专题5.4 作轴对称图形专项练习-2020-2021学年七年级数学下册基础知识专项讲练（Word版含答案）

1066800011925300专题5.4 作轴对称图形-（专项练习）
一、单选题
1．如图，点A，B在直线l的同侧，若要用尺规在直线l上确定一点P，使得AP+BP最短，则下列作图正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB上一点，DE∥CB，交AC于点E，点P是EC上的一个动点，要使PD+PB最小，则点P应该满足（　　）
PB＝PD B．PC＝PE
C．∠BPD＝90° D．∠CPB＝∠DPE
3．四边形中，，，在、上分别找一点、，使三角形周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知：如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于，交于，若，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
6．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1，P2交 OA于M，交OB于N，若P1P2＝6，则△PMN的周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
8．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
10．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°,∠B＝∠D＝90°，点E、F分别是线段BC、DC上的的动点．当三角形AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．80° B．70° C．60° D．50°
二、解答题
11．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短.
12．如图，点是内任意一点，，，点、分别是射线、上的动点，求周长的最小值．
13．如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是P点关于OA、OB的对称点，且MN交OA、OB相交于点E，若△PEF的周长为20，求MN的长．

14．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
15．如图，∠AOB＝30°，角内有一点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值是多少？
16．公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P(如图所示)．现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
17．如图,要在公路MN旁修建一个货物中转站,分别向A,B两个开发区运货.
（1）若要求货物中转站到A,B两个开发区的距离相等,那么货物中转站应建在哪里?
（2）若要求货物中转站到A，B两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应建在哪里？

18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，连结AM.如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，求点M到AC的距离.
19．如下图所示.(1)作出△ABC关于y轴对称的图形；(2)在x轴上确定一点P,使得PA+PC最小.
20．在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），△ABC的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图．
（1）在图中画出△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）在图中找一点O，使OA＝OB＝OC；
（3）在直线1上找一点P，使PA+PB的长最短．
21．如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．
22．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB上的动点．
(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．
(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．
24．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.
(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；
(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．
三、填空题
25．如图，点P关于OA，OB的对称点分别是P1，P2，P1P2分别交OA，OB于点C，D，P1P2=6cm，则△PCD的周长为___________．
26．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，E、F分别为AC、AD上两动点，连接CF、EF，则CF+EF的最小值为____．
27．如图所示：点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，△PMN的周长为15cm，P1P2＝_____．
28．如图，将长方形纸片ABCD对折后再展开，得到折痕EF，M是BC上一点，沿着AM再次折叠纸片，使得点B恰好落在折痕EF上的点B′处，连接AB′、BB′．
判断△AB′B的形状为　 　；
若P为线段EF上一动点，当PB+PM最小时，请描述点P的位置为　 　．
29．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=6，则△PMN的周长为______．
30．如图所示,∠A0B=420，点P为∠A0B内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长为________，∠MPN ________.
31．如图，在Rt中，AC⊥BC，若AC＝7，BC＝24，AB＝25，将Rt折叠，使得点C恰好落在AB边的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则的周长最小值为___________．
32．如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.
33．如图，△ABC中，AC＝10，AB＝12，△ABC的面积为48，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为______．
34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的△PBC的周长最小，则△PBC的周长最小值为______ ．
35．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．
36．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD是高，M，N分别是AD，AC上的动点，△ABC的面积是15，则MN+MC的最小值是_____．
37．已知，∠ABC=48°，P是∠ABC内一定点，D、E分别是射线BA、BC上的点，当△PDE的周长最小时，∠DPE的度数是__________.
38．如图，钝角三角形△ABC的面积是15，最长边AB＝10，BD平分∠ABC，点M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值为_____
39．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=4cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°则△PMN周长的最小值=________ .
