内蒙古自治区赤峰市松山区四高2020-2021学年高二下学期6月第二次月考数学（理）试题 Word版含解析

松山区第四中学高二年级下学期第二次月考数学试题（理科）
一、单选题，本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线false：false，false：false，则“false”是“false”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若false(其中false)，则false（ ）
A．false B．false C．1 D．2
3．执行如图所示的程序框图，若输出的S是30，则判断框内的条件可以是（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．某班30人的数学期中考试成绩的茎叶图如下，若将成绩按由低到高编号，再用系统抽样方法从中抽取6人，若113分被抽到，则成绩在false上被抽到的人数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．某班有60名学生，一次考试后数学成绩false，若false，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．甲乙两人约定某日一起到火车站坐大巴车到某地旅游．两人做如下约定：①两人都在上午8：00~10：00到达车站；②若一人先到达车站时另一人还未到达，先到者最多等一班车．已知车站到旅游目的地的车上午7：00首发，然后每隔半小时发一班．若一定有座位，则他们坐同一班车去旅游的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．若falsefalse，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，false学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为false分，false学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为false分，则false的值为
A．false B．false C．false D．false
9．已知四棱锥false的底面false是矩形，其中false，false，平面false平面false，false，且直线false与false所成角的余弦值为false，则四棱锥false的外接球表面积为（　　）
A．false B．false C．false D．false
10．中国在2020年11月1日零时开始开展第七次全国人口普查，甲、乙等6名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，1名志愿者只去一个社区，且甲、乙不在同一社区，则不同的安排方法共有（ ）
A．false种 B．false种 C．false种 D．false种
11．已知点F为双曲线false的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若false，则双曲线C的离心率e的值为（ ）
A．false B．false C．2 D．false
12．已知函数false，若false的解集为false，且false中只有两个整数，则（ ）
A．false无最值 B．false的最小值为false
C．false的最大值为false D．false的最小值为false
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出x（单位：万元）与年销售额y（单位：万元）进行了初步统计，如下图所示：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
p
经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程false，则p的值为___________.
14．甲、乙等4人参加false米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是______.
15．已知锐角false中，false，false，false，延长false到点false，使false，则false________.
16．已知false，若点false是抛物线false上的任意一点，点false是圆false上任意一点，则false最小值是_____
三、解答题
17．已知数列false满足：false，数列false的前false项和false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）若数列false满足：false，求数列false的前项和false.
18．如图，在四棱锥false，false底面false，false，false为棱false上一点.
（1）确定点E的位置，使得直线false平面false；
（2）若二面角false的正弦值为false，求直线false与平面false所成角的余弦值.
19．2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：
收看
没收看
男生
60
20
女生
20
20
（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附：false，其中false.
false
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
false
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宜传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；
②记false为入选的2人中的女生人数，求随机变量false的分布列及数学期望.
20．已知false为椭圆falsefalse的左右焦点，椭圆的离心率为false，椭圆上任意一点到false的距离之和为false.
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）过false的直线false分别交椭圆false于false和false，且false，试求四边形false的面积S的取值范围.
21．已知函数false
（1）若false是false的极值点，求false的值，并讨论false的单调性；
（2）当false时，证明：false
选考题：共10分，请考生在22、23题中任选-题作答，如果多做则按所做的第题计分.
[选修4-4坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系false中，曲线false的参数方程为：false(false为参数)，以坐标原点false为极点，false轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线false的极坐标方程为false.
（1）求曲线false的极坐标方程和曲线false的直角坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线falsefalse与曲线false交于点false，射线falsefalse与曲线false交于点false，求false的面积.
23．已知函数false.
（1）求不等式f(x)≤2的解集M；
（2）当x∈M时，false，求实数a的取值范围.
理科试题参考答案
1．B
【分析】
由两直线垂直求得false的值，然后由充分必要条件的定义判断．
【详解】
false的充要条件是false，解得false或false，
所以“false”是“false”的充分不必要条件．
故选：B．
2．C
【分析】
false，然后建立方程组求解即可.
【详解】
由题意得false，∴false，解得false，
故选：C
3．D
【分析】
根据程序执行的结果，由程序逻辑列出执行步骤及其结果，结合循环体各次迭代所得结果判断条件即可.
【详解】
由程序框图，其执行结果如下：
1、false：false，执行循环体；
2、false：false，执行循环体；
3、false：false，执行循环体；
4、false：false，执行循环体；
5、false：false，跳出循环体，输出false；
∴框内条件应为false.
