2020-2021学年七年级数学北师大版下册 第四章4.1认识三角形同步检测（word版含答案）

北师大版七年级数学下册第四章4.1认识三角形
同步测试（原卷版）
一．选择题
1．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　）个．
A．1
B．2
C．3
D．0
2．点D是在等腰直角三角形ABC的斜边AB的中点，点E，点F分别是AC，BC上的中点，连接DC，DE，DF，那么图中的等腰直角三角形的个数是（　　）
A．8个
B．7个
C．6个
D．5个
3．下列三条线段能组成三角形的是（　　）
A．7、17、10
B．17、10、24
C．24、17、6
D．2、2、
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．在三角形ABC中，AB＝7，BC＝2，并且AC的长为奇数，则AC＝（　　）
A．3
B．5
C．7
D．9
7．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
8．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边中线的交点
9．若一个三角形的三个内角的度数之比为11：13：24，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　
　三角形．
12．如图，以AD为高的三角形共有　
　个．
13．已知△ABC的两条边a、b的长分别为4和7，则第三边c的取值范围是　
　．
14．△ABC的三边a，b，c满足(3－a)2＋|7－b|＝0，且c为偶数，则c＝
．
15．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝
．
　　　
16．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　
　．
三．解答题
17．一个三角形的三边之比为2：3：4，周长为63cm，求此三角形的边长．
18．
已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B＝26°，∠ACD＝56°，求∠AED的度数．
20．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．
（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．
21．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
22．（1）阅读并填空：如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝　ABC　（
　）．
同理：∠2＝　
　．
所以∠1+∠2＝　
　．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（　
　），
所以∠D＝　
　（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果
（i）如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是　
　．
（ii）如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是　
　．
（3）拓展应用
请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
（i）∠A＝80°，则∠F＝　
　；
（ii）∠F＝n°，则∠A＝　
　．
北师大版七年级数学下册第四章4.1认识三角形
同步测试（解析版）
一．选择题
1．给出下列说法：（1）等边三角形是等腰三角形；（2）三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；（3）三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．其中，正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．0
【分析】根据三角形的分类、三角形的三边关系进行判断．
【解答】解：（1）等边三角形是一特殊的等腰三角形，正确；
（2）三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形，错误；
（3）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，正确．
综上所述，正确的结论2个．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形．注意：等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．
2．点D是在等腰直角三角形ABC的斜边AB的中点，点E，点F分别是AC，BC上的中点，连接DC，DE，DF，那么图中的等腰直角三角形的个数是（　　）
A．8个
B．7个
C．6个
D．5个
【分析】根据等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可．
【解答】解：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴△ADC，△CDB都是等腰直角三角形，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，AE＝EC，
∴DE＝AE＝EC，
∴△AED，△DEC都是等腰三角形，
同法可证△CDF，△DFB都是等腰三角形，
∴△ABC，△ADC，△CDB，△AED，△DEC，△CDF，△DFB都是等腰三角形，
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，属于中考常考题型．
3．下列三条线段能组成三角形的是（　　）
A．7、17、10
B．17、10、24
C．24、17、6
D．2、2、
【分析】本题根据三角形三边关系逐个判断是否满足条件即可选出正确答案．
【解答】解：A.7+10＝17，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故A错误，
B.17+10＞24，满足任意两边之和大于第三边，能组成，故B正确，
C.6+17＜24，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故C错误，
D.2+2＜，不满足任意两边之和大于第三边，不能组成，故D错误，
故选：B．
【点评】本题考查三角形三边关系，根据三角形三边关系逐个判断是否满足条件即可选出正确答案．
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
5．如图，∠BAD＝∠ADC＝90°，以AD为一条高线的三角形个数有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【分析】由于AB⊥AD，AD⊥CD，根据三角形的高的定义，可确定以AD为一条高线的三角形的个数．
【解答】解：以AD为一条高线的三角形有△ADE、△ADC、△AEC、△DAB这4个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活
6．在三角形ABC中，AB＝7，BC＝2，并且AC的长为奇数，则AC＝（　　）
A．3
B．5
C．7
D．9
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出AC的取值范围，再根据AC是奇数解答即可．
【解答】解：∵AB＝7，BC＝2，
∴7+2＝9，7﹣2＝5，
∴5＜AC＜9，
∵AC为奇数，
∴AC＝7．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记关系式求出AC的取值范围是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积为16，则△BEF的面积是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．
【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝EC，高相等；
