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7.4.2超几何分布教学设计
课题
超几何分布
单元
第七单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容主要是超几何，由生活中的实际情景导入，学习判断超几何分布及求超几何分布的分布列，并使用其解决一些实际问题.
教学目标与核心素养
数学抽象：利用生活中的实际问题，为了求解产品的次品率，引入超几何分布；
逻辑推理：通过导入及课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
数学建模：掌握超几何分布的判断及分布列的一般求解过程，利用其解决实际问题；
数学运算：能够正确列出超几何分布的分布列，并计算期望；
5、数学分析：通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
掌握超几何的判断及求分布列与期望.
难点
利用超几何分布，解决一些实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景一：
在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，求取到的次品数X的分布列.
分析：从10件产品中任取3件结果数为
那么从10件产品中任取3件，其中恰好有k件次品的概率为
则次品数X的分布列为
X0123P
情景二：
盒子中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同,
现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出白球的个数.
（1）求P(X=3);
（2）试写出X的分布列.
分析
：袋中共有12个球，从12个球中任取5个球的结果数为
，其中恰好有k个白球的结果数为，因此从12个球中任取5个球，
其中恰好有k个白球的概率为P(X=k)=
则
（1）P(X=3)=
X的分布列为
X01234P
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
新知讲解：
问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).
如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？
采用不放回抽样，每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
由题意可知，X可能的取值为0,1,2,3,4.从100件产品中任取4件，
有
种不同的取法，且每种取法发生的可能性都是相等的，
其中4件产品中恰有k件次品的结果为
由古典概型的知识，得X的分布列为
计算结果如下表.
XP00.7125710.2562120.0298930.0013140.00002
超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中M件次品。从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中次品数，则X的分布列为
其中n,N,M∈N
,M≤N,n≤M,
m=max{0,n-N+M},r={n,M}。
如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布
例题讲解：
例1：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率。
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5。因此甲被选中的概率为
例2:
一批零件共有30个，其中有3个不合格。随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率。
解：设抽取的10个零件中不合格品数位X，则X服从超几何分布，且N=30,M=3,n=10，X的分布列为P(X=k)=
,k=0,1,2,3
则至少有1件不合格的概率为
思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
分析：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令p=M/N，则p是N件产品的次品率，而X/n是抽取的n件产品的次品率，猜想E(X/n)=p，即E(X)=np
实际上，由随机变量的均值的定义，令m=max(0,n-N+M)，r=min(n,M)，有
因为
所以
总结归纳
1.超几何分布模型是一种不放回抽样；
2.超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：，
求出X取不同k值时的概率．
例3
一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本。用X表示样本中黄球的个数。
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率。
解：（1）对于有放回的摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果相互独立，因此X~B(20,0.4)，X的分布列为
p1k=P(X=k)=
,
k=0,1,2,3,...,20
对于不放回的摸球，各次试验之间的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
p2k=P(X=k)=
,
k=0,1,2,3,...,20
（2）利用统计软件计算出两个分布列的具体概率值，如下表所示
样本中黄球的比例f20=X/20是一个随机变量，根据上表计算得
有放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469
不放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些
小结：
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同。对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似
课堂练习：
1．一批产品共50件,次品率为4%,从中任取2件,则含有1件次品的概率为( A )
A．0.078
B．0.78
C．0.007
8
D．0.022
2．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于6/7的是（
B
）
A．至少有1个深度贫困村
B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村
D．恰有2个深度贫困村
3．某贫困县下有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于
的是(
A
)
A．P(X=4)
B．P(X≤4)
C．P(X=6)
D．P(X≤6)
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(
C
)
A．7/15
B．8/15
C．14/15
D．1
5.
从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数X的分布列.
解：由题意得X＝0,1,2,3。X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布。则
6.
一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
解：（1）从袋中一次随机抽取3个球,所有取法的总数n=C63=20,取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为C31C21C11=6,所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P=6/20=3/10
（2）由题意知X=0,1,2,3
拓展提高：
7．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和n(n∈N+)个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为4/15.
（1）求n的值；
（2）若一次抽取4个城市，则
①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
解：（1）由题意知，共（n+7）个城市，取出2个的方法总数是，其中全是小城市的情况有种，故全是小城市的概率是=4/15，解得n=8
（2）①由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
②若4个城市全是超大城市，共有C74=35种情况；
若4个城市全是小城市，共有C84=70种情况，
故全为超大城市的概率为35/(35+70)=1/3
8.