故选：D.
4．B
【分析】
确定系统抽样每组的人数，由此可确定随机数，得到所抽取的分数，由此得到所求人数.
【详解】
将false人平均分为false组，则每组false人，
false分为第false组第false位，则抽得的分数分别为：false、false、false、false、false、false.
false成绩在false上被抽到false人.
故选：B.
5．B
【分析】
由false,根据对称性得出false，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解．
【详解】
因为数学成绩false，
所以由false可得：false，
所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：false，
所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：false（人）
故答案为：9.
【点睛】
本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩false的概率分布关于false对称，利用对称写出要用的一段分数的概率，题目得解．
6．D
【分析】
设甲到的时间为false，乙到的时间为false，画图，利用几何概型求解即可.
【详解】
设甲到的时间为false，乙到的时间为false，
则false，并且false，
如图：
因为车每隔半小时发一班，并且先到者最多等一班车，
说明甲在false内到时，乙在false之内到都满足甲乙坐同一班车，
图中阴影部分是甲，乙坐同一班车的时间段.
所以false（甲，乙坐同一班车）false，
故选：D.
【点睛】
关键点睛：本题主要考查几何概型，分析题意，画出图像是解决本题的关键.
7．A
【分析】
由false，再利用二项展开式的通项公式，求得false的值．
【详解】
由false
false，
则false.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：对式子进行变形，结合展开式的通项公式，系数性质是解题的关键．
8．A
【分析】
依题意可知false同学正确数量满足二项分布false，false同学正确数量满足二项分布false，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.
【详解】
设false学生答对题的个数为false，则得分false（分），false，false，所以false，同理设false学生答对题的个数为false，可知false,false，所以false，所以false.故选A.
【点睛】
本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量false分布列的方差为false，则false分布列的方差为false.
9．A
【分析】
先利用垂直关系证明false，结合线线成角在false中求得false，证得false是等边三角形，再根据外接球的定义过两个平面图形的中心作垂线找到外接球球心，最后利用边长关系和表面积公式进行计算即可.
【详解】
如图所示四棱锥false，平面false平面false，false，取false中点E，
则false，false平面false，故false，又false，可知false平面false，
故false.
依题意，底面false是矩形，直线false与false所成角的余弦值为false，即直线false与false所成角false的余弦值为false，故false中，false，由false知，false，故false，又由false，false知，false是等边三角形，故false的三等分点F（距离E近的三等分点）是三角形中心，过F作平面false的垂线，过矩形false的中心O作平面false的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球球心.
false，false，设外接球半径R，
则false，
所以四棱锥false的外接球表面积为false.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.
10．B
【分析】
将false名志愿者分成false组，根据分组方法可确定共false种分组方法；将false组志愿者分到false个社区，结合分步乘法计数原理可计算求得总的安排种数；利用分组分配的方法可求得甲、乙在同一社区的方法种数，利用总的安排种数减掉甲、乙在同一社区的方法种数即可得到结果.
【详解】
把false名志愿者分成false组，每组至少false人，则有false，false两种分组方式，
则共有false种分组方法；
再将分好的false组志愿者分到false个社区，共有false种安排方法；
其中，甲、乙在同一社区的有：false种，
false不同的安排方法共有false种.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：本题主要考查排列组合的应用，常见的排列组合问题求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）平均分组问题先选好人后，平均分了false组，则除以false；
（5）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
11．A
【分析】
先利用点到直线的距离公式计算false，得到false，false，false，在false和false中计算false的正切值，再结合false和正切的二倍角公式化简计算得到false，即得到false.
【详解】
如图所示，false，false，false，渐近线false，即false，
焦点F到渐近线ON的距离false，则false，而false，故false.
false中，false，false中， false.
由渐近线对称性可知false，故false，故false，化简得false，
所以false.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：
求双曲线离心率的值或取值范围的常见方法：
（1）直接法：由a，c直接计算离心率false；
（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用false和false转化成关于false的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.
12．D
【分析】
原不等式化为false，设false，画出函数图象，结合函数图象列不等式求解即可.
【详解】
由false，得false，
设false，
false，false
所以false在false的上单调递增，在false单调递减，
而false的图象是一条恒过点false的直线，
函数false与false的图象如图所示，
依题意得，false，
若false中只有两个整数，这两个整数只能是1和2，
则false，
即false，解得false，
故false的最小值为false，
故选：D.
