(共62张PPT)
1．2 空间向量在立体几何中的应用
1．2.1 空间中的点、直线与空间向量
必备知识·自主学习
1.空间中点的位置向量
如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置,都可以由向量____唯一
确定,此时,通常称____为点P的位置向量.
导思
1.空间中点的位置向量是如何定义的?
2.空间中直线的方向向量是怎样定义的?空间中两直线的位置
关系与其方向向量有何关系?
【思考】
空间直角坐标系中的点的位置向量是由什么确定的？
提示：空间直角坐标系中的点的位置向量由它的坐标唯一确定．
2.空间中直线的方向向量
(1)定义:一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示
v的有向线段所在的直线与l___________,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也
称向量v与直线l_____,记作v∥l.
平行或重合
平行
【思考】
空间一条直线的方向向量唯一吗？它们有什么共同特征？
提示：不唯一，都平行．
关键能力·合作学习
向量法
即通过两条直线方向向量的夹角来求两条异面直线所成的角.
定义法
(平移法)
由两条异面直线所成角的定义将求两条异面直线所成角的大
小转化为平面角求解.求解的方法是解三角形.
课堂检测·素养达标(共60张PPT)
1.2.2 空间中的平面与空间向量
必备知识·自主学习
1.平面的法向量
(1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个_____向量，且表示n
的有向线段所在的直线与平面α_____，则称n为平面α的一个法向量．此时也
称n与平面α垂直，记作______．
非零
垂直
n⊥α
(2)性质：如果A，B是平面α上的任意不同两点，n为平面α的一个法向量，
则：
1
若直线_____，则l的任意一个方向向量都是平面α的一个
法向量
2
对任意实数λ≠0，λn是平面α的一个法向量
3
向量一定与n_____，即·n＝0
l⊥α
垂直
【思考】
平面α的法向量唯一吗？它们有什么共同特征？
提示：不唯一，都平行．
2．空间线面的位置关系与空间向量
若v是直线l的一个方向向量，n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则：
1
_____?l⊥α1
2
n1⊥v
?l∥α1或______
3
n1⊥n2?________
4
n1∥n2?α1∥α2或α1，α2_____
n1∥v
l?α1
α1⊥α2
重合
【思考】
已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？
提示：不一定，也可能l?α.
3．三垂线定理及其逆定理
射影
已知平面α和一点A，过点A作α的_____l，设l与α
相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影，
也称为投影．
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内
的_____垂直，则它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，
则它也和这条斜线在该平面内的_____垂直．
垂线
射影
射影
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)已知直线l垂直于平面α，向量a平行直线l，则a是平面α的法向量．( )
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( )
(3)若a是平面α的一条斜线，直线b垂直于a在α内的射影，则a⊥b.( )
提示：(1)×.向量a必须为非零向量．
(2)√.
(3)×.因为b不一定在平面α内，所以a与b不一定垂直．
2．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )
A．(0，1，2)
B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3)
D．(3，6，8)
【解析】选B.向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线．
3．(教材例题改编)已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，则AB与PC的关系是________．
【解析】因为O为△ABC的垂心，所以CO⊥AB.
又因为OC为PC在平面ABC内的射影，
所以由三垂线定理知AB⊥PC.
答案：垂直
关键能力·合作学习
线面
平行
(1)求出直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，只需证明a⊥u，即a·u＝0.
(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．
面面
平行
(1)转化为相应的线线平行或线面平行．
(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.
线面
垂直
求出平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量和它们都垂直．
面面
垂直
(1)转化为线面垂直．
(2)求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直．
课堂检测·素养达标(共58张PPT)
1.2.3 直线与平面的夹角
必备知识·自主学习
导思
1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什么？
2．求直线与平面所成角的方法有哪些？
1.直线与平面所成的角
2．斜线与平面所成角的性质
(1)“最小角”结论
(2)“三相等”结论
经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，_________、_______及斜线与
平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等．
(3)射影长计算公式
当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A′B′
时，有____________________．
斜线段长
射影长
A′B′＝ABcosθ
3．直线与平面的夹角的向量求法
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，直线l与平面α所成
角的大小为θ，则θ＝－
〈v，n〉或
，特别地，cos
θ＝
sin
〈
v，n
〉或
．
关键能力·合作学习
课堂检测·素养达标
直线与平面垂直直线与平面的夹角为90
直线
与平
直线与平面平行直线与平面的夹角为0
面所
或在平面内
成的
角
斜线和平面
斜线和它在平面内的射影所成
所成的角
的锐角,称为斜线和平面所成
的角(或斜线和平面的夹角)
如图,AB⊥Q,则图中e,6,62
之间的关系是cose=cos1cos62
线线角、线面
角的关系式
B
最小角结论平面的斜线与平面所成的角,是斜线
和这个平面内所有直线所成角中最小
的角
个
C
P
D
C
B
D
C
课结東(共62张PPT)
1.2.4 二 面 角
必备知识·自主学习
导思
1.什么是二面角？
2．怎样求二面角的大小？
1.二面角的定义及相关概念
二面角的定义
从一条直线出发的___________所组成的图形称为
二面角
棱
_________称为二面角的棱
面
_____________称为二面角的面
范围
0°≤θ≤180°
两个半平面
这条直线
这两个半平面
二面角的平面角
在二面角α?l?β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，
分别在半平面α和β内作_____于棱l的_____OA和OB，
则射线OA和OB所成的角______称为二面角的平面角
直二面角
平面角是_____的二面角称为直二面角
两个相交平面所成的角
两个相交平面所形成的四个二面角中，__________
_____________的角
垂直
射线
∠AOB
直角
不小于0°
且不大于90°
【思考】
二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？
提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．
【基础小测】
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)二面角是指两个平面相交的图形．( )
(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内且都与棱垂直．( )
(3)两个半平面的法向量的夹角的大小与二面角的大小相等．( )
提示：(1)×.二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)√.根据二面角的平面角的定义可得．
(3)×.相等或互补．
2．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
【解析】选C.由等角定理可知这两个二面角的平面角相等或互补．
3.(教材例题改编)如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小等于________．
【解析】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，所以∠BAC为二面角B?PA?C的平面角，
又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.
答案：90°
关键能力·合作学习
课堂检测·素养达标