根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，则
E(X)=0
x
2/9
+
1
x
5/9
+
2
x
2/9
=
1
（2）新药无效的情况有：10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，所以
所以可认为新药无效是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理
链接高考：
9．（2008
浙江高考真题（理））一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2/5；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7/9．
（1）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望EX
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7/10．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
解：（1）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)=，得到x=5．故白球有5个
(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，分布列为
X0123P
X的数学期望为E(X)=1/12
x
0
+
5/12
x
1
+
5/12
x
2
+
1/12
x
3
=
3/2
(2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，y=2/5n所以2y记”从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球“为事件B
,则P(B)=2/5+3/5×y/n?1≤2/5+3/5×1/2=7/10
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于2/5n，红球的个数少于n/5,所以袋中红球最少
10．（2017
山东高考真题（理））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的频率．
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1
但不包含B1的事件为M，
则P(M
)=
(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4.则
X的数学期望是E(X)=0
x
1/42
+
1
x
5/21
+
2
x
10/21
+
3
x
5/21
+
4
x
1/42
=
2
学生根据情境问题，探究超几何分布
利用例题引导学生掌握并灵活运用超几何分布解决实际相关问题
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用
利用情境问题，探究超几何分布，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
超几何分布
服从超几何分布的随机变量的均值
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
§7.4.2
超几何分布
一、新知导入
三、例题讲解
二、新知讲解
四、课堂练习
1.超几何分布
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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人教A版（2019）
选择性必修第三册
7.4.2
超几何分布
新知导入
分析：从10件产品中任取3件结果数为
那么从10件产品中任取3件，其中恰好有k件次品的概率为
在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，求取到的次品数X的分布列.
(k=0,1,2,3)
则次品数X的分布列为
X
0
1
2
3
P
新知导入
盒子中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同,
现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出白球的个数.
（1）求P(X=3);
（2）试写出X的分布列.
分析
：袋中共有12个球，从12个球中任取5个球的结果数为
其中恰好有k个白球的结果数为
因此从12个球中任取5个球，
其中恰好有k个白球的概率为
新知导入
则
（1）
（2）X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
新知讲解
问题：已知100件产品中有8件次品，现从中采用有放回和不放回的方式随机抽取4件．设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
采用有放回抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立,
此时X服从二项分布,即X～B(4，0.08).
如果采用不放回抽样，抽取的4件产品中次品数X服从二项分布吗？若不服从，
那么X的分布列是什么？
新知讲解
采用不放回抽样，每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果不独立，
不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
由题意可知，X可能的取值为0,1,2,3,4.从100件产品中任取4件，
有
种不同的取法，且每种取法发生的可能性都是相等的，
其中4件产品中恰有k件次品的结果为.
由古典概型的知识，得X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.71257
0.25621
0.02989
0.00131
0.00002
计算结果如下表.
新知讲解
超几何分布
其中n,N,M∈N
,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
一般地，假设一批产品共有N件，其中M件次品。从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
例题讲解
例1：从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，且N=50，M=1，n=5.因此甲被选中的概率为
例题讲解
例2:
一批零件共有30个，其中有3个不合格。随机抽取10个零件进行检测，求
至少有1件不合格的概率。
解：设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分步，且N=30,M=3,n=10，X的分布列为
则至少有1件不合格的概率为
P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=
或者
P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=0.7192
合作探究
思考：服从超几何分布的随机变量的均值是什么？
分析：设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数。令p=M/N，则p是N件产品的次品率，而X/n是抽取的n件产品的次品率，猜想E(X/n)=p，即E(X)=np
实际上，由随机变量均值的定义，令m=max(0,n-N+M)，r=min(n,M)，有
因为，所以
例题讲解
总结归纳
1.超几何分布模型是一种不放回抽样；
2.超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，
只要知道N，M和n就可以根据公式：，
求出X取不同k值时的概率．
例题讲解
例3
一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.
（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；
（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.