40．如图，△ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则△CEF周长的最小值为______．
41．如图，钝角三角形ABC的面积为30，最长边AB=20，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是_____________．
42．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，CB=3，点D是BC边上的点，将△ADC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是________．
43．如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD的上点，且MC＝2MB，ND＝2NC．点P是对角线上BD上一点，则PM＋PN的最小值是_____．
参考答案
1．C
【解析】根据对称的性质以及两点之间线段最短可知选项C是正确的．
故选C．
2．D
【分析】如图，作点P关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
解：如图，作点D关于直线AC的对称点D′，连接BD′交AC于P，此时DP+PB的值最小．
由对称性可知：∠APD＝∠APD′，
∵∠CPB＝∠APD′，
∴∠CPB＝∠DPE，
∴DP+PB最小时，点P应该满足∠CPB＝∠DPE，
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称最短问题、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN＋∠ANM＝2（∠A′＋∠A″）即可解决．
解：延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′＋∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″＋∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN＋∠ANM＝2（∠A′＋∠A″），
∵∠BAD＝130°，
∴∠A′＋∠A″＝180°?∠BAD＝50°
∴∠AMN＋∠ANM＝2×50°＝100°．
故选C．
【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
4．D
【解析】由P与P1关于OA对称，得到OA为线段PP1的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得MP=MP1，同理可得NP=NP2，由P1P2=P1M+MN+NP2=6，等量代换可求得三角形PMN的周长．
解：∵P与P1关于OA对称，
∴OA为线段PP1的垂直平分线，
∴MP=MP1，
同理，P与P2关于OB对称，
∴OB为线段PP2的垂直平分线，
∴NP=NP2，
∴P1P2=P1M+MN+NP2=MP+MN+NP=6cm，
则△PMN的周长为6cm．
故选D
【点睛】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．
5．C
【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝8cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝8．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝8，
故选：C．
【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，解题关键在于作辅助线
6．C
【解析】试题分析：根据对称图形的性质可得：PM=M，PN=N，
则△PMN的周长=PM+MN+PN=M+MN+N==6．
考点：对称的性质
7．B
【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可.
解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与0A的交点即为点M，与OB的交点即为点N，
△MNP的最小周长为P．
M＋MN＋PN=P1M＋MN＋P2N= P1P2，即为线段P1P2的长，
连结OP1、OP2，则OP1=0P2=6，
又∵∠P1OP2=2∠AOB=60。，
∴△OP1P2是等边三角形，
∴P1P2=OP1=6，
即△MNP的周长的最小值是6．
故选：B．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和的判定以及轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是确定M、N的位置．
8．B
【解析】由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.
9．B
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5=OP，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故选B．
考点：1.轴对称的性质；2.最短路线问题；3.等边三角形的判定与性质.
10．A
【解析】试题分析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故选A．
考点：轴对称-最短路线问题．
11．见解析
解：如图所示，分别以直线OX、OY为对称轴，作点P的对称点与，
连接，分别交OX于点M，交OY于点N，则PM+MN+NP最短．
12．的周长最小，最小值为8．
【分析】设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为E，当点M、N在DE上时，△PMN的周长最小．
解：如解图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点，连接、、、．
点关于的对称点为，
，，．。
点关于的对称点为，
，，．
，
，
是等边三角形．
．
的周长为．
此时的周长最小，最小值为8．
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
13．20cm
【分析】根据轴对称的性质可知：EP=EM，PF=FN，所以线段MN的长=△PEF的周长，再根据△PEF的周长为20，即可得出MN的长．
解：∵点M是P点关于OA的对称点， ∴EP=EM，
∵N是P点关于OB的对称点，
∴PF=FN，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，
∵△PEF的周长为20，
∴MN=20cm.
【点睛】此题主要考查了轴对称的性质：对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
14．见解析
【解析】试题分析：根据两点之间线段最短，做出点D关于AB的对称点D′，连接CD′与AB的交点即为所求的点.
试题解析：如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点．
15．10cm
【解析】试题分析：设点P关于OA的对称点是E，关于OB的对称点是F，当点R、Q在EF上时，△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF，此时周长最小．
试题解析：作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF，
则PQ=EQ，PR=RF，
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF，
∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，
∴∠EOF=90°，
又∵OE=OP，OF=OP，
∴OE=OF=10，
即△EOF是等边三角形，
∴EF=OP=10，
所以△PQR的周长的最小值为10．
16．见解析
【解析】试题分析：可过点P分别作关于OM，ON的对称点P′，P″，连接P′P″，与OM、ON的交点即为满足条件的建桥地点.
试题解析：如图，作P关于OM的对称点P′，作P关于ON的对称点P″，连接P′P″，分别交MO，NO于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R就是小桥所在的位置．
理由：在OM上任取一个异于Q的点Q′，在ON上任取一个异于R的点R′，连接PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋Q′R′＋R′P″＞P′Q＋QR＋RP″，所以△PQR的周长最小，故Q，R就是我们所求的小桥的位置．
【点睛】本题考查了最短径问题，主要就是要掌握轴对称在生活中的实际应用，解此类题的关键就是要作出对称点，然后根据两点之间线段最短进行连接，从而得到满足条件的点.
