安徽省皖八联盟2020-2021学年高一下学期6月统测数学试题 Word版含答案

2020级高一年级第二学期皖八联盟统测
数学
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：必修第二册第六章至第八章．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数false（a为实数）为纯虚数，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．在false中，已知false，则false（ ）
A．3 B．2 C．false D．false
3．下列判断正确的是（ ）
A．空间中任意三点确定一个平面 B．垂直同一个平面的两条直线互相垂直
C．一个西瓜切3刀最多可切成8块 D．垂直同一个平面的两个平面互相平行
4．已知向量false，若false，则false（ ）
A．20 B．12 C．5 D．0
5．已知O为复平面内的原点，复数false在复平面内对应的点分别为A，B，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．已知false的是两个不共线的向量，false，若A，B，C三点共线，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．如图，在直三棱柱false中，点O为false的中点，false，则异面直线false与false所成角的正切值为（ ）
A．2 B．3 C．false D．false
8．false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知false，则false（
A．false B．false C．false D．false
9．已知正四棱锥false的所有棱长均为false，E，F分别是false的中点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．3
10．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径false，圆柱的底面半径false，且圆锥侧面展开图的圆心角为false，则该几何体的体积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．若向量false满足false，且当false时，false的最小值为false，则false（ ）
A．false B．false C．6 D．false
12．如图，正方体false的棱长为2，M为棱false的中点，N为棱false上的点，且false，现有下列结论：
①当false时，false平面false；
②存在false，使得false平面false；
③当false时，点C到平面false的距离为false；
④对任意false，直线false与false都是异面直线．
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．复数false的共轭复数是_________．
14．已知向量false与false的夹角为false，且false，则false_________．
15．在false中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，false，且false的面积为false，则false内切圆的面积为_________．
16．在长方体false中，false，则以点A为球心，半径false的球的球面与长方体表面的交线的总长度为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知复数false满足false．
（1）求false；
（2）若复数false的虚部为1，且false是实数，求false．
18．（12分）
如图，已知false，且false．
（1）求false；
（2）设false与false交于点P，求false的值．
19．（12分）
如图，正四棱锥false的每个侧面均为等边三角形．
（1）证明：false平面false．
（2）若四棱锥false的体积为false，求该四棱锥的表面积．
20．（12分）
如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距false的P处有一艘走私船，走私船正以false的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海false．缉私艇立即以false的速度追缉．
（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？
（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？
21．（12分）
如图，在正方体false中，M为棱false的中点．
（1）试作出平面false与平面false的交线l，并说明理由；
（2）用平面false去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为false，false，求false的值．
22．（12分）
如图,在平面四边形false中，false．
（1）设false，证明：false为定值．
（2）若false，记false的面积为false，false的面积为false，false，求S的最大值．
2020级高一年级第二学期皖八联盟统测
数学参考答案
1．A 因为false为纯虚数，所以false，则false．
2．B 由正弦定理false，得false．
3．C 空间中任意三点不一定可确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误．
4．C 由false可得false，解得false，所以false，则false．
5．B 因为false，所以A的坐标为false，又B的坐标为false，所以false．
6．B false．因为A，B，C三点共线，所以false，即false，false，则false解得false．
7．A 如图，连接false，设false与false的交点为E，连接false，易得点E为false的中点，又因为点O为false的中点，所以false，且false，所以false即异面直线false与false所成角．在直三棱柱false中，false，又因为false，所以false平面false，从而false平面false，可得false．因为false，所以false，所以false．
8．C 因为false，所以false，即false，又false，则false，从而false，又false，故false．
9．A 如图，设正方形false的中心为O，连接false，则false平面false，false．设false的中点为H，连接false，则false，所以false．在false中，false，所以由余弦定理可得false，所以false．
10．C 因为圆锥侧面展开图的圆心角为false，所以false，则false，圆锥的高false，设圆柱的高为false，则false，解得false，所以该几何体的体积为false．
11．D 由向量的减法法则可得，当向量false与false垂直时，false取得最小值，则false，解得false，
则false，故false．
12．D 若false平面false，如图，连接false，记false交false于S，false交false于T，连接false，则false，又T为false的中点，故S也为false的中点．
延长false交false的延长线于Q，可知false，即false，故①错误．
若false平面false，则false，这是不可能的，故②错误．
利用等体积法false求得点C到平面false的距离为false，故③正确．
连接false（图略），false平面false，点false平面false，点false平面false，利用异面直线的判定定理“过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面”，故④正确．
13．false false，故复数false的共轭复数是false．
14．2 因为false，所以false．
15．false 由false，可得false，结合false化简可得false，因为false，所以false，则false，因为false，所以false．又false，所以false，因为false，所以false，故false内切圆的半径false，内切圆的面积false．
16．false 交线由四段弧构成．如图，其中两段（前侧面和下底面）弧是以A为圆心，半径为false，圆心角为false的圆弧；另两段（上底面和后侧面）弧是分别以false和D为圆心，半径为1，圆心角为false的圆弧．
17．解：（1）false． 4分
（2）设false，
则false， 6分
因为false是实数，所以false，解得false， 8分
所以false． 10分
18．解：（1）false，
则false． 5分
（2）false等于向量false和false的夹角．
false， 7分
false， 9分
则false． 12分
19．（1）证明：在正四棱锥false中，底面为正方形，则false， 2分
因为false平面false平面false，所以false平面false． 4分
（2）解：设false底面false，O为垂足，则O为正方形false的中心， 5分
取false的中点E，连接false．
因为false底面false，所以false． 6分
设false，则false， 7分
则false， 8分
所以四棱锥false的体积false， 10分
解得false，从而该四棱维的表面积false． 12分
20．解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．
在false中，false，解得false，
则false，即缉私艇应该往东偏北false方向追缉． 6分
（2）在false中，根据余弦定理得false，化简得false，
解得false，此时走私船前进了false．
所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获． 12分
【用正弦定理利用false也可以求解】
21．解：（1）作法：如图，连接false，在平面false内过M作false，交false于N，则直线false即平面false与平面false的交线l． 3分
理由：因为平面false平面false，又平面false平面false，平面false平面false，所以false．因此，在平面false内过M作false，而false，即false，则直线false即所求作的交线l． 6分
（2）由（1）知在三角形false中，false，M为棱false的中点，所以N为棱false的中点．
在正方形false中，延长false交false的延长线于点P（图略），所以B为棱false的中点．由于N为棱false的中点，所以延长false交false的延长线于点P，
所以几何体false是三棱台． 8分
设正方体的棱长为a，则false的面积false的面积false，
所以三棱台false的体积false， 10分
另一个几何体的体积false，
因为用平面false去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为false，false，
所以false，所以false． 12分
22．（1）证明：设false，则false．
在false中，因为false，所以false． 1分
在false中，由余弦定理得false， 2分
即false， 3分
则false，即false， 4分
故false为定值． 5分
（2）解：在false中，false，
则false，即false． 7分
false 8分
falsefalse， 10分
当false时，S取得最大值false． 12分