解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的
结果是独立的，因此X~B(20,0.4)，X的分布列为
p1k=P(X=k)=
对于不放回的摸球，各次试验之间的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为
p2k=P(X=k)=
例题讲解
（2）利用统计软件计算出两个分布列的具体概率值，如下表所示.
k
p1k
p2k
0
0.00004
0.00001
1
0.00049
0.00015
2
0.00309
0.00135
3
0.01235
0.00714
4
0.03499
0.02551
5
0.07465
0.06530
6
0.12441
0.12422
7
0.16588
0.17972
8
0.17971
0.20078
9
0.15974
0.17483
10
0.11714
0.11924
k
p1k
p2k
11
0.07099
0.06376
12
0.03550
0.02667
13
0.01456
0.00867
14
0.00485
0.00217
15
0.00129
0.00041
16
0.00027
0.00006
17
0.00004
0.00001
18
0.00000
0.00000
19
0.00000
0.00000
20
0.00000
0.00000
例题讲解
样本中黄球的比例f20=X/20是一个随机变量，根据上表计算得
有放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7469
不放回摸球：P(|f20-0.4|≤0.1)=P(6≤X≤10)≈0.7988
因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.
例题讲解
小结：
二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同。对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.
课堂练习
1．一批产品共50件,次品率为4%,从中任取2件,则含有1件次品的概率为( )
A．0.078
B．0.78
C．0.007
8
D．0.022
A
2．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于6/7的是（
）
A．至少有1个深度贫困村
B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村
D．恰有2个深度贫困村
B
课堂练习
3．某贫困县下有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便.现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是(
)
A．P(X=4)
B．P(X≤4)
C．P(X=6)
D．P(X≤6)
A
课堂练习
4．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于(
)
A．7/15
B．8/15
C．14/15
D．1
C
课堂练习
5.
从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数X的分布列.
解：由题意得X＝0,1,2,3。X服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布。则
课堂练习
6.
一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球,其中红球有3个,编号为1,2,3;黑球有2个,编号为1,2;白球有1个,编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球.
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率;
(2)记取得1号球的个数为随机变量X,求随机变量X的分布列.
解：（1）从袋中一次随机抽取3个球,所有取法的总数n=C63=20,取出的3个球的
颜色都不相同包含的样本点的个数为C31C21C11=6,所以取出的3个球的颜色都不相同
的概率为P=6/20=3/10
（2）由题意知X=0,1,2,3
拓展提高
7．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和n(n∈N+)个人口低于200万的小城市中随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，则全是小城市的概率为4/15.
（1）求n的值；
（2）若一次抽取4个城市，则
①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
拓展提高
解：（1）由题意知，共（n+7）个城市，取出2个的方法总数是，
其中全是小城市的情况有种，故全是小城市的概率是，解得n=8
（2）①由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
②若4个城市全是超大城市，共有C74=35种情况；
若4个城市全是小城市，共有C84=70种情况，
故全为超大城市的概率为35/(35+70)=1/3
拓展提高
8.
根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
拓展提高
解：（1）X的所有可能取值为0，1，2，则
E(X)=0
x
2/9
+
1
x
5/9
+
2
x
2/9
=
1
（2）新药无效的情况有：10人中1人痊愈、10人中0人痊愈，所以
所以可认为新药无效是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理
链接高考
9．（2008
浙江高考真题（理））一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是2/5；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是7/9．
（1）若袋中共有10个球，
（i）求白球的个数；
（ii）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的数学期望EX
（2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于7/10．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．
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解：（1）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，则，得到x=5．故白球有5个
X
0
1
2
3
P
(ii)随机变量的取值为0，1，2，3，分布列为
X的数学期望为E(X)=1/12
x
0
+
5/12
x
1
+
5/12
x
2
+
1/12
x
3
=
3/2
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(2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得，y=
所以2y记”从袋中任意摸出2个球，至少有1个黑球“为事件B
,则
所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于
所以袋中红球最少
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10．（2017
山东高考真题（理））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的频率．
（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E（X）.
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解：（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则
(2)由题意知X可取的值为：0,1,2,3,4.则
X的数学期望是E(X)=0
x
1/42
+
1
x
5/21
+
2
x
10/21
+
3
x
5/21
+
4
x
1/42
=
2
课堂总结
1.超几何分布
其中n,N,M∈N
,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.
如果随机变量X的分布列具有上式形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
一般地，假设一批产品共有N件，其中M件次品。从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
2.服从超几何分布的随机变量的均值
E(X)=np
板书设计
7.4.2
超几何分布
一、新知导入
二、新知讲解
超几何分布
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
作业布置
课本P80
习题7.4
第1~8题
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