一元二次方程

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　一元二次方程
教材的地位和作用
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。
教学目标
1、知识目标：
1）经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2）理解和掌握一元二次方程及其一般形式。
3）会判断一个方程是一元二次方程。
2、情感态度与价值观：
通过用一元二次方程解决实际问题，体会数学是解决现实生活中不可缺少的一种方法。
教学重点与难点
本节课的重点是：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
本节课的难点是：把由实际问题转化成数学方程 。
教法、学法
主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式
课堂结构
(一)创设情景，激发兴趣
(二)探究归纳，获取新知
(三) 练习反馈，应用拓展
(四) 小结归纳
(五)布置作业五个部分。
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
试一试　花边有多宽
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽
解：如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为
　　　　　　m,
宽为　　　　　　　m,
根据题意，
可得方程：
　　　　　　　　　　　　　
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
（8－ 2x）
（5－ 2x）
１８m2
观察下面等式：
１０２＋１１２＋１２２＝１３２＋１４２
　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　　 　 　
　　　　　，　　　　　，　　　　　，　　　　　．　
X＋1
X＋2
X＋3
X＋4
(X＋1)2
(X＋ 2)2
＋
(X＋3)2
(X＋4)2
＝
＋
X2
＋
想一想
x
8m
1
10m
7m
6m
解：由勾股定理可知，滑动前梯 　　子底端距墙　　　　m
如果设梯子底端滑动X m，那么滑
动后梯子底端距墙　　　　m
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　　　
72＋(X＋6)2＝102
6
X＋6
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
做一做
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
（８－２ X ）（５－２ X）＝１８
X２ ＋（X＋１）２＋（X＋２）２＝ （X＋３）２＋（ X＋４）２
（ X＋６）２＋７２＝１０２
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有　　　　　　　 并且都可以化为　　　　　　　　　　　　　　　　　 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0
即 x2 － 8x － 20＝0
即 X2 ＋12 X －15 ＝0
一个未知数X
整式方程
ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，
a≠ ０）
判一判 下列方程哪些是一元二次方程
(1)7x2－6x＝0
(2)2x2－5xy＋6y＝0
(3)2x2－ －1 ＝0
(4) ＝0
(5)x2＋2x－3＝1＋x2
－
1
3x
－
y2
2
解: (1)、 (4)
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．
≠3
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．,当k 　　　时，是一元一次方程．
≠±1
＝－1
想一想:
　　把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
方　　程
一般形式
二次项
系　数
一次项
系　数
常数项
3x2＝5x－1
(x＋2)(x －1)＝6
4－7x2＝0
3x2－5x＋1＝0
x2 ＋x－8＝0
－7x2 ＋0 x＋4＝0
3
1
－7
－5
1
0
1
－8
4
3
－5
＋1
1
1
－8
－7
0
4
＋
练一练
－7x2 ＋4＝0
7x2 － 4＝0
7
0
－ 4
１．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．
随堂练习：
解：设竹竿的长为x尺，则门的宽 度 　为(x－4)尺，长为(x－2)尺，　依题意得方程：
(x－4)2＋ (x－2)2＝ x2
即
x2－12 x ＋20 ＝ 0
4尺
2尺
X
X－4
X－2　　
２．把方程(3x＋2)2＝4(x－3)2化成一元二次方程的一般形　　式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：将原方程化简为：
　　9x2＋12x＋4＝4(x2－6x＋9)
9x2＋12x＋4＝
9x2
5x2 ＋ 36 x － 32＝0
二次项系为 ，
5
＋ 36
－ 32
一次项系数为 ，
常数项为 .
5
36
－ 32
4 x2 －24x ＋36
－ 4 x2
＋ 24x
－ 36
＋ 12x
＋ 4
＝0
习题２．１
１．根据题意，列出方程：
（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另　　　一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的　　　边长是多少？
　解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5) m，　　　宽为(x＋2) m，依题意得方程：
(x＋5) (x＋2) ＝54
即
x2 ＋ 7x－44 ＝0
2
5
x
x
X＋5
X＋2
54m2
（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果　　　为242，这三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为
　　　x＋１ ， x＋2，依题意得方程：
x (x＋1) ＋ x(x＋2) ＋ (x＋1) (x＋2) ＝242
即
3x2 ＋6x－24 0＝0
x2 ＋2x－8 0＝0
小结：
本节课你又学会了哪些新知识呢？
２．会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系．
１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．
3、学习过程中用了哪些数学方法？
4、确定一元二次方程的项和系数时要注意什么？
设计说明
本节课通过丰富的问题情境：让学生感受方程是刻画现实世界的有效数学模型。让学生真正经历模型化的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣。由学生探索交流，分析它们与一元一次方程的差异，从而概括它们的共同特点，归纳出一元二次方程概念。这既给学生提供了一个充分从事数学活动的机会，又体现了学生是数学学习的主人的理念。学生亲身经历了知识的形成过程，不但改变了以往学生死记硬背的学习方式，而且在教学活动中培养了学生自主探索、合作交流等良好的学习习惯。本课的教学过程设计为：情境——问题——探究——反思（归纳）——提高，这充分体现了新课程理念数学课堂教学方式的根本转变。
板书设计
一元二次方程
2x2 - 13x + 11 = 0 1、只含有一个未知数
x2 + 12x -15 = 0 2、未知数的最高次数为2
2x2 - 50 = 0 3、是整式方程
x2 + 3x = 0
一般形式 ax2 + bx + c= 0（a≠0） 例题：
二次项系数
一次项系数
常数项