广东省佛山市华附南海实高2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含答案

1268730010706100华附南海实验高中
2020~2021学年度第二学期高二年级期中检测
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．选择题分为单选题和多选题，多选题有2个或多个答案。
2．请在规定答题区域内作答，超出区域或答错题号不得分。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、单选题（本大题8题，每小题5分，共40分）
1．复数false的虚部是（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．若复数false满足false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知随机变量false的分布列是
false
1
2
3
false
false
false
false
则false（ ）
A．false B．false C．1 D．false
4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同的选法的种数是（ ）
A．56 B．65 C．30 D．11
right704855．用5种不同颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同,则不同的涂色方法种数为（ ）
A．120 B．160 C．180 D．240
6．函数false（false为自然对数的底数）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义域为R的可导函数false的导函数为false，满足false，且false，则不等式false的解集为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8. 已知false，若对任意两个不等的正实数false，false，都有false恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false

二、多选题（本大题4题，每小题5分，共20分.其中全部选对得5分，漏选得2分，错选、多选得0分）
9. 设false为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．false B．false
C．若false，则false的最大值为2 D．若false，则false
10. 对于false的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
11. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有false种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
12. 对于函数false，下列说法正确的是（ ）
A．函数在false处取得极大值false B．函数的值域为false
C．false有两个不同的零点 D．false

第Ⅱ卷 非选择题（共60分）
三、填空题（本大题4题，每小题5分，共20分）
13．已知false的导数为false,且false，则false＝______．
14．已知false，则false______．
15．为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到false、false、false三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去false村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为________.
16．已知函数false，false，若直线false与函数false，false的图象均相切，则false的值为________；若总存在直线与函数false，false图象均相切，则false的取值范围是________
三、解答题（本大题6题，共70分）
17．（10分）某校高三年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用false表示其中男生的人数．
（1）请列出false的分布列并求数学期望；
（2）根据所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
18．（12分）函数false在点false处的切线斜率为false．
（1）求实数a的值；
（2）求false的单调区间和极值．
19. （12分）已知函数false．
（1）求曲线false在点false处的切线方程；
（2）求函数false在区间false上的最值，并指出取得最值时x的值．
20．（12分）在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题。甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为false，且每道题完成与否互不影响。规定至少正确完成其中2道题便可过关。
（1）记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列和期望；
（2）记乙能答对的题数为Y，求Y的分布列、期望．
21．（12分）已知false，（false），false，其中e是自然常数.
（1）求false的单调性、极值；
（2）求证：false.
22．设函数false.
（1）若false在false上单调递增，求false的取值范围；
（2）若false,false恒成立，求false的取值范围．
华附南海实验高中
2020~2021学年度第二学期高二年级期中考试
参考答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
A
A
C
A
A
D
ACD
ABC
BCD
ABD
13____ -1 ___. 14____ 2079 __.
15____ 48 ___. 16___false false _.
1．D
【分析】
利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】
因为false，
所以复数false的虚部为false.
故选：D.
2．C
【解析】
由false，得false
∴false
故选C
3．A
【分析】
直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.
【详解】
解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为false得：false，
所以false.
4．A
【分析】
按照分步乘法计数原理，让6个同学一个一个的依次选择知识讲座，每个同学有5个选择，所以6个同学共有false种不同的选法．
【详解】
第一名同学有5种选择方法，第二名也有5种选择方法，…，依次选择，第六名同学也有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．
故选A．
5．C
【详解】
试题分析：若A,C的颜色相同时：第一步涂A,C有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三步涂D有4种方法，共计false种；若A，C的颜色不同时：第一步涂A有5种方法，第二步涂B有4种方法，第三部涂C有3种方法，第四步涂D有2种方法，共计false种方法，所以有180种方法
考点：分步计数原理
点评：完成一件事需要n部，第一步有false方法，第二步有false方法false第n步有false方法，则总的方法数有false种方法
6．A
【详解】
试题解析：函数为false偶函数，图象关于false轴对称，排除B、D， false时，false舍去C，选A.
