
7．若a﹣b＝13，a2﹣b2＝39，则（a+b）2＝　 　
8．的值为　 　．
9．若实数a满足a+＝4，且（1+）（1+）（1+）…（1+）＝，则n＝　 　．
10．记x＝（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1＝2128，则n＝　 　．
11．一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式：　 　．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的　 　块，　 　块，　 　块．
（3）．如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图案，以下关系式正确的是　 　（填序号）．
①xy＝②x+y＝m③x2﹣y2＝m?n④x2+y2＝
12．已知a＞0，0＜b≤1，求证：（ab﹣b+1）（b﹣1+ab）（1﹣ab+b）≤ab．
13．根据下列材料，解答问题．
例：求1+3+32+33+…+3100的值．
解：令S＝1+3+32+33+…+3100
则3S＝3+32+33+…+3100+3101
因此，3S﹣S＝3101﹣1，
∴S＝，即1+3+32+33+…+3100＝．
（1）仿照例题，求1+5+52+53+……+52019的值．
（2）求证：1+3+32+33……+363＝（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）．
（3）求1+7+72+73+……+763的个位数字．
14．仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝①　 　（其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝　 　；③（2﹣1）（22+2+1）＝　 　；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝　 　；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝　 　；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
15．填空：
（x﹣1）（x+1）＝　 　．
（x﹣1）（x2+x+1）＝　 　．
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　．
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　．
…
（1）根据上面的规律得：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝　 　（其中n为正整数，且n≥2）．
（2）当x＝3时，计算：（3﹣1）（32017+32016+32015+…+33+32+3+1）＝　 　；
（3）设a＝22017+22016+22015+…+23+22+2+1，则a的个位数字为　 　；
（4）计算：52020+52019+52018+52017+22016+52015+…+53+52+5．
16．用简便方法计算：
（1）1002﹣200×99+992
（2）2018×2020﹣20192
17．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝　 　；（a﹣1）（a2+a+1）＝　 　；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝　 　；…
由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝　 　
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求2199+2198+2197+…+22+2+1的值；
②若a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a6等于多少？
18．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）
＝（28﹣1）（28+1）
＝216﹣1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝　 　．
（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝　 　．
（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
19．计算下列各题
（1）20212 （利用公式计算）
（2）199×201 （利用公式计算）
（3）20212﹣2020×2022（利用公式计算）
（4）（﹣1）2022+﹣（3.14﹣π）0．
20．用公式简便运算
（1）215×185
（2）6992
（3）20192﹣2017×2021．
参考答案
1．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的个位数字是4．
故选：B．
2．解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
根据题意得：8n≤2017，
∴n≤252，
∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，
∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032
＝5052﹣12
＝255024．
故选：A．
3．解：原式＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）
＝××…××××…×＝50×＝．
4．解：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1．
故答案为：xn+1﹣1．
5．解：设k是正整数，
由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
所以，除1外，所有奇数都是智慧数；
又因为（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；
被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
∵（2021+2）÷3＝674...1，
∴2021是第675组的第一个数，
即：4×674+1＝2697．
故答案为：2697．
6．解：∵39+
＝40﹣1+
＝40﹣
又∵（39+）（40+）
＝（40﹣）（40+）
＝1600﹣
＝a﹣b，0＜b＜1，
∴a＝1600
故答案为：1600．
7．解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝13×（a+b）＝39，
∴a+b＝3，
∴（a+b）2＝32＝9．
故答案为9．
8．解：
＝
＝
＝100．
故答案为：100．
9．解：∵a+＝4，
∴a2﹣4a+4＝0，
（a﹣2）2＝0，
a1＝a2＝0，
经检验：a＝2是原方程的解，
（1+）（1+）（1+）…（1+）＝，
两边同时乘以，得，
（1+）（1+）（1+）…（1+）＝，
（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）＝，
1﹣＝1﹣，
＝，
2n+1＝32，
n＝4，
故答案为：4．
10．解：（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
＝（2﹣1）（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
＝（22﹣1）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），
＝（2n﹣1）（1+2n），
