广东省揭阳市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

揭阳市2020-2021学年高二下学期期中考试1201420012153900数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修5，选修2—1，选修2—2，选修2—3第一章占70%，必修1，2，3，4占30%。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．饺子源于古代的角子，又称水饺，是深受人们喜爱的中国传统食品现盘子中有false个饺子，其中肉馅的有false个，素馅的有false个．从外观无法分辨是肉馅还是素馅，现用筷子从中随机夹出false个，则夹到的false个饺子恰好false个是肉馅，另false个是素馅的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．已知曲线false在点false处的切线与曲线false在点false处的切线平行，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．永定土楼，位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩2008年7月，永定土楼成功列入世界遗产名录．它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧．土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型．现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究．要求调查顺序中，圆形要排在第一个，五角形、八角形不能相邻，则不同的排法种数共有（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．false展开式中的常数项为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知椭圆false：falsefalse与双曲线false：false（false，false）具有共同的焦点false，false，离心率分别为false，false，且false．点false是椭圆false和双曲线false的一个交点，且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数false在false上单调递减，在false上单调递增，则必有（ ）
A．false B．false
C．false D．false
10．已知向量false，false，则（ ）
A．当false时，false B．false的最小值为false
C．当false时，false D．当false时，false
11．若false，且false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
12．已知函数false若关于false的方程false有4个不同的实数根，则实数false的取值可以为（ ）
A．false B．false C．false D．false
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．写出一个定义在false上的函数false，使得false的值域为false；且最小正周期为false，则false______．
14．如图，某几何体为四分之三个球，球的半径为false．若在该几何体的表面涂一层防水漆，每平方米需要false涂料，则给false个这样的几何体涂上涂料需要______false的涂料．
15．2020年11月15日，东盟十国及中国、日本韩国、澳大利亚新西兰正式签署了区域全面经济伙伴关系协定．某自媒体准备从这false个国家中选取false个国家介绍其经济贸易情况，则东盟国家及非东盟国家至少各有false个被选取的方法数为______．
16．抛物线false：falsefalse的准线为false，过焦点false的直线与false相交于false，false两点，分别过false，false作准线false的垂线，垂足分别为false，false，false与false的面积分别为false，false，且false，则false的面积为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知等差数列false的前false项和为false，且false，false．
（1）求false的通项公式；
（2）若数列false的前20项和为365，求常数false的值．
18．在false中，false，false，false，false为false的中点，false在线段false上
（1）若false的面积为false，求false；
（2）当false的周长最小时，求false．
19．2020年，面对突如其来的新冠肺炎疫情冲击，在党中央领导下，各地区各部门统筹疫情防控和经济社会发展取得显著成效，商业模式创新发展，消费结构升级持续发展．某主打线上零售产品的企业随机抽取了false名销售员，统计了其2020年的月均销售额（单位：万元），将数据按照false，false，…，false分成false组，制成了如图所示的频率分布直方图．已知false组的频数比false组多4．
（1）求频率分布直方图中false和false的值；
（2）该企业为了挖掘销售员的工作潜力，对销售员实行冲刺目标管理，即给销售员确定一个具体的冲刺目标，完成这个冲刺目标，则给予额外的奖励．若公司希望恰有false的销售人员能够获得额外奖励，求该企业应该制定的月销售冲刺目标值．
20．如图，在五棱锥false中，false底面false，false，false，false在底面的同侧．在五边形false中，false，false，false，false，false是false外接圆的直径．
（1）证明：false平面false．
（2）若二面角false的余弦值为false，求false．
21．如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆false：falsefalse的左、右焦点分别为false，false，左、右顶点分别为false，false，一光线从点false射入经椭圆false上false点反射，法线（与椭圆false在false处的切线垂直的直线）与false轴交于点false，已知false，false．
（1）求椭圆false的方程．
（2）过false的直线与椭圆false交于false，false两点（均不与false，false重合），直线false与直线false交于false点，证明：false，false，false三点共线．
22．已知函数false．
（1）讨论false的单调性．
（2）若对任意的false，总存在false，false，使得false，证明：false．
高二数学参考答案
1．false 因为false，所以false．
2．false 因为false，所以false．
3．false 荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件．
4．false 所求概false．
5．false 由false，得false，所以该曲线在点false处的切线斜率为false．由false，得false，所以该曲线在点false处的切线斜率为false．因为两切线平行，所以false．
6．false 因为圆形排在第一个，五角形、八角形不能相邻，所以采用插空法．
其他四个图形全排列有false种排法，然后把五角形、八角形进行插空，有false种不同的排法，则共有false种不同的排法．