【点睛】
方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
13．false
【分析】
计算false，故false，代入计算得到答案.
【详解】
false，故false，故false，
解得false.
故答案为：false.
【点睛】
本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14．false
【分析】
根据古典概型的概率计算公式，先计算总的基本事件数：甲不跑第一棒的基本事件数：false，再确定所求事件：甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的的基本事件数：false，即可得到答案.
【详解】
由题得甲不跑第一棒的总的基本事件数：false，
甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件有false，
所以甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件有false，false
所以由古典概型的概率公式得：
在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是：false.
故答案为：false.
【点睛】
本题考查古典概型概率公式的应用、利用排列组合计算基本事件数，解题关键在于求甲不跑第一棒，乙不跑第二棒的基本事件数时，利用正难则反的思想，先计算甲不跑第一棒，乙跑第二棒的基本事件数，再用总的基本事件数减去这个结果即为所求.
15．false
【分析】
先由余弦定理求得false，再由正弦定理求得false，再由正弦定理求得false，设false，则false，用余弦定理可得关于false的方程，解方程可得false，进而可求得false的面积.
【详解】
因为false，false，false，由余弦定理得，false，
所以false，则false.设false，则false，因为false，所以false，由余弦定理得false，即false，解得false或false（舍），所以false，false，则false.
故答案为：false.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：由正弦定理求得false，设false，则false，用余弦定理可得关于false的方程，解方程可得false，进而求得false.
16．false
【分析】
抛物线false的焦点为false，准线方程为false．由题意得false，所以falsefalse，即false的最小值为false．令false，则点false的横坐标为false，由此得falsefalsefalse，然后再根据基本不等式求解可得结果．
【详解】
由题意得抛物线false的焦点为false，准线方程为false．
又点false是抛物线上一点，点false是圆false上任意一点，
∴false，
∴false．
令false，点false的坐标为false，
则false，
∴falsefalse，
∴false，当且仅当false，即false时等号成立．
∴false的最小值为false．
故答案为false．
【点睛】
本题考查抛物线定义及其应用，点与圆的位置关系、距离等问题，解题的关键是首先得到false的最小值，然后再根据基本不等式求出在最小值的最小值．考查推理论证和转化思想的运用及计算能力，属于中高档题．
17．（1）false；（2）false
【分析】
（1）由false可求出；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】
解：（1）当false时，false，
当false时，false，
则false，当false时也满足，
false数列false的通项公式为：false；
（2）由（1）可知false
false
false
false.
false数列false的前false项和false.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于false结构，其中false是等差数列，false是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于false结构，利用分组求和法；
（4）对于false结构，其中false是等差数列，公差为false，则false，利用裂项相消法求和.
18．（1）false为false的中点；（2）false.
【分析】
（1）直线false平面false时，平面false与平面false的交线与false平行，注意到false与平面false平行，false，因此false是false中点，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）以false为坐标原点，以false，false，false分别为false轴正方向，建立空间直角坐标系false，由空间向量法求二面角确定false点位置，再由线面角的余弦．
【详解】
解：（1）false为false的中点.
取PA的中点F，连EF?FD，E为PB的中点，即false，
又false，
则四边形CDFE为平行四边形，故false，
false故false面false.
（2）以false为坐标原点，以false，false，false分别为false轴正方向，建立空间直角坐标系false，如图所示，则false.
设false，则false.
false在棱false上，可设false(false).
故false，解得false，即false.
设平面false的法向量为false，false，
false，即false，取false，则false.
设平面false的法向量false，false，
false，即false，取false，则false.
二面角false的正弦值为false，则余弦值为false，
false，即false，即false.
又false，解得false，即false，false.
false轴false平面false，平面false的一个法向量为false，设false与平面false所成角为false，则false.
故false与平面false所成角的余弦值为false.
【点睛】
方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．
19．(1) 有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）①false；②答案见解析.
【分析】
（1）根据题意计算false，故有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；
（2）①根据题意，选取的8人中，男生false人，女生false人，进而根据条件概率求解即可；
②根据题意，false服从超几何分布，进而根据超几何分布求解即可.
【详解】
解：（1）因为false，
所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.
（2）①根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生false人，女生false人，
记事件false“选出的两人中有女生”，共有false或false种不同的选法，
false“选出的两人为一名男生?一名女生”，共有false种不同的选法，
则false
②根据题意，false所有可能取值为false
falsefalsefalse
所以false的分布列为
false
0
1
2
P
false
false
false
false
(或false服从超几何分布，false，false，false，false.)
