上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习题型整理分析：第9部分 直线与圆锥曲线

第九部分　　直线与圆锥曲线
70、直线的倾斜角是直线向上方向与轴正方向所成的角，当直线是轴或与轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是.当直线与轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.
［举例］已知直线的斜率是，直线过坐标原点且倾斜角是倾斜角的两倍，则直线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由的斜率是，知直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为，则的斜率为，所以直线的议程为.
71、若直线的倾斜角为，直线的斜率为，则与的关系是：
；　　.
［举例］已知直线的方程为且不经过第二象限，则直线的倾斜角大小为―――――――――――――――――――――――――――――――（　　）
A、；　　　B、；　　　C、；　　　D、.
分析：注意到直线的斜率，又直线不过第二象限，则，所以此直线的倾斜角为，选B.
72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式，过定点与轴不垂直；（2）斜截式，在轴上的截距为与轴不垂直；（3）截距式，在轴轴上的截距分别为与坐标轴不平行且不过坐标原点.特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点.
［举例］与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（　　）
A、2条；　　　　　　B、3条；　　　　　　C、4条；　　　　　　D、5条.
分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.
73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”.
［举例］过点与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线满足题义，故所求直线有两条，其方程为：与.
74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线：不全为0）、：，（不全为0）.则的充要条件是且与至少有一个不为零；的充要条件是；与相交的充要条件是.
［举例1］直线斜率相等是的――――――――――――――――――（　　）
A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.
分析：直线斜率相等，两直线可能重合，不一定有；又两直线，考虑到特殊情况，若都与轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.
［举例2］直线过点与以为端点的线段AB有公共点，则直线倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行变化研究..若直线与线段AB有公共点，则其斜率存在时的取值范围是：或，或其斜率不存在.因此直线倾斜角的取值范围是.
利用数形结合解决这类问题时，困惑的是要求的直线斜率的取值范围问题.可以这样来确定：过定点P的直线（倾斜角为）与线段AB有公共点（PA、PB与轴不垂直），PA、PB的倾斜角分别为，则.若直线的斜率为（存在的话），PA、PB的斜率分别为，当时，则有；当时，则有或.
在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解.设直线的方程为，，若与线段AB有公共点（A、B两点在直线的两侧或有一点在直线上），则；若与AB没有公共点（A、B两点在直线的同侧），则.这样可很方便地求出直线的斜率.
75、点A、B关于直线对称即是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点关于直线的对称点是；点关于直线的对称点是.
［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点与点重合，若点与点D重合，则点D的坐标为＿＿＿＿＿；
分析：实际上这是一个对称的问题，对称轴是AB的垂直平分线：，D点是C点关于直线的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设D点的坐标为，则，且，求得：.
［举例2］抛物线C1：关于直线对称的抛物线为C2，则C2的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.
分析：两抛物线关于一直线对称，则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点关于此直线的对称点即可.抛物线C1的焦点坐标为，所以C2的焦点坐标为.
76、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C的半径是，圆心到直线L的距离是，当时，直线L与圆C相离；当时，直线L与圆C相切；当时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解.
［举例1］已知点是圆外的一点，则直线与圆的位置关系是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（　　）
A、相离；　　　B、相切；　　　C、相交且不过圆心；　　　D、相交且过圆心.
分析：点在圆外，则，圆心到直线的距离，又.选C.
关注：若点是圆上的一点，则直线是圆过此点的切线方程；若点是圆外的一点，则直线是此圆过该点有两切线的切点弦的方程.
［举例2］若圆O：上有且只有两点到直线的距离为2，则圆的半径的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：如图：圆心O到直线的距离为3，与直线
距离为2的点的轨迹是与平行且与距离为2的两
平行直线（图中虚线）.由题义知直线与圆O
有两不同交点，而与圆O没有公共点.因此圆O半
径的取值范围是.
77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程，即确定系数D、E、F.要注意的是方程表示圆的充要条件是.确定一个圆的方程需要三个互相独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.
［举例1］二次方程表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；
分析：注意到圆的一般方程中没有这样的项，且二次项系数都为1.则必有，且，此时方程可以化成：.与圆的一般方程比较可以得出：.其充要条件为：.
［举例2］已知圆C被轴截得的弦长是2，被轴分成的两段弧长之比为，求圆心C的轨迹方程.
分析：如图，设圆心，圆半径为.因圆被轴截得的线段长为2，圆心到轴的距离为，则根据直线与圆的位置关系，知，
又圆被轴所分成的两段弧长之比为，则轴被所截得
的弦所对的中心角为直角，圆心到轴距离为，则
.则.即所求的轨迹方程为
.
78、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等.
［举例1］直线过定点与圆交于A、B两点，则弦AB中点N的轨迹方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
分析：解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.即要抓
住圆的几何特征.如图：，M、O都是定点，
所以N在以线段OM为直径的圆上，其方程为
.注意到点N在圆内，则弦N的轨迹方程为（.