7．false 可视为false个false相乘，求其常数项，按照分类加法和分多乘法原理进行求解．
情形一：该false个代数式都提供false，则此时常数项为false；
情形二：该false个代数式中false个提供false，false个提供false，false个提供false，此时常数项为false；
情形三：该false个代数式中false个提供false，false个提供false，false个提供false，此时常数项为false．
综合三种情形可知，其常数项为false．
8．false 设false，false．
在椭圆false中，false，所以false．
在双曲线false中，false，所以false，
所以false，即false，得false，即false．
因为false，所以false，解得false．
9．false 因为false，
所以false未必成立．
因为false，false，false，
所以false，false，false．
10．false 易知，当false时false、false同向，所以A正确．
因为false，所以B错误．
当false时，false，则false，所以C正确．
当false时，false则false，所以D错误．
11．false 令false，可得false，①
令false，得false．②
因为false的展开式中false的系数为false，
所以false．③
由①，②，③，得false．
因为false，
所以false，
得false．故A正确．
因为false，所以B错误
因为所有项系数和为false，所以C正确．
因为false，
所以false，
令false，则false，故D正确．
12．AB 构造函数false，题可知false的定义域为false，且false，即false是偶函数，故关于false的方程false有4个不同的实数根等价于false在false上有两个零点．当false时，false，则false等价于false，令false，则false．令false，则falsefalse，故false在区间false上单调递增．又false，所以false在区间false上单调递减，在区间false上单调递增，即false在false处取得极小值且false．当false时，false；当false时，false，故当false时，关于false的方程false在区间false上有两个不同的实数根，即关于false的方程false有false个不同的实数根．
13．false（答案不唯一） 一般地，形如false，false都可以．
14．false 因为该几何体的表面积false，
所以false个这样的几何体的表面积为false，故共需要涂料false．
15．false 从false个国家中选取false个国家，选取的false个国家中，东盟国家及非东盟国家至少各有false个被选取的方法数为false．
16．false 如图，设false，false，false，则false，false．
因为false，
所以false，
所以false．
由余定理得false，false．
因为false，false，
所以false，
即false，
所以false，
故false的面积为false．
17．解：（1）设false的公差为false，由题意可得false
解得false，false，
故false．
（2）由（1）知，false，
所以false，
所以数列false的前20项和为false，
解得false．
18．解：（1）在false中，因为false，false，false，
所以false，false．
因为false，
所以false．
因为false，
所以false．
因为false，
所以false．
在false中，由余弦定理得false．
（2）过false作false的垂线，垂足为false，并延长使false，连接false交false于false，
此时false取得最小值false，即false的周长最小．
在false中，因为false，
所以false．
在false中，因为false，
所以false．
因为false，
所以false，
所以false．
因为false为false的中点，
所以false为false的中点，故false
19．解：（1）由题意得false
解得false，false．
（2）设应该制定的月销售冲目标值为false万元，则在频率分布直方图中false右边的面积为false．
最后一组的面积是false，
最后两组的面积之和为false．
因为false，
所以false位于倒数第二组，
则false，解得false．
所以该企业的月销售冲刺目标值应该定为20.8万元．
20．（1）证明：过点false作false，垂足为false．
因为false是false外接圆的直径，
所以false．
因为false，false，
所以false，false，false，false，false．
由题意，可知false，false，false两两垂直．
如图，以false为原点，以false的方向为false轴的正方向，建立空间直角坐标系false，
则false，false，false，
所以false，false，
所以false，所以false
因为false，false，
所以平面false∥平面false．
因为false平面false，
所以false平面false．
另外，本题还可取false的中点false，
连接false，false，通过证明false，
得到false，而false，
所以false．又false，
false，则平面false平面false，而false平面false，故false平面false．
（2）解：设false，由（1）知false，false，false，false，
false，false，false．
设平面false的法向量为false，
则false令false，得false．
取平面false的一个法向量false，
则false，
解得false或false．
当false时，二面角false为钝角，舍去，
所以false即false．
21．（1）解：由椭圆的定义知false，则false．
由光学性质可知false是false的角平分线，所以false．
因为false，所以false，
得false，从而false，
故椭圆false的方程为false．
（2）证明：设直线false的方程为false，false，false，
联立方程组false得false，
则false，false．
因为直线false的方程为false，
所以令false，得false．
因为false，false，
所以false
false，
所以false．
因为false与false有一个公共点false，所以false，false，false三点共线．
22．（1）解：false．
当false，即false时，false，
所以false在false上单调递增．
当false，即false或false时，
令false，得false，
当false时，两根均为负数，则false，
所以false在false上单调递增；
当false时，两根均为正数，
所以false在false，false上单调递增，
在false上单调递减．
综上所述，当false时，false在false上单调递增；当false时，false在false，false上单调增，在false上单调递减．
（2）证明：因为false，
所以false，
整理得false．
即false．
令false，则false，
所以false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，即false．
因为false，
所以false．
因为false在false上单调递减，
所以false，
即false．
因为false，false，
所以false．