17．答案见解析
【解析】要使货站到两个开发区的距离相等，可连接线段中垂线与的交点即为货物中转站的位置；
由于两点之间线段最短，所以过点作关于对称点，连接，与的交点即为货物中转站的位置．
试题解析：(1)如图所示：点即为所求.
(2)如图所示：点即为所求.
18．点M到AC的距离为2
【解析】
【分析】利用图形翻折前后图形不发生变化，从而得出AB=AB′=3，DM=MN，再利用三角形面积分割前后不发生变化，求出点M到AC的距离即可．
【详解】∵△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是B′，
作MN⊥AC，MD⊥AB，垂足分别为N，D，
又∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，
∴AB=AB′=3，DM=MN，AB′=B′C=3，
S△BAC=S△BAM+S△MAC，
即×3×6=×MD×3+×6×MN，
∴MD=2，
所以点M到AC的距离是2．
【点睛】
本题考查了翻折变换(折叠问题)，发现DM=MN，以及AB=AB′=B′C=3，结合面积不变得出等式是解决问题的关键．
19．（1） 见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P
解：(1)如图所示，△ABC即为所求；
(2)如图所示，点P即为所求（有两种做法：作A或C的对称点均可）.
【点睛】此题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，掌握作图法则是解题关键
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】
（1）根据网格性质找出点A、点B、点C关于直线l的对称点A′、B′、C′，顺次连接即可点△A′B′C′；
（2）根据网格性质，作AB和BC的垂直平分线，交于点O，则点O即为所求；
（3）根据轴对称性质及两点之间线段最短，连接A'B，与直线l的交点P即为所求．
【详解】（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，作AB和BC的垂直平分线，交于点O，则点O即为所求；
（3）如图所示，连接A'B，与直线l的交点P即为所求．
【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质及网格性质是解答此题的关键．
21．周长的最小值为8
【解析】
【分析】作P关于OA、OB的对称点，连结、，即可快速找到解题思路.
解：如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，，，且，，，，为等边三角形，即周长的最小值为8.
【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.
22．(1) 作图见解析. (2)30°
试题分析：（1）分别作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.
（2）由轴对称的性质知OP=OC，OP=OD，且△PEF周长的最小值是CD，所以dqga4OCD是等边三角形，而∠COD=2∠EOF，由此即可求解.
试题解析：
(1)如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F.此时，△PEF的周长最小．
(2)根据轴对称的性质得，OC=OP=OD，∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，△PEF的周长的最小值=CD，
因为OP=4，△PEF的周长的最小值为4，所以△OCD是等边三角形.
因为∠COE=∠POE，∠DOF=∠POF，所以∠PEF=∠COD=30°.
23．作图见解析.
【解析】试题分析：因为AD垂直平分BC，所以点C是点B关于AD的对称点，连接CN交AD于点M.
试题解析：
如图，连接NC与AD的交点为M点．点M即为所求．
24．(1) 作图见解析. (2) 76°.
【解析】试题分析：
（1）分别作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接DG交AC、BC于点M、N.
（2）由四边形的内角和求∠D+∠G=∠C，由轴对称的性质可得，∠D=∠DPM，∠G=∠GPN，即可求解.
试题解析：
(1)①作出点P关于AC、BC的对称点D、G.
②连接DG交AC、BC于点M、N.点M、N即为所求．
(2)设PD交AC于E，PG交BC于F，
∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C＋∠EPF＝180°.
∵∠C＝52°，∴∠EPF＝128°.
∵∠D＋∠G＋∠EPF＝180°，∴∠D＋∠G＝52°.
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN＋∠DPM＝52°，∴∠MPN＝128°－52°＝76°.
25．6
【解析】连接PC、PD
∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PC=P1C，PD=P2D
∴△MNP的周长等于P1P2=6cm.
点睛：本题主要考查了轴对称的性质的应用，难度适中，属于中档题，解题的关键熟记轴对称的性质：对应点的连线被对称轴垂直平分；轴对称图形对应线段相等，对应角相等.
