13.2.2.1平行直线-【新教材】2020-2021学年苏教版（2019）高中数学必修第二册同步教案（学生版+教师版）

课题:§13.2.2.1 平行直线
目标要求
1、理解并掌握空间中直线与直线的位置关系、平行直线及基本事实4、等角定理．
2、理解并掌握空间中两条直线位置关系的判断．
3、理解并掌握直线和直线平行的证明方法．
4、理解并掌握基本事实4和等角定理的应用.
学科素养目标
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想象能力这一教学目的．通过本章学习，要求学生熟悉立体几何中的空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，数形结合思想，等价转化思想，分情形讨论等，会进行平面图形到空间图形的过渡，灵活运用立体几何知识解决实际应用问题.
重点难点
重点：直线和直线平行的证明方法；
难点：基本事实4和等角定理的应用．
教学过程
基础知识点
1.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和理解
①定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
②特点:异面直线既不相交又不平行,即不同在任何一个平面内.
(2)空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在任何一个平面内 没有
2.平行直线及基本事实4
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行．
用符号表示为.
【思考】没有公共点的两条直线一定是平行直线?
3.等角定理
定理:如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
【思考】 当这两个角的两边分别平行并且一组边方向相同,而另一组边方向相反时,这两个角什么关系呢?
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 垂直于同一直线的两条直线互相平行.
B. 分别和两条异面直线平行的两条直线平行.
C. 平行于同一直线的两条直线互相平行.
D. 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
题2.异面直线是指 ( )
A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线
题3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于 ( )
A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对
关键能力·合作学习
类型一 空间中两条直线位置关系的判断(直观想象、数学抽象)
【题组训练】
题4.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有 ( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对

题5.若直线a∥b,b∩c=A,则a与c的位置关系是 ( )
A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交
题6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.

【解题策略】
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交).
【补偿训练】
题7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
类型二 证明直线和直线平行(直观想象、逻辑推理)
【典例】题8.如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.

求证:四边形EFGH是平行四边形.
【解题策略】
证明两直线平行,目前有两种途径:一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行;二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
【拓展延伸】
平行直线在生活中的应用
平行直线在生活中有着广泛的应用,有时候要利用平行直线去解决实际问题,基本事实4就是很好的工具.
【拓展训练】题9.如图所示为一长方体木料,木料的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.

类型三 基本事实4和等角定理的应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 基本事实4的应用
【典例】题10.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E ',F '分别是AB,
BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'.

【变式探究】
题11. 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点.求证:四边形ACNM是梯形.
角度2 等角定理证明两个角相等
【典例】题12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,
证明:∠BGC=∠FD1E.

【解题策略】
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理,但是一定要注意方向相同.
(2)利用三角形全等或相似.
【题组训练】题13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)EFE1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1.
题14.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
(2)∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________.

【补偿训练】
题15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:△EFG∽△C1DA1.

备选类型 平行直线的证明(直观想象、逻辑推理)
【典例】题16.如图,空间四边形ABCD的对角线AC,BD相等,顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是 ( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.空间四边形

【解题策略】 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c.
【跟踪训练】
题17.如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.判断MN与BD的位置关系.

课堂检测·素养达标
题18.两等角的一组对应边平行,则 ( )
A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直 D.以上都不对
题19.已知l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( )
A.l1⊥l2,l2∥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面
题20.直线a与直线b为两条异面直线,已知直线l∥a,那么直线l与直线b的位置关系为________.
题21.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________.

