安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二下学期期中质量检测理科数学试题 Word版含答案

1189990011620500宿州市十三所重点中学2020—2021学年度第二学期期中质量检测
高二数学（理科）试卷
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、若复数false的实部与虚部互为相反数，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2、用反证法证明命题：“已知false、false是自然数，若false，则false、false中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）
A.false、false中两个都不小于2
B.false、false中至少有一个小于2
C.false、false都小于2
D.false、false中至多有一个小于2
3、一木块沿某一斜面自由滑下，测得下滑的水平距离false与时间false之间的函数关系为false，则false时，此木块在水平方向的瞬时速度为（ ）
A.2 B.1 C.false D.false
4、分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特（Benoit.Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第13行的实心圆点的个数是（ ）
A.55个 B.89个 C.144个 D.233个
5、已知函数false，false，则下列说法正确的是（ ）
A.函数false的最小值为false
B.函数false的最大值为false
C.函数false的最小值为false
D.函数false的最大值为3
6、已知函数false，则false的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7、下列类比推理正确的序号为（ ）
①“边长为false的正三角形内任一点到三边距离之和是定值false”类比空间，“棱长为false的正四面体内任一点到四个面的距离之和是定值false”；
②在平面上，若两个正三角形的边长比为false，则他们的面积比为false.类似的，在空间中，若两个正四面体的棱长比为false，则他们的体积比为false；
③已知椭圆具有性质：若false，false是椭圆上false关于原点对称的两个点，点false是椭圆上任意一点，则当false，false的斜率都存在，false，类似的，点false若在双曲线false上，则false.
④长宽分别为false，false的矩形的外接圆的面积为false，类比空间中，长宽高分别为false，false，false的长方体的外接球的面积为false.
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
8、用数学归纳法证明不等式false时，从“false到false”左边需增加的代数式为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
9、设正三棱柱的体积为false，当其表面积最小时，底面边长为（ ）
A.false B.false C.false D.false
10、若函数false恰有三个零点，则实数false的取值范围是（ ）
A.false B.false C.false D.false
11、设false为整数，对于任意的正整数false，false，则false的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
12、设false是定义在false上的函数，其导函数为false，若false，false，则不等式false（其中false为自然对数的底数）的解集为（ ）
A.false B.false
C.false D.false
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案写在题中的横线上.
13、已知复数false满足false（false为虚数单位），则false的模为______.
14、已知false是曲线false上的任意一点，则false到直线false距离的最小值为______.
15、求值：false______.
16、已知函数false，若有且仅有一个整数false，使false，则实数false的取值范围是______.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分10分）
已知false是自然对数的底数，函数false（false，且false）.
（1）当false时，求函数false的单调区间；
（2）当false时，函数false的极大值为false，求false的值.
18、（本小题满分12分）
（1）已知false，证明：false.
（2）已知实数false，false，false，false满足false，用反证法证明：方程false与方程false至少有一个方程有实根.
19、（本小题满分12分）
设函数false，对任意实数false，false都有false
（1）求false的值；
（2）若false，求false，false，false的值；
（3）在（2）的条件下，猜想false的表达式，并用数学归纳法加以证明.
20、（本小题满分12分）
已知函数false.
（1）若false在定义域内单调递增，求实数false的范围；
（2）设函数false，若false至多有一个极值点，求false的取值集合.
21、（本小题满分12分）
如图，已知二次函数false，直线false，直线false（其中false，false为常数）；若直线false与函数false的图象以及直线false，false与函数false的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（1）求阴影面积false关于false的函数false的解析式；
（2）若过点false，false可作曲线false，false的三条切线，求实数false的取值范围.
22、（本小题满分12分）
已知函数false.
（1）若函数false，讨论false的单调性；
（2）若函数false的导数false的两个零点从小到大依次为false，false，证明：false.
宿州市十三所重点中学2020—2021学年度第二学期期中质量检测
高二年级数学（理科）试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
A
C
B
A
D
D
D
B
B
D
二、填空题
false 14、false 15、false 16、false
三、解答题
17、（1）函数的定义域为false.求导得false
当false时，令false，解得false或false，
函数false的单调递增区间为false，false；减区间为false.
（2）由（1）可知，当false时，函数false在区间false，false上单调递减，在false上单调递增，
于是当false时，函数false取到极大值，极大值为false，故false的值为false.
18.证明：（1）要证原不等式，只需证false．
∵false，∴两边均大于零．
因此只需证false，
只需证false，
只需证false，即证false
而false显然成立，∴原不等式成立．
（2）（反证法）：
假设结论不成立，即方程false与方程false都没有实根，
则判别式满足false，false，
则false，
即false，即false，
即false，这与条件false矛盾，
即假设不成立，则原命题成立．
19.解：（Ⅰ）令false得：false
（Ⅱ）由false false
false
false
（Ⅲ）由（Ⅱ）猜想false
证明如下：（1）当false时，false，猜想成立
假设false时猜想成立，即false
则false
所以当false时，猜想也成立
综合（1）（2）可知，对一切false，都有false成立.
20、解：
（1）由题意得false，得false
令false，则false
由false得false
当false，false；false，false
故当false时，false
所以false.
（2）false，false
当false时，false，false；false，false，
所以0时false的唯一的极小值点。
当false时，令false得false，false
当false，false，false恒成立，false无极值。
故false的取值集合为false.
21、（1）由false得
false，∴false，false
∵false，∴直线false与false的图象的交点横坐标分别为false，false，
由定积分的几何意义知：
false
false
false，false
（2）∵曲线方程为false，false，∴false，
∴点false，false不在曲线上.设切点为false，则点false的坐标满足
false，因false，故切线的斜率为
false，整理得false.
∵过点false可作曲线的三条切线，
∴关于false方程false有三个实根.
设false，则false，由false得false
∵当false时，false∴false在false，false上单调递增，
∵当false时，false，∴false在false上单调递减.
∴函数false的极值点为false，
∴关于false方程false有三个实根的充要条件是false，
解得false，故所求的实数false的取值范围是false.
22、解：（1）∵false∴false．
当false时，false，false
∴false在false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，false或false，false
∴false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，false或false，false
∴false在false，false上单调递增，在false上单调递减；
当false时，false在false上恒成立，
所以false在false上单调递增；
（2）∵false．
且false的两个零点从小到大依次为false，false
∴false，false是方程false的两个根，
∴false
又false，false且false所以false
欲证false，即证false
只需证false
令false，false
∴false在false上单调递增，false上单调递减，
∴false，即false成立．