26．
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于F，根据三线合一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出BM，根据对称性质求出BF=CF，根据垂线段最短得出CF+EF≥BM，即可得出答案．
解：作BM⊥AC于M，交AD于F，
∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=DC=3，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴B、C关于AD对称，
∴BF=CF，
根据垂线段最短得出：CF+EF=BF+EF≥BF+FM=BM，
即CF+EF≥BM，
∵S△ABC=×BC×AD=×AC×BM，
∴BM=，
即CF+EF的最小值是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是画出符合条件的图形.
27．15cm
【解析】
【分析】根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．
解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵△PMN的周长是15 cm，
∴P1P2=15（cm） ．
故答案为：15 cm．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．
28．等边三角形， AM与EF的交点
【分析】依据折叠的性质，即可得到AB=AB'=BB'，进而得出△ABB'是等边三角形，依据当A，P，M在同一直线上时，PB+PM最小值为AM的长，即可得到点P的位置为AM与EF的交点．
解：由第一次折叠，可得EF垂直平分AB，
∴AB′=BB′，
由第二次折叠，可得AB=AB′，
∴AB=AB′=BB′，
∴△ABB′是等边三角形；
∵点B与点A关于EF对称，
∴AP=BP，
∴PB+PM=AP+PM，
∴当A，P，M在同一直线上时，PB+PM最小值为AM的长，
∴点P的位置为AM与EF的交点.
故答案为等边三角形，AM与EF的交点.
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握翻折变换（折叠问题）与矩形的性质.
29．6
【解析】试题分析：根据轴对称的性质可得PM=P1M，PN=P2N，然后求出△PMN的周长=P1P2．
解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，
∵P1P2=6，
∴△PMN的周长=6．
故答案为6．
考点：轴对称的性质．
30．15 96°
【解析】
【分析】P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，故有PM＝P1M，PN＝P2N．由此即可得到△PMN的周长．根据四边形内角和为360°，可得出∠P1PP2的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得出∠PNM+∠PMN的度数，再根据三角形内角和定理即可得出∠MPN的度数．
解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，PP2⊥OB，PP1⊥OA，∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15，∠P1PP2=360°－90°－90°－42°=138°，∠P2=∠NPP2，∠P1=∠P1PM，∴∠PNM=2∠P2，∠PMN=2∠P1，∴∠PNM+∠PMN=2∠P1+2∠P2=2（180°－∠P1PP2）=84°，∴∠MPN=180°－（∠PNM+∠PMN）=180°－84°=96°．
故答案为：15，96°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角的性质、三角形内角和定理．熟练掌握相关定理和性质是解题的关键．
31．42
【分析】连接CP，根据折叠的性质得到点C和点E关于AD对称，可推出PC+PB的最小值即PE+PB最小，即当点P在点D的位置上时，的周长最小，计算出△BDE的周长即可.
解：连接CP，
由于折叠可得：点C和点E关于AD对称，
∴CP=EP，
在△PEB中，BE固定不变，
PE和PB随点P的位置变化，
∴当点P在点D的位置上时，
PC+PB最小，即PE+PB最小，
∵AC=7，BC＝24，AB＝25，
∴AE=7，BE=18，
∴PE+PB的最小值为CD+BD=BC=24，
∴△PEB的周长最小值为PE+PB+BE=24+18=42.
故答案为：42.
【点睛】本题考查了折叠的性质，最短路径问题，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．
32．3
【分析】如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等边三角形，据此即可求解．
解：如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了等边三角形的知识．正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．
33．8
【分析】根据题意画出符合条件的图形，作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，求出EM+EC=MC，根据垂线段最短得出EM+EC=MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值．
解：试题分析：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，
∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴M必在AC上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME＝EF，
∴EF＋EC＝EM＋EC，
即EM＋EC＝MC≥PC（垂线段最短），
∵△ABC的面积是48，AB＝12，
∴×12×PC＝48，
∴PC＝8，
即CE＋EF的最小值为8．
故答案为8．
点睛：本题考查了最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
34．18cm
【分析】根据轴对称的性质，即可判定P就是N点，所以△PBC的周长最小值就是△NBC的周长.
解：∵A、B关于直线MN对称，
∴连接AC与MN的交点即为所求的P点，此时P和N重合，?
即△BNC的周长就是△PBC的周长最小值，?
∴△PBC的周长最小值为BC+AC=8+10=18cm.
故答案为：18cm.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短距离，根据轴对称的性质求出P点的位置是解答本题的关键.