考点：函数的奇偶性、单调性，函数的图象.
7．A
【分析】
构造函数false，由题意得false即函数false在false上单调递减，再根据题意得false，即可得解.
【详解】
令false，则false，
falsefalse，falsefalse，
false函数false在false上单调递减，
又 false，false，
falsefalse.
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.
8. D
【分析】
根据条件false可变形为false，构造函数false，利用其为增函数即可求解.
【详解】
根据false可知false，
令false
由false知false为增函数，
所以false恒成立，
分离参数得false，
而当false时，false在false时有最大值为false，
故false.
故选：D
9. ACD
【详解】
对于A：false，则false，∴false，而false，所以false成立；
对于B：false，当ab均不为0时，false，而false，所以false不成立；
对于C： false可以看出以false为圆心，1为半径的圆上的点P，false可以看成点P到Q(0,-1)的距离，所以当P(0,1)时，可取false的最大值为2；
对于D： false可以看出以false为圆心，1为半径的圆上的点N，则false表示点N到原点距离，故O、N重合时，false=0最小，当O、M、N三点共线时，false=2最大，故false.
故选：ACD
10. ABC
【分析】
根据二项式系数和性质可判断选项A；用赋值法求出所有系数和可判断选项B；求出展开式的通项可判断选项C，D可得出结论.
【详解】
false的展开式所有项的二项式系数和为false，选项A正确；
false中令false得false，选项B正确；
展开式通项为false，
令false，得false，所以常数项为false，选项C正确；
根据通项第false项系数为负值，第1项系数为1，
第3项系数为false，
第5项系数为false，第7项系数为false，
系数最大项为第5项，选项D不正确.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，二项式系数性质，熟记通项是解题的关键，掌握赋值法求系数和，属于中档题.
11. BCD
【分析】
利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.
【详解】
所有可能的方法有false种，A错误.
对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为false，另外两名同学的安排方法有false种，此种情况共有false种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有false，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有false种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有false种安排方法，B正确.
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有false种安排，C正确.
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有false种安排，D正确.
故答案为：BCD
12．ABD
【分析】
求导，利用导数研究函数的单调区间，进而研究函数的极值可判断A选项，作出函数false的抽象图像可以判断BCD选项.
【详解】
函数的定义域为false，求导false，
令false，解得：false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
极大值
false
所以当false时，函数有极大值false，故A正确；
对于BCD，令false，得false，即false，当false时，false，false，则false
作出函数false的抽象图像，如图所示：
由图可知函数的值域为false，故B正确；函数只有一个零点，故C错误；又函数false在false上单调递减，且false，则false，故D正确；
故选：ABD
13．-1
【详解】
对函数进行求导，得false把false代入得，
false
直接可求得false．
【点睛】
本题主要是考查求一个函数的导数，属于容易题．本题值得注意的是false是一个实数．
14．false
【分析】
令false，由题意可得false，即可得解.
【详解】
令false，则false，
由题意可得false，
所以，false，
因此，false.
故答案为：false.
15．false
【分析】
首先分三类：甲、乙、丙false人在不同村且甲不在false村、甲和乙在同村且不在false村、甲和丙在同村且不在false村，再应用分步求各类的安排方法，最后加总即为所求安排种数.
【详解】
有三种情况：
当甲、乙、丙false人在不同村，且甲不在false村时，有false种安排方法，
当甲和乙在同村且不在false村时，有false种安排方法，
当甲和丙在同村且不在false村时，有false种安排方法，
故，总共有false种安排方式.
故答案为：48.
16．false false
【详解】
设直线false与函数false的切点为false，
由false，所以false，解得false，所以切点为false，
所以false，解得false，即切线方程为false，
设直线false与函数false的切点为false，
则false，解得false ，即false，
设切线方程false为false，
且false与false的切点为false，
false与false的切点为false
则false，false，
整理可得false，false，
所以false，
整理可得false，
设false，
则false，
设false，
则false，
所以false在false为增函数，
又因为false，
所以在false上false，即false，所以false单调递减；
在false上false，即false，所以false单调递增，
所以false，
即false，解得false.