课题:§13.2.2.1 平行直线
目标要求
1、理解并掌握空间中直线与直线的位置关系、平行直线及基本事实4、等角定理．
2、理解并掌握空间中两条直线位置关系的判断．
3、理解并掌握直线和直线平行的证明方法．
4、理解并掌握基本事实4和等角定理的应用.
学科素养目标
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想像能力这一教学目的．通过本章学习，要求学生熟悉立体几何中的空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，数形结合思想，等价转化思想，分情形讨论等，会进行平面图形到空间图形的过渡，灵活运用立体几何知识解决实际应用问题.
重点难点
重点：直线和直线平行的证明方法；
难点：基本事实4和等角定理的应用．
教学过程
基础知识点
1.空间中直线与直线的位置关系
(1)异面直线的定义和理解
①定义:我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线.
②特点:异面直线既不相交又不平行,即不同在任何一个平面内.
(2)空间两条直线的位置关系
位置关系 共面情况 公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 没有
异面直线 不同在任何一个平面内 没有
2.平行直线及基本事实4
基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行．
用符号表示为.
【思考】没有公共点的两条直线一定是平行直线?
提示:没有公共点的两条直线也可能是异面直线.
3.等角定理
定理:如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.
【思考】 当这两个角的两边分别平行并且一组边方向相同,而另一组边方向相反时,这两个角什么关系呢?
提示:这两个角互补.如图:AB与A'B'方向相同,AC与A'C'方向相反.

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 垂直于同一直线的两条直线互相平行.
B. 分别和两条异面直线平行的两条直线平行.
C. 平行于同一直线的两条直线互相平行.
D. 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
【答案】选CD
提示:A ×.垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面.一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个,1个或无数个,不可能只有2个公共点.
B×.分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.
C√.这是基本事实4.
D.√.由空间中的等角定理可得出.
故选CD.
题2.异面直线是指 ( )
A.空间中两条不相交的直线 B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线 D.不同在任何一个平面内的两条直线
【解析】选D.对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面,所以A应排除.对于B,分别位于两个不同平面内的两条直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,所以B应排除.对于C,如图中的a,b,可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,所以C应排除.只有D符合定义.

题3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于 ( )
A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对
【解析】选B.条件中没有给出两个角的方向是否相同,所以有可能互补.
关键能力·合作学习
类型一 空间中两条直线位置关系的判断(直观想象、数学抽象)
【题组训练】
题4.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有 ( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对

【解析】选A.三棱锥A-BCD的六条棱所在直线中,成异面直线的有:AB和CD,AD和BC,BD和AC,所以三棱锥A-BCD的六条棱所在直线成异面直线的有3对.
题5.若直线a∥b,b∩c=A,则a与c的位置关系是 ( )
A.异面 B.相交 C.平行 D.异面或相交
【解析】选D.a与c不可能平行,若a∥c,又因为a∥b,所以b∥c,这与b∩c=A矛盾,但a与c异面、相交都有可能.
题6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________;
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________;
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.

【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线平行,所以①应该填“平行”;点A1,B,B1在平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C异面.同理,直线AB与直线B1C异面.所以②④应该填“异面”;直线D1D与直线D1C有公共点D1点,所以③应该填“相交”.
答案:①平行 ②异面 ③相交 ④异面
【解题策略】
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系,特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内.
(2)排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交).
【补偿训练】
题7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【解析】选C.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线BA1异面的直线有CD,C1D1,C1C,D1D,B1C1,AD,共6条.

类型二 证明直线和直线平行(直观想象、逻辑推理)
【典例】题8.如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.

求证:四边形EFGH是平行四边形.
四步 内容
理解 题意 条件:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
结论:四边形EFGH是平行四边形.
思路 探求 证明一个四边形是平行四边形,需要证明一组对边平行且相等,或者是两组对边分别平行.
书写 表达 证明:因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=AC,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性.
题后 反思 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
也可利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明.
【解题策略】
证明两直线平行,目前有两种途径:一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行;二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
【拓展延伸】
平行直线在生活中的应用
平行直线在生活中有着广泛的应用,有时候要利用平行直线去解决实际问题,基本事实4就是很好的工具.
【拓展训练】题9.如图所示为一长方体木料,木料的面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.

【解析】如图所示,在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.

理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
类型三 基本事实4和等角定理的应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 基本事实4的应用
【典例】题10.如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E ',F '分别是AB,
BC,A'B',B'C'的中点.求证:EE'∥FF'.

【思路导引】想证明EE'∥FF',可以证明EE'、FF'这两条直线同时和第三条直线平行.
【证明】因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB',同理可证FF'∥BB'.所以EE'∥FF'.
【变式探究】
题11. 如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点.求证:四边形ACNM是梯形.
【证明】在正方体中,MN∥A'C'且MN=A'C',
因为A'C'∥AC,且A'C'=AC,所以MN∥AC,且MN=AC.
又AM与CN不平行,故四边形ACNM是梯形.