∴S△BEF＝S△BEC，
同理得，S△DEC＝S△ADC，S△DEB＝S△ADB，
∴S△EBC＝S△ABC，
∴S△BEF＝S△ABC，且S△ABC＝16，
∴S△BEF＝4，
即阴影部分的面积为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．
8．如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边垂直平分线的交点
D．三边中线的交点
【分析】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．
【解答】解：∵支撑点应是三角形的重心，
∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，
故选：D．
【点评】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．
9．若一个三角形的三个内角的度数之比为11：13：24，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【分析】设该三角形最小的内角的度数为11x°，则另外两角度数分别为13x°，24x°，利用三角形内角和定理，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入24x°中可得出24x°＝90°，进而可得出这个三角形一定是直角三角形．
【解答】解：设该三角形最小的内角为11x°，则另外两角分别为13x°，24x°，
依题意，得：11x+13x+24x＝180，
解得：x＝，
∴24x°＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可得到正确结论．
【解答】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，即①正确；
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF
∴∠DCF＝∠ACF，∠DBC＝∠ABC，
∵∠DCF是△BCD的外角，
∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC＝∠ACF﹣∠ABC＝（∠ACF﹣∠ABC）＝∠BAC，即②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC＝∠EAC，∠DCA＝∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°﹣（∠EAC+∠ACF）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°﹣（180°+∠ABC）
＝90°﹣∠ABC
＝90°﹣∠ABD，即③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°﹣∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，即④错误；
∴正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．
二．填空题
11．一个三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状是　直角　三角形．
【分析】根据三种三角形的高的特点解答．
【解答】解：∵三角形两边上的高线交于一点，这个点正好是三角形的一个顶点，
∴这个三角形一定是直角三角形．
故答案为：直角．
【点评】本题考查了三角形，关键是掌握直角三角形的特点．
12．如图，以AD为高的三角形共有　6　个．
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故答案为：6
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
13．已知△ABC的两条边a、b的长分别为4和7，则第三边c的取值范围是　3＜c＜11　．
【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．即可求解．
【解答】解：三角形两边的和＞第三边，两边的差＜第三边．
则7﹣4＜c＜7+4，
即3＜c＜11．
故答案为：3＜c＜11．
【点评】此题考查三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
14．△ABC的三边a，b，c满足(3－a)2＋|7－b|＝0，且c为偶数，则c＝6或8．
分析：先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形的三边关系及c为偶数求出c的值即可．
解答：解：∵△ABC的三边a，b，c满足（3-a）2+|7-b|=0，
∴a=3，b=7，根据三角形的三边关系定理即任意两边之和＞第三边得到4＜c＜10，
∵c为偶数，∴c=6或8．
点评：本题考查三角形的三边关系定理以及推论，即任意两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．
15．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝2．
　　　
试题分析：∵点D是AC的中点，
∴AD=AC，
∵S△ABC=12，
∴S△ABD=S△ABC=×12=6．
∵EC=2BE，S△ABC=12，
∴S△ABE=S△ABC=×12=4，
∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，
即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2．
16．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　61°　．
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝119°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF，
∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2），
∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝119°
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝61°．
故答案是：61°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．
三．解答题
17．一个三角形的三边之比为2：3：4，周长为63cm，求此三角形的边长．
【分析】首先设三角形三边长为2xcm，3xcm，4xcm，根据三角形的周长可得方程2x+3x+4x＝63，计算出x的值，进而可得三角形三边长．
【解答】解：设三角形三边长为2xcm，3xcm，4xcm，由题意得：
2x+3x+4x＝63，
解得：x＝7，
则2x＝14，
3x＝21，
4x＝28．
答：此三角形的边长分别为14cm，21cm，28cm．
【点评】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形三边之和等于三角形的周长．
18．
已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．
18．答案：94°．
解析：【解答】在△DFB中，∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【分析】在△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．
19．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B＝26°，∠ACD＝56°，求∠AED的度数．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和知，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，∠AEC＝∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵∠B＝26°，∠ACD＝56°