＝22n﹣1，
∴x+1＝22n﹣1+1＝22n，
2n＝128，
∴n＝64．
故填64．
11．解：（1）图③可以解释为等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+ab+4ab+2b2＝2a2+5ab+2b2
故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．
（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2
故答案为：2；7；3．
（3）∵m2﹣n2＝4xy
∴①正确；
∵x+y＝m
∴②正确；
∵x+y＝m，x﹣y＝n
∴（x+y）（x﹣y）＝mn，即x2﹣y2＝mn，故③正确；
∵m2+n2＝（x+y）2+（x﹣y）2＝2x2+2y2＝2（x2+y2）
∴④正确．
故答案为：①②③④．
12．证明：（ab﹣b+1）（b﹣1+ab）（1﹣ab+b）
＝（1+ab﹣b）[1﹣（ab﹣b）]（b﹣1+ab）
＝[1﹣b2（a﹣1）2]（ab+b﹣1）
∵b2（a﹣1）2≥0，
∴1﹣b2（a﹣1）2≤1，
∴[1﹣b2（a﹣1）2]（ab+b﹣1）≤ab+b﹣1，
又∵0＜b≤1，
∴b﹣1≤0，
∴ab+b﹣1≤ab，
∴[1﹣b2（a﹣1）2]（ab+b﹣1）≤ab，
∴（ab﹣b+1）（b﹣1+ab）（1﹣ab+b）≤ab．
13．解：（1）令S＝1+5+52+53+……+52019，
则5S＝5+52+53+……+52019+52020，
∴5S﹣S＝52020﹣1，
∴S＝；
（2）证明：设S＝1+3+32+33……+363，
则3S＝3+32+33……+363+364，
∴3S﹣S＝364﹣1，
∴S＝，
设T＝（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
＝..．
＝（364﹣1），
∴S＝T．
（3）∵1＝1，7＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，..．
∴每四个数字的末尾按1，7，9，3循环，
∵（63+1）÷4＝16，
∴（1+7+9+3）×16＝320，
∴1+7+72+73+……+763的个位数字是0．
14．解：（1）由上式的规律可得，an﹣bn，
①故答案为：an﹣bn；
由题干中提供的等式的规律可得，
②（2+1）（2﹣1）＝22﹣1；
故答案为：22﹣1；
③（2﹣1）（22+2+1）＝23﹣1，
故答案为：23﹣1；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝24﹣1
故答案为：24﹣1；
⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝（2﹣1）（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝2n﹣1，
故答案为：2n﹣1；
（2）22019+22018+22017+…+2+1
＝（2﹣1）（22019+22018+22017+…+2+1）
＝22020﹣1，
又∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……
∴22020的个位数字为6，
∴22020﹣1的个位数字为6﹣1＝5，
答：22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是5．
（3）（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝2n﹣1，
取a＝2，b＝﹣1，n＝10，
∴（2+1）（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）＝210﹣1
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝+1
＝．
15．解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1．
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1．
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1．
（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1．
故答案为：x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1，x5﹣1；
（1）（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+…+x2+x+1）＝xn﹣1+1﹣1＝xn﹣1；
故答案为：xn﹣1；
（2）（3﹣1）（32017+32016+32015+…+33+32+3+1）＝32018﹣1；
故答案为：32018﹣1；
（3）a＝（2﹣1）（22017+22016+22015+…+23+22+2+1）＝22018﹣1，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64……
又2018÷4＝504……2，
∴22018的个位数字为4，
∴22018﹣1的个位数字为3，
故答案为：3；
（4）52020+52019+52018+52017+22016+52015+…+53+52+5
＝
＝
＝．
16．解：（1）1002﹣200×99+992
＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2
＝[100﹣（100﹣1）]2
＝12
＝1；
（2）2018×2020﹣20192
＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192
＝20192﹣1﹣20192
＝﹣1．
17．解：（1）a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；
（2）①（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，由于2﹣1＝1，
则2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；
②∵a6﹣1＝（a﹣1）（a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，
∴a6＝1．
18．解：（1）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝232﹣1；
故答案为：232﹣1
（2）原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）＝；
故答案为：；
（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．
当m≠n时，原式＝（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）＝；
当m＝n时，原式＝2m?2m2?…?2m16＝32m31．
19．解：（1）原式＝（2000+21）2＝4000000+84000+441＝4084441；
（2）原式＝（200﹣1）×（200+1）＝40000﹣1＝39999；
（3）原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣20212+1＝1；
（4）原式＝1+4﹣1＝4．
20．解：（1）原式＝（200+15）（200﹣15）＝2002﹣152＝40000﹣225＝39775；
（2）6992＝（700﹣1）2＝7002﹣2×700×1+1＝490000﹣1400+1＝488601；
（3）20192﹣2017×2021＝20192﹣（2019﹣2）（2019﹣2）＝20192﹣20192+22＝4．