角度2 等角定理证明两个角相等
【典例】题12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,
证明:∠BGC=∠FD1E.

【思路导引】证明两个角相等,只需要证明两个角的两条边分别平行,且方向相同即可.
【证明】因为F为BB1的中点,所以BF=BB1,因为G为DD1的中点,所以D1G=DD1.又BB1∥DD1,BB1=DD1,所以BF∥D1G,BF=D1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1F∥GB,同理D1E∥GC.所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同,所以∠BGC=∠FD1E.
【解题策略】
证明两个角相等的方法
(1)利用等角定理,但是一定要注意方向相同.
(2)利用三角形全等或相似.
【题组训练】题13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)EFE1F1;(2)∠EA1F=∠E1CF1.
【证明】(1)如图,连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以
EFBD.

同理E1F1B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1DD1,所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BDB1D1.又EFBD,E1F1B1D1,所以EFE1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,则MF1B1C1.
又B1C1BC,所以MF1BC,
所以四边形BMF1C为平行四边形,所以BM CF1.
因为A1M=A1B1,BE=AB,且A1B1AB,
所以A1MBE,所以四边形BMA1E为平行四边形,所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
题14.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中.
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;
(2)∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________.

【解析】 (1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1 BC,所以四边形A1BCD1为平行四
边形,所以A1B∥D1C.
(2)由(1)及AB∥DC,根据等角定理可得∠A1BA=∠D1CD.
答案:(1)A1B∥D1C (2)∠A1BA=∠D1CD
【补偿训练】
题15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:△EFG∽△C1DA1.

【证明】如图,连接B1C.
因为G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF∥B1C且GF= B1C.又ABCD-A1B1C1D1为正方体,
所以CD∥AB且CD=AB,A1B1∥AB且A1B1=AB,
由基本事实4知CD∥A1B1且CD=A1B1,所以四边形A1B1CD为平行四边形,
所以A1D∥B1C且A1D=B1C.又B1C∥FG,由基本事实4知A1D∥FG.
同理可证:A1C1∥EG,DC1∥EF.

又∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG的两边分别对应平行且均为锐角,所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG.所以△EFG ∽△C1DA1.
备选类型 平行直线的证明(直观想象、逻辑推理)
【典例】题16.如图,空间四边形ABCD的对角线AC,BD相等,顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是 ( )
A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.空间四边形

【思路导引】判断四边形EFGH的形状,首先证明是平行四边形,然后从邻边上考
虑特殊的四边形.
【解析】选C.因为E,F,G,H分别为各边的中点,
所以EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD,EF=GH=AC,EH=FG=BD,所以四边形EFGH是平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH是菱形.
【解题策略】 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行,要证明两个方面:一是两条直线在同一平面内;二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行,只需找到直线b,使得a∥b,同时b∥c,由基本事实4即可得到a∥c.
【跟踪训练】
题17.如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.判断MN与BD的位置关系.

【解析】MN∥BD.理由如下:连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点E,F,由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点,连接EF.
因为E,F分别为BC,CD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.
又因为点M为△ABC的重心,点N为△ACD的重心,
所以AM∶ME=AN∶NF=2∶1,所以MN∥EF,且MN=EF,故MN∥BD.

课堂检测·素养达标
题18.两等角的一组对应边平行,则 ( )
A.另一组对应边平行 B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直 D.以上都不对
【解析】选D.另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理(若两个角的对应边平行,则这两个角相等或互补)的区别.
题19.已知l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( )
A.l1⊥l2,l2∥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面
【解析】选B.两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,故B正确,A错误;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.
题20.直线a与直线b为两条异面直线,已知直线l∥a,那么直线l与直线b的位置关系为________.
【解析】以正方体为例,如图,当直线l位于图中两位置时,直线l与b的位置关系是相交或异面.
答案:异面或相交

题21.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是________.

【解析】①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④正确.
答案:②④