【点睛】
本题考查独立性检验，条件概率，超几何概型，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意得选取的8人中，男生false人，女生false人，进而false服从超几何分布，再根据超几何概型求解即可.
20．（1）false；（2）false.
【分析】
(1)由椭圆的定义及离心率的意义求出a，b即可得解；
(2)按直线l1的斜率是否存在及是否为0的三种情况讨论，分别求出AC，BD长，再建立起S的函数关系，探讨其值域即可得解.
【详解】
（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率false得半焦距false，false，
所以椭圆false的标准方程为：false；
（2）由(1)知点false，
①当直线false的斜率为0时，直线false的方程为false，则false，直线false的方程为false，
则false与椭圆false的二交点坐标为false，false，此时false，可得false；
②当直线false的斜率不存在时，直线false的方程为false，则false与椭圆false的二交点坐标为false，false，此时false，
直线false的方程为false，则false，可得false；
③当直线false的斜率存在且不为0时，设直线false的斜率为false，则直线false，
由false得false，
false，设false，则false，
所以falsefalse，
同理可得false，
所以false．
由于false（当false时取等号），false，false，
false，false，所以false，
综合①②③可知，四边形false面积的取值范围是false．
【点睛】
结论点睛：直线l：y=kx+b上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离false；
直线l：x=my+t上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离false.
21．（1）false，false在false上单调递减，在false上单调递增；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由极值点与导数的关系，求出false的值，再根据false即可求函数单调性；（2）先将false放缩，转化为求false的最小值即可证明.
【详解】
（1）函数false的定义域false，
因为false，false是false的极值点，
所以false（1）false，所以false，
所以false，
因为false和false在false上单调递增，所以false在false上单调递增，
所以当false时，false；false时，false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增.
（2）当false时，false，
设false，则false，
因为false和false在false上单调递增，所以false在false上单调递增，
因为false，false
所以存在false使得false，
所以当false时，false，当false时，false，
所以false在false单调递减，在false上单调递增，所以false，
因为false，即false，所以false，
所以false，
因为false，所以false，所以false.
【点睛】
本题主要考查函数的极值与导数的关系、利用导数研究函数的单调性，放缩法证明不等式及利用函数单调性研究不等式恒成立问题，属于能力提升题.
22．（1）false的极坐标方程为：false，false，false的直角坐标方程为：false；（2）false.
【分析】
（1）由曲线false的参数方程消去参数false可得false的普通方程，即可得出极坐标方程，再将false的极坐标方程化简可得出直角坐标方程；
（2）将false分别代入false和false的极坐标方程可求得false极坐标，即可求出面积.
【详解】
解：（1）由题意得：false，消去false，∴falsefalse
∴false即false
化简为：false，false
∴false的极坐标方程为：false，false，
由false得：false
∴false即：false
∴false的直角坐标方程为：false
（2）由false得：false，∴false，
由false得：false，∴false，
falsefalsefalse.
【点睛】
关键点睛：本题考查极坐标方程的化简与应用，解题的关键是正确理解极坐标的几何意义.
23．（1）false；（2）(0，1).
【分析】
(1)去掉绝对值号得false，分成false和false两种情况解不等式false.
(2)由(1)可得false，从而可得false，进而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：（1）false，当false时，false；
当false时，由false，得false.
综上所述，不等式false的解集M为false.
（2）由（1）得，当false时，false，那么false，从而可得false，
解得，false，即实数a的取值范围是(0，1).
24．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）将false代入false，零点分段法去绝对值，分段求解最后求并集即可；（2）当false时，false恒成立，分情况讨论当false时和false时，false的正负，去绝对值，代入false判断false是否恒成立，从而求出false的范围.
【详解】
（1）当false时，false，
false等价于false或false或false解得false或false或false，
所以不等式false的解集为false；
（2）当false时，false，
false，且false，
当false时，false，
false，
false，
因为false，而false，所以false恒成立，所以false满足题意；
当false时，false当false，false，此时false不恒成立，故不满足题意；
综上，实数false的取值范围是false.
【点睛】
思路点睛：（1）解绝对值不等式常用的方法是零点分段法，去绝对值分段求解；（2）绝对值内含参数的绝对值不等式，常用分类讨论的方法去绝对值，再分情况讨论求解.