［举例2］直线过定点与圆
交于A、B两点，O是坐标原点，则△AOB面积的
最大值为＿＿＿＿＿＿＿；
分析：由圆的性质知，△AOB是等腰三角形，
，所以当为直角时，其面积最大，最大值为2.
［举例3］已知A是圆上任意一点，点A关于直线的对称点也在圆上，那么实数的值为＿＿＿＿＿.
分析：圆上的点关于直线的对称点仍然在圆上，则此直线必过圆心，代入知：.
79、两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A的半径为，圆B的半径为（不妨设），则有：（1），两圆外离；（2），则两圆外切；（3），则两圆相交；（4），则两圆内切；（5），则两圆内含.关注：两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分.
［举例1］已知动圆C与定圆M：相切，且与轴相切，则圆心C的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半径为，
则，C到轴的距离为，则C到直
线的距离，那么C到直线
的距离与C到M的距离相等，所以点C的轨迹是以
M为焦点，直线为准线的抛物线.其方程为：
.
（2）当两圆内切时，可得C到M的距离与C到直线
的距离相等，所以此时点C的轨迹是以M为焦点，
直线为准线的抛物线.其方程为：.
所以圆心C的轨迹方程为：与.
［举例2］已知，一动圆I过点M与圆N：内切.
（1）求动圆圆心I的轨迹C的方程；
（2）经过点作直线交曲线C于A、B两点，设，当四边形OAPB的面积最大时，求直线的方程.
分析：（1）如图，动圆I与定圆N内切，设动圆半径为，则.那么有：
，，所以I点的轨迹是以M、N为焦点4为长轴长的椭圆.其方程为.
（2）由知，四边形OAPB是平行四边形.要
使得四边形OAPB面积最大，则△OAB的面积最大，注意变
化中的定值条件.△OAB的面积是△AOQ的面积与△BOQ的
面积之差.设A，则.
可在联立方程组时，消去变量，保留.
设直线的方程为，
由.由
△=，得.
由韦达定理得：
知.则=
.令，那么：
，当时等号成立.此时，即所求的直线方程为.
80、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”.
［举例1］已知复数满足，则对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；
分析：根据复数的几何意义，复数对应点到与对应点的距离之和为4，看似椭圆，但注意到两定点之间的距离为4.所以对应点的轨迹是以与对应点为端点的线段.
［举例2］设P是以为焦点的椭圆上的一点，若点P满足：，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（　　）
A、；　　　　　　　B、；　　　　　　　C、；　　　　　　　D、.
分析：由题知，又，则.由得.则.则.选D.
81、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是与；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为）.
［举例1］一直线过椭圆的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
分析：注意到此椭圆的通径长为2，所以此直线的方程为.
［举例2］椭圆上有个不同的点，椭圆的右焦点为F，数列是公差为的等差数列，则的取值范围是＿＿＿＿＿.
分析：注意到的取值范围是，若数列是递增数列，有，此时.若数列是递减数列则.所以.
82、椭圆上任意一点P与两焦点构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的周长为定值，利用解三角形的方法可以得出：当＝时，此三角形的面积为（引起注意的是此结论的推导过程要掌握）.
［举例］已知点，点C在直线上满足，则以A、B为焦点过点C的椭圆方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：注意到△ABC的面积为2，且，即，则.所以所求的椭圆方程为.
另解：由图，因为△ABC是直角三角形，｜AB｜＝4，
，，
可求得.所以所求的椭圆方程为.
83、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值（实轴长）”，双曲线基本量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.
［举例］一双曲线C以椭圆的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由题知双曲线的实轴在轴上，可设其方程为.注意到双曲线的其本量关系可得：，所以所求双曲线方程为.
84、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.双曲线的渐近线的方程为，与双曲线共渐近线的双曲线可以设成（其中是待定的系数），双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长.
［举例1］一双曲线与有共同渐近线且与椭圆有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿；
分析：由题可设所求双曲线的方程为，因其焦点在轴上，则.则标准式为，那么.得所求双曲线为.
［举例2］若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
分析：若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手，
借助于双曲线的渐近线，则很容易得解.在同一坐标系中
作出（双曲线的上半部分）与
（过定点的直线）的图像.如图：可
得.
85、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是，到异侧一支上点的距离最小值是；（3）双曲线的焦点为，P是双曲线上的一点，若，则△的面积为（仿椭圆焦点三角形面积推导）.
［举例1］已知双曲线的方程为，P是双曲线上的一点，F1、F2分别是它的两个焦点，若，则＿＿＿＿＿＿；
分析：由双曲线的定义，知或13.注意P点存在的隐含条件，所以.
［举例2］椭圆和双曲线的公共焦点为，P是它们的一个公共点，则＿＿＿＿＿；
分析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以由.又由椭圆的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为，由双曲线的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为，则.解得，由万能公式得.
另解：也可以由（不妨设），求得，，又由，利用余弦定理可得.
［举例3］双曲线的两焦点为是此双曲线上的一点，且满足＝，则△的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：由题可以得出点P在椭圆上，设，由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆，对于双曲线，则必有，所以△的面积等于1.
86、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.
［举例］抛物线的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿.
