安徽省六安市高中2020-2021学年高二下学期6月第二次阶段检测数学理科试题 Word版含答案

六安高中11506200102362002020~2021学年第二学期高二年级第二次阶段性检测
数学试卷（理科）
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数false满足false，则false的虚部是（ ）
A．false B．1 C．false D．false
2．曲线false在false处的切线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．为适应新高考改革，学校在高二年级开设若干课外实践课，甲、乙、丙三名高中生从4个课程中各选择一个参加学习，不同的方法为（ ）
A．24 B．64 C．81 D．4
4．定义false，则由函数false的图象与false轴、直线false所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知随机变量false且false，则false（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6
6．设false，随机变量false的分布列如表所示（ ）
false
0
false
1
false
false
false
false
A．false增大false增大 B．false增大false减小
C．false为定值，false先增大后减小 D．false为定值，false先减小后增大
7．在等差数列false中，若false，公差false，则有false．类比上述性质，在等比数列false中，若false，公比false，则关于false，false，false，false的一个不等关系正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段，对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有（ ）种．
A．120 B．156 C．188 D．240
9．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知false，false，false，false均为正数，且false，以下有两个命题：
命题一：false，false，false，false中至少有一个数小于3；
命题二：若false，则false，false，false，false中至少有一个数不大于1
关于这两个命题正误的判断正确的是（ ）
A．命题一错误、命题二错误 B．命题一错误、命题二正确
C．命题一正确、命题二错误 D．命题一正确、命题二正确
11．已知false为定义在false上的可导函数，且false恒成立，则不等式false的解集为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知函数false，若关于false的方程false有4个不同的实数根，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．false，false，false，false四人之间进行投票，各人投自己以外的人1票的概率都是false（个人不投自己的票），则仅false一人是最高得票者的概率为________．
14．有5条同样的生产线，生产的零件尺寸（单位：false）都服从正态分布false，且false，在每条生产线上各取一个零件，恰好有3个尺寸在区间false的概率为________．
15．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数false，其中false的各位数字中，false，false出现的概率为false，出现1的概率为false．若启动一次出现的数字为false，则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得false分，则100次这样的重复试验的总得分false的方差为________．
16．已知false对任意false恒成立，且false，false，则false________；false________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知函数false，false．
（1）求函数false在false上的值域；
（2）若false，false，使得false，求实数false的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知false的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求false；
（2）求展开式中的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项．
19．（本小题满分12分）
某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有false，false，false三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对false，false，false三道题中的每一题能解出的概率都是false，乙考生对false，false，false三道题能解出的概率分别是false，false，false，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．
（1）求甲至少能解出两道题的概率；
（2）设false表示乙在考试中能解出题的道数，求false的数学期望；
（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．
20．（本小题满分12分）
已知数列false的前false项和false，满足false，且false．
（1）求false，false，false；
（2）猜想false的通项公式，并用数学归纳法证明．
21．（本小题满分12分）
2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行．它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛．为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：
false
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
false
false
false
false
等级
合格
中等
良好
优秀
（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记false为抽到高二年级的人数，求false的分布列，数学期望与方差．
22．（本小题满分12分）
设函数false．
（1）讨论false的单调性；
（2）若false有两个极值点false和false，记过点false，false的直线的斜率为false，问：是否存在false，使得false？若存在，求出false的值，若不存在，请说明理由．
六安一中2020~2021年度高二年级第二学期第二次阶段考试
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
B
D
A
D
C
A
C
D
A
C
二、填空题：
13．false 14．false 15．false 16．1 2304
三、解答题：
17．（1）false；（2）false．
（1）false，因为false，所以false，即函数false为减函数，
因为false，false，所以值域为false． 5分
（2）因为false，false，使得false，所以false，
因为false，所以false，所以false，即false． 10分
18．（1）∵二项展开式的前三项的系数分别是1，false，false，
∴false，解得false（false舍去）． 4分
（2）由false，当false时，false为有理项．
∵false且false，∴false符合要求．
故有理项有3项，分别是false，false，false． 8分
（3）设第false项的系数为false最大，则false，
则false，false，解得false．
当false时，false，当false时，false，
因此，第3项和第4项的系数最大，故系数最大的项为false，false． 12分
19．（1）依题意，甲至少能解出两道题的概率false． 4分
（2）由题意知，false的所有可能取值为0，1，2，3．则false；
false；
false；
false．
故false的数学期望false（道）． 9分
（3）设false表示甲在考试中能解出题的道数，则随机变量false服从二项分布，即false．
知false的数学期望false．因为false，故甲应该被录取． 12分
20．（1）对任意的false，false，且false．
当false时，false，整理得false，且false，所以false；
当false时，false，整理得false，且false，
所以false；
当false时，false，整理得false，且false，
所以false； 5分
（2）由（1）猜想false，false，下面用数学归纳法加以证明：
①当false时，由（1）知false成立；
②假设当false时，false成立．
false时，false，
所以false，且false，
所以false，即当false时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切false都成立． 12分
21．（1）记事件false为“从样本中任取2名同学的竞赛成绩为优秀”，
事件false为“这两个同学来自同一个年级”，则false，false．
所以在成绩为优秀的情况下，这2个同学来自同一个年级的概率为
false． 5分
（2）由题意false的可能取值为0，1，2，3．
false，false，false，false．
所以false的分布列为：
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
数学期望为：false．false． 12分
22．（1）定义域为false，false，
令false，false，
①当false时，false，false，故false在false上单调递增，
②当false时，false，false的两根都小于零，在false上，false，
故false在false上单调递增，
③当false时，false，false的两根为false，false．
当false时，false；当false时，false；当false时，false；
故false分别在false，false上单调递增，在false上单调递减． 5分
（2）由（1）知，false，因为false．
所以false，由（1）知，false，
于是false，
若存在false，使得false，则false，即false，
亦即false（*）
再由（1）知，函数false在false上单调递增，
而false，所以false，这与（*）式矛盾，故不存在false，
使得false． 12分