∴∠BAC＝30°
∵AE平分∠BAC
∴∠BAE＝15°
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝41°．
【点评】本题利用了三角形内角与外角的关系和角平分线的性质求解．
20．如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高．
（1）若AE＝5cm，S△ABC＝30cm2．求DC的长．
（2）若∠B＝40°，∠C＝50°，求∠DAE的大小．
【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC＝15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长．
（2）依据∠B＝40°，∠C＝50°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为中线，即可得到△ABD为等腰三角形，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝5cm，S△ABC＝30cm2，
∴S△ADC＝15cm2，
∴×AE×CD＝15，
∴×5×CD＝15，
解得：CD＝6（cm）；
（2）∵∠B＝40°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝BC＝BD，
∴∠ADE＝2∠B＝80°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝10°．
【点评】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键．
21．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
（1）求CD的取值范围；
（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．
【分析】（1）利用三角形三边关系得出DC的取值范围即可；
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：（1）∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，
∴1＜DC＜9；
（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，
∴∠AEC＝55°，
又∵∠A＝55°，
∴∠C＝70°．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质，得出∠AEC的度数是解题关键．
22．（1）阅读并填空：如图1，BD、CD分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线．试说明∠D＝90°+∠A的理由．
解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝　ABC　（　角平分线定义　）．
同理：∠2＝　∠ACB　．
所以∠1+∠2＝　（∠ABC+∠ACB）　．
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°（　三角形的内角和等于180°　），
所以∠D＝　180°﹣（∠ABC+∠ACB）　（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
（2）探究，请直接写出结果
（i）如图2，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是　∠D＝90°﹣∠A　．
（ii）如图3，BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线．试探究∠D与∠A之间的等量关系．
答：∠D与∠A之间的等量关系是　∠D＝∠A　．
（3）拓展应用
请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
（i）∠A＝80°，则∠F＝　12.5°　；
（ii）∠F＝n°，则∠A＝　180°﹣4n°　．
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）（i）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论；
（ii）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论；
（3）（i）根据（2）（i）中的结论即可得到结论；
（ii）根据（2）（ii）中的结论即可得到结论．
【解答】解：（1）解：因为BD平分∠ABC（已知），
所以∠1＝∠ABC（角平分线定义）．
同理：∠2＝∠ACB．
所以∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），
因为∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，（三角形的内角和等于180°），
所以∠D＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）（等式性质）．
即：∠D＝90°+∠A．
故答案为：ABC，ACB，（∠ABC+∠ACB），三角形的内角和等于180°，180°﹣（∠ABC+∠ACB）．
（2）解：（i）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，
∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，
∴∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，
∴∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
而∠ABC＝180°﹣2∠DBC，
∠ACB＝180°﹣2∠DCB，
∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，
∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，
∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，
∴∠A﹣2∠D＝180°，
∴∠D＝90°﹣∠A，
故答案为：∠D＝90°﹣∠A；
（ii）∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A．
理由：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝∠DBC+∠D，
∵∠A+2∠DBC＝2∠DCE
∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，
∴∠A＝2∠D，
即：∠D＝∠A．
故答案为：∠D＝∠A；
（3）（i）由（1）知：∠D＝90°+∠A．
∵∠A＝80°，
∴∠D＝130°，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠CBE+∠BCN＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，
∴∠E＝180°﹣155°＝25°，
由（2）（ii）知∠F＝E＝25°＝12.5°，
故答案为：12.5°；
（ii）由（1）得∠D＝90°+∠A，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴2（∠EBC+∠ECB）+∠DBC+∠DCB＝360°，
∵∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，
∴2（180°﹣∠E）+180°﹣∠D＝360°，
∴∠E＝90°﹣∠D＝90°﹣（90°+∠A）＝45°﹣∠A，
∴∠F＝90°﹣∠E＝（45°﹣∠A）＝n°，
∴∠A＝180°﹣8n°．
故答案为：180°﹣8n°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．