故答案为： false；false
17．（I）详见解析；（II）false.
【解析】
试题分析：
(1)随机变量服从超几何分布，利用公式求得分布列和数学期望即可；
(2) 由分布列可知至少选3名男生，即false．
试题解析：（Ⅰ）依题意得，随机变量false服从超几何分布，
随机变量false表示其中男生的人数，false可能取得值为0,1,2,3,4，false，false
∴false的分布列为：
false
0
1
2
3
4
false
false
false
false
false
false
（Ⅱ）由分布列可知至少选3名男生，
即false．
18．（1）3；（2）增区间为false，减区间为false．极小值false，无极大值．
【分析】
（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数false的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.
【详解】
解：（1）函数false的导数为false，
在点false处的切线斜率为false，
false，即false，false；
（2）由（1）得，false，
令false，得false，令false，得false，
即false的增区间为false，减区间为false．
在false处取得极小值false，无极大值．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．
19. (1) false;(2) 当false时，false，当false时，false.
【分析】
(1)由题意求出导函数，进而求解出false，即可求出切线的斜率false，由直线的点斜式方程即可求出切线方程.
(2)利用导数求函数在false的单调性，结合区间端点处的函数值，即可求出函数的最值及取最值时的x的值.
【详解】
解：(1)因为false，则定义域为false，则false，
所以false，又 false，所以false，
即切线方程为false.
(2)令false，解得false，当false时，false，false递增；
当false时，false，false递减，所以当false时，false，
又false，false，所以当false时，false.
20．（1）见解析； （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）由题为求随机变量的分布列，需先理解题意，求出甲答对的题数为X的可能取值，再由条件分别算出每种取值对应的概率，列表做出分布列（为超几何分布），最后代入期望公式可求出期望；
（2）由题与（1）的思路相同，但因为乙正确完成每道题的概率为false，可化为二项分布来解决，而算期望和方差，可直接代公式。
试题解析：（1）falsefalse, false,
X
1
2
3
P
0.2
0.6
0.2
false
（2）false,false
Y
0
1
2
3
P
false
false
false
false
E（Y）=2
考点： （1）超几何分布。（2）二项分布。
21．（1）单调递减区间为false，单调递增区间为false，极小值为false；（2）证明见解析.
【分析】
（1）求导得false，在定义域内解不等式false、false，即可得函数单调区间，进而得到极值；
（2）令false，求得函数false的最小值和false的最大值，可证false，即可得证.
【详解】
（1）falsefalse，false，falsefalse，
false当false时，false，当false时，false，
false函数false的单调递减区间为false，单调递增区间为false，
false函数false的极小值为false.
(2)由（1）知函数false的极小值为false，即函数false在false上的最小值为1，
令false，则false，
当false时，false，
false函数false在false上单调递增，falsefalse，
falsefalse.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值及证明不等式成立，属于中档题.
22．（1）false；（2）false．
【分析】
（1）由已知条件可得false对任意的false恒成立，可得出false，利用导数求出函数false的最大值，即可得出实数false的取值范围；
（2）利用变量分离法可得出false对任意的false恒成立，利用导数求出函数false在区间false上的最大值以及函数false在区间false上的最小值，由此可得出实数false的取值范围.
【详解】
（1）false，则false.
又false在false上单调递增，所以false，则false，
令false，则false.
当false时，false，此时函数false单调递增；
当false时，false，此时函数false单调递减.
所以false，则false，解得false；
（2）当false时，false恒成立．即false恒成立．
即false恒成立．即false且false同时成立．
令false，其中false，false，令false，可得false.
当false时，false，此时函数false单调递增；
当false时，false，此时函数false单调递减.
所以，false，所以false.
令false，其中false，则false，则函数false在false上为增函数，
所以false，所以false．
综上，实数false的取值范围是false．