安徽省合肥市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

县（市、区）______ 班级____ 姓名_______ 考生号____ 考场号_____ 座位号______
合肥市2020—2021学年（下）高一年级期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案 后，用铅笔把答题卡对应题目的答案 标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 标号．回答非选择题时，将答案 写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false，则false（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．给出下列四个命题：
①底面是正多边形的棱柱是正棱柱；
②四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体；
③所有棱长相等的棱柱一定是直棱柱；
④直角三角形绕其一条边所在的直线旋转一周形成的几何体是圆锥．
其中正确的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知向量false，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知某平面图形的直观图如图所示，false，若原平面图形的面积为12，则false（ ）
A．6 B．4 C．false D．2
6．已知在平面四边形false中，false，若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是（ ）
A．点false直线false B．false与false是共面直线
C．false D．false与false是异面直线
8．已知水的密度为false，冰的密度为false，水平放置的圆柱形桶内有一个半径为false的冰球，待冰球完全融化后测得桶内水面高为false，则桶的底面半径为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．伯乐树是中国特有树种、国家一级保护树种，被誉为“植物中的龙风”，常散生于湿润的沟谷坡地或小溪旁．一植物学家为了监测一棵伯乐树的生长情况，需测量树的高度．他在与树干底部在同一水平面的一块平地上利用测角仪（高度忽略不计）进行测量，在点false处测得树干底部在西偏北false的方向上，沿直线向西前进false后，在点false处测得树干底部在西偏北false的方向上，此时树干顶部的仰角为false，则该伯乐树的高度为false（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．在false中，点false为false边上靠近点false的三等分点，点false为false边的中点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知在锐角false中，内角false的对边分别为false，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．已知三棱锥false的侧棱false两两垂直，false，若该三棱锥的外接球体积为false，则该三棱锥的表面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图所示的后母戊鼎是一件非常有名的青铜重器，是商王武丁之子祭祀母亲戊所铸，现藏于国家博物馆鼎身与四足为整体铸造，鼎耳则是在鼎身铸成之后再浇铸而成，鼎身大致为长方体形状的容器，长为false，宽为false，壁厚false．若一堆祭祀物品在该容器内燃烧后形成的灰平铺且铺满容器底部，灰的高度为false，则灰的体积为______false．
14．已知false是关于false的方程false的一个根，则_________．
15．已知半径为1的球在一个圆锥内部，该组合体的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的表面积为_________．
16．已知在false中内角false的对边分别为false，角false，边false，且false，则false_________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量false．
（Ⅰ）若false，且false，求false的值；
（Ⅱ）若false与false的夹角大小为false，求false的值．
18．（12分）
当实数false满足什么条件时，在复平面内表示复数false的点分别满足下列条件？
（Ⅰ）位于第三象限；
（Ⅱ）位于第二象限或第四象限；
（Ⅲ）位于直线false上．
19．（12分）
如图所示为一段环形跑道，中间的两段false为直跑道，且false，两端均为半径为false的半圆形跑道，以false四点为顶点的四边形是矩形．甲、乙两人同时从false的中点false处开始以false的速率逆向跑步，甲、乙相对于初始位置点false的位移分别用向量false表示．
（Ⅰ）当甲到达false的中点处时，求false；
（Ⅱ）求false后，false的夹角的余弦值．
注：false的值取3．
20．（12分）
在四边形false中，false．
（Ⅰ）求角false；
（Ⅱ）求false的长．
21．（12分）
如图，正三棱柱false的高为false，底面边长为2，点false分别为false上的点．
（Ⅰ）在棱false上是否存在点false使得平面false平面false？请说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求几何体false的体积．
22．（12分）
已知在false中，内角false所对的边分别为false，其中false．
（Ⅰ）若false，求false；
（Ⅱ）若false，求false的面积．
2020—2021学年（下）高一年级期中考试
数学·答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．答案 B
命题意图 本题考查向量的坐标运算．
解析 false．
2．答案 A
命题意图 本题考查复数的运算及共轭复数的概念．
解析 因为false，所以false．
3．答案 B
命题意图 本题考查柱体、锥体的定义及性质．
解析 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故①错；由多面体的定义可知②正确；由直棱柱的定义可知③错误；直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，故④错．故正确的命题有1个．