分析：注意到方程不是抛物线的标准方程，其标准形式为.所以此抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
87、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为；（5）通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条.
［举例1］已知抛物线的焦点为，对称轴为，且过M（3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿＿；
分析：若仅局限于抛物线的标准方程，此题无法解决.考虑到抛物线的性质，准线是与对称轴垂直，则其方程可设为.由抛物线的定义可知抛物线上点到焦点的距离与其到准线的距离相等，因此到准线距离等于，则，则.所以抛物线的准线为.
［举例2］直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，若A、B两点到轴的距离之和等于3，则这样的直线有―――――――――――――――――（　　）
A、1条；　　　　　B、2条；　　　　　C、3条；　　　　　D、不存在.
分析：A、B两点到轴的距离之和为3，则A、B两点到准线的距离之和为5.根据抛物线的定义可得弦长，此抛物线的通径为4，故满足题义的直线有2条.选B.
88、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线为例，焦点弦有下列常用性质：设抛物线的焦点为F，是抛物线上的两点.（1）A、B、F三点共线的充分必要条件是；（2）；（3）若AB过焦点，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（4）AB过焦点，则为定值；（5）AB过焦点，则.
［举例1］直线过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，O是抛物线的顶点，则△ABO的形状是――――――――――――――――――――――――――――――――（　　）
A、直角三角形；B、锐角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与抛物线的开口大小有关.
分析：不妨设此抛物线的方程为，过焦点的直线，代入抛物线方程得：，设，则，
.，所以为钝角.选C.
[举例2]求证：过抛物线焦点的所有弦长的最小值是.
分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB，，则由抛物线的定义知.当且仅当时等号成立.此时直线AB与对称轴垂直.
89、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.“点”是指弦端点、弦中点；“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差.由点差法可以利用弦中点的坐标表示出弦所在直线的斜率.
［举例］已知点M是椭圆的一条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别为，则＝―――――――――――――（　　）
A、；　　　　　B、；　　　　　C、；　　　　　D、.
分析：设，则，，两式作差得，又，所以.即.选C.
90、当直线过轴上的定点时，若直线不是轴，则此直线方程可以设成.这样可以避免讨论直线斜率是否存在.
［举例］设直线过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求直线的方程.
分析：由题可设直线：代入椭圆方程中得：，设，可得△OAB的面积S=，可得：
，则当时，S有最大值为1.此时直线方程为：.
91、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联系起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记.
［举例1］设点P为双曲线上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿＿＿；
分析：设又.由题义得：，代入
得：即为所求的轨迹方程.像这种求轨迹的方法称为代入转移法，它适用于由定曲线上的动点所确定的另一动点的轨迹方程的求法.具体步骤是用要求轨迹方程的动点坐标来表示定曲线上的动点坐标，代入定曲线的方程.
［举例2］已知椭圆的焦点是，P是椭圆上的一个动点.如果延长到Q，使得，那么动点Q的轨迹是―――――――――――――――――――（　　）
A、圆；　　　　　B、椭圆；　　　　　C、双曲线的一支；　　　　　D、抛物线.
分析：注意到椭圆的性质：为定值，
又，所以为定值.由圆的定义
知，Q点的轨迹是以F1为圆心，椭圆长轴长为半径
的圆.选A.这种求轨迹的方法称之为定义法：即是
根据常见曲线的定义来确定动点的轨迹.
92、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物线）联立得到的方程二次项可能为零.
［举例］已知直线过点，双曲线C：.
（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求直线的方程；
（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线斜率的取值范围；
（3）是否存在直线使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.
分析：（1）当直线与轴垂直时，直线满足题义.当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立得方程：---（*）
当时，方程（*）是一次方程，直线与双曲线有一个公共点，此时直线方程为.当时，由△，得，所以满足题义的直线为：.
（2）直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△
，知且，得或.
（3）若以AB为直径的圆过坐标原点，则，设，即.，将代入化简得：，（满足
注意：解析几何的运算量比较大，一般来说似繁的运算式子最后可以化简得出，若遇求解不出，问题常出在运算过程的失误.要有耐心、细心才行.
93、特别关注向量背景下的解几问题，及解几背景下的向量问题.能熟练地将“向量语言”转化为“解几语言”，如：即OA⊥OB；∥即A、B、C共线等；有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言”，如：∠APB为锐角等价于：，且A、P、B不共线.
［举例］倾角为的直线过抛物线的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点.
（1）△ABC能否为正三角形？
（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围.
分析：（1）直线方程为，由可
得.若△ABC为正三角形，则
，由，那么CA与轴平行，此
时，又.与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是下正三角形.
（2）设，则，不可以为负，所以不为钝角.
若为钝角，则，，则，得.
若角为钝角，则且C、B、A不共线.可得且.
综上知，C点纵坐标的取值范围是.
O
A
B
M
N
O
A
B
M
O
C
M
O
N
C
M
O
N
M
N
I
O
A
B
P
O
Q
A
B
O
C
O
F1
F2
P
Q
O
F
A
B
C
O