35．45°
【分析】找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．
解：如图，
找到点M关于OC对称点M′，过点M′作M′N⊥OB于点N，交OC于点P，则此时PM+PN的值最小．
∵PM=PM′，
∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，
∵点M与点M′关于OC对称，OC平分∠AOB，
∴OM=OM′，
∵∠AOB=45°，
∴∠PM'O=∠AOB=45°，
∴∠PMO=∠PM'O=45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P及点N的位置是关键．
36．5
【分析】首先过点C作CE⊥AB交AB于点E，交AD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，由AD是∠BAC的平分线，由垂线段最短得出MN=ME，MC+MN= CE的长度，最后通过三角形面积公式即可求解.
解：
过点C作CE⊥AB交AB于点E,交AD于点M,过点M作MN⊥AC于点N,
∵AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
∴AD是∠BAC的平分线
∴MN=ME，则此时MC+MN有最小值，即CE的长度，
【点睛】本题主要考查等腰三角形三线合一定理，三角形面积公式，垂线段最短，运用数形结合思想是解题关键.
37．84°
【解析】如图作点P关于直线AB的对称点F，作点P关于直线BC的对称点G，连接FG交AB于D，交BC于E，则△PDE的周长最小．
设∠ABP=∠ABF=x，∠CBP=∠CBG=y，则x+y=48°，
∵BP=BF，
∴∠BPF=∠BFP=（180°-2x）=90°-x．同法可得∠BPG=90°-y，
∴∠FPG=180°-x-y=132°，
∴∠BFP+∠BGP=132°，
∵∠BFG+∠BGF=180°-96°=84°，
∴∠PFG+∠PGF=132°-84°=48°，
∵DF=DP，EP=EG，
∴∠DFP=∠DPF，∠EGP=∠EPG，
∴∠EDP=2∠DFP，∠DEP=2∠EGP，
∴∠PDE+∠PED=96°，
∴∠DPE=180°-96°=84°，
故答案为：84°．
38．3
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN，
根据垂线段最短可知，CE的长即为CM+MN的最小值，
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴×10?CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
39．4cm
【解析】试题分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN.
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=4cm,
∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=4cm.
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN＝CD＝4cm.
故答案为4cm.
点睛：本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定. 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在.
40．
【分析】分别作点C关于AD、AB的对称点M、N，连接MN，MN与AD交于点E，与AB交于点F，连接CE、CF，则此时△CEF的周长最小.分别证△ADC≌△ABC，△ACD≌△MCP，得MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，MN=2MP=6.
解：如图，因为，所以分别作点C关于AD、AB的对称点M、N，连接MN，MN与AD交于点E，与AB交于点F，连接CE、CF，则此时△CEF的周长最小，
连接AC，交MN于点P，
由作图可知CE=ME、CF=FN，∴△CEF的周长：CE+CF+EF=MN，
∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD=3，∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°，
∵∠ADC=∠ABC=90°，∴∠CDB=∠CBD=30°，
∴CD=CB，
∵DM=CD，BN=CB，∴CM=2CD=2BC=CN，MN//BD，∴∠M=∠N=∠CDB=30°，
又∵AC=AC，∴△ADC≌△ABC，
∴CD=CB，∠DAC=∠BAC=∠DAB=30°，
∴AC=2CD，∠M=∠DAC，∴AC=CM，
又∵∠ACD=∠MCP，∴△ACD≌△MCP，∴MP=AD=3，∠MPC=∠ADC=90°，
∴MN=2MP=6，
即△CEF周长的最小值是6，
故答案为6.
【点睛】本题考查了最短路径问题，涉及到等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等，正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键.
41．3．
【解析】由在AB上可以找到一点E，使ME=MN，则CM+MN=CM+ME，对于CM+ME，当C、M、E共线，且CE⊥AB时CM+ME最小，
则过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，
∴MN=ME，
∴CE=CM+ME=CM+MN的最小值．
∵三角形ABC的面积为15，AB=10，
∴×10×CE=15，
∴CE=3．
即CM+MN的最小值为3．
故答案为3．
点睛：本题考查轴对称-最短路线问题，关键是画出符合条件的图形．
42．4
【解析】连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，即可此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BE=1，代入求出△PEB的周长的最小值是BC+BE=3+1=4．
故答案为：4．
43．6
【解析】
【分析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小
解：连接AC，求出BM=BQ=BC=2、CN=CD=2，则MP+NP=QN=BC=6．