4．答案 C
命题意图 本题考查向量垂直的定义及向量的数量积．
解析 因为false，所以false，所以false．
5．答案 D
命题意图 本题考查斜二测画法．
解析 由题可知原平面图形是上底为false，下底长为4，高为false的梯形，其面积为false，解得false．
6．答案 B
命题意图 本题考查平面向量的基本定理．
解析 作出图形如图所示．因为false，所以false．因为false，所以false，则false．
7．答案 C
命题意图 本题考查空间点、直线的位置关系．
解析 由题图可知，还原为正方体后，点false与点false重合，所以点false直线false，又可知false与false是平行直线，即共面直线，false与false是相交直线（点false与点false重合），false与false是异面直线，故只有C错误．
8．答案 A
命题意图 本题考查球的体积与圆柱的体积的计算．
解析 设桶的底面半径为false，由题可知false，解得false．
9．答案 A
命题意图 本题考查正弦定理的实际应用．
解析 作出示意图如图所示，false为该树．在false中，false，由正弦定理可得false，所以false，所以该伯乐树的高度为false．
10．答案 D
命题意图 本题考查平面向量基本定理．
解析 由题可知false，设false，则false，则false解得false故false．
11．答案 D
命题意图 本题考查正弦定理与三角恒等变换．
解析 由正弦定理可知false．又false．false的取值范围是false．
12．答案 C
命题意图 本题考查空间几何体的表面积与体积．
解析 因为false，且false，所以false．设false．依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为false的长方体中，可知其外接球的半径false，又false，解得false，故false，解得false，故该三棱锥的表面积false．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 3283
命题意图 本题考查体积的计算．
解析 所求体积为false．
14．答案 2
命题意图 本题考查复数的概念及复数的运算．
解析 由题可知false，即false，所以false，且false，解得false．
15．答案 false
命题意图 本题考查圆锥的内切球及表面积．
解析 由题可知球为圆锥的内切球，作轴截面如图所示，设圆心为false，圆false与边false的切点为false，连接false，在false中可知false，所以false，所以圆锥的底面半径为false，母线长为false，所以圆锥的表面积为false．
16．答案 false
命题意图 本题考查正弦定理．
解析 因为false，所以false，由正弦定理可得false，即false．因为false为三角形的内角，所以false．由正弦定理可得false．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查向量的模的定义及向量夹角的定义．
解析 （Ⅰ）由题可知false． （2分）
false，
false，解得false． （4分）
（Ⅱ）设false与false的夹角为false．
由题可知false． （6分）
false． （8分）
解得false或false． （10分）
18．命题意图 本题考查复数的几何意义．
解析 （Ⅰ）由题可知false （2分）
即false
解得false的取值范围为false． （4分）
（Ⅱ）由题可知false或false （6分）
即false或false
解得false的取值范围为false． （8分）
（Ⅲ）由题可知false， （10分）
即false，
解得false． （12分）
19．命题意图 本题考查向量的数量积及向量的夹角的余弦值．
解析 （Ⅰ）如图，以点false为坐标原点，false所在直线为false轴建立如图所示的直角坐标系．
当甲到达false的中点处时，乙到达false的中点处，
设此时甲的位置为点false，乙的位置为点false，
则false， （2分）
false， （4分）
false． （6分）
（Ⅱ）false后甲、乙的路程均为false， （7分）
false的长度均为false，
false后甲、乙分别到达点false处． （9分）
false． （10分）
设false的夹角为false，
则false．
false后false的夹角的余弦值为false． （12分）
20．命题意图 本题考查正、余弦定理的应用．
解析 （Ⅰ）在false中，由余弦定理可得false， （2分）
因为false，
所以false． （5分）
（Ⅱ）因为false，
所以false．
在false中，由正弦定理可得false，即false， （6分）
解得false，即false． （7分）
因为false，所以false． （8分）
在false中，由正弦定理可得false，即false， （10分）
解得false． （12分）
21．命题意图 本题考查面面平行的性质定理及几何体体积的计算．
解析 （Ⅰ）如图，连接false交false于点false，连接false．
由棱柱的性质，知四边形false为平行四边形，
∴点false为false的中点． （1分）
∵平面false平面false，且平面false平面false，平面false平面false,false，同理false， （3分）
false，
又false， （5分）
即false为false的中点，false为false的中点． （6分）
注：以“false为false的中点，false为false的中点”为条件，证明“平面false平面false”也算对，酌情给分．
（Ⅱ）false， （8分）
false， （10分）
false． （12分）
22．命题意图 本题考查正弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换．
解析 （Ⅰ）因为false，
所以false，
故false，
所以false或false． （3分）
因为false，所以false，即false，故false． （4分）
由余弦定理可得false，
解得false（负值舍去）． （6分）
（Ⅱ）由false，得false． （7分）
因为false，所以false①． （8分）
根据正弦定理，false，及false，得false，
所以false②． （10分）
①代入②，得false，所以false． （1l分）
所以false的面积为false． （12分）