北师大版九年级上册《特殊的平行四边形》复习讲义 (3)

教学内容
菱形
教学目标
掌握菱形的性质及判定；并掌握菱形面积的求法.
教学重点
菱形性质及判定的综合应用
教学难点
能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题
教学过程
前课回顾
1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形也是特殊的平行四边形，故菱形具备平行四边形的多有性质。除此之外，菱形的性质还有：
菱形的性质一：
边
菱形的四条边相等。
菱形的性质二：
对角线
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质三：
对称性
菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，菱形有2条对称轴。
菱形的判定：
定义
定理1：四边都相等的四边形是菱形
定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形面积：S=ab
(a、b为两条对角线长）
S菱形ABCD
=AB×
DE或S菱形ABCD
=
S△ABD+S△BCD
=
AC×BD
（菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半）
知识详解
菱形判定定理1：一组邻边相等的平行四边形是菱形
例1：（2012?恩施州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．
求证：四边形AEDF是菱形．
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
菱形判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形
例3：如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．
练习1：（2009年广西梧州）如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD。
(1）求证：AD＝CE；
(2）四边形ADCE的形状是？
练习2：如图，在□ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形?请证明你的结论．
练习3：如图，在△ABC中，AB=BC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，（1）求证：四边形BDEF是菱形。（2）若AB=12cm，求菱形BDEF的周长？
例4：如图，□ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．
例5：如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
(1)求证：△BDE≌△BCF；
(2)判断△BEF的形状，并说明理由；
(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．
真题在线
例1：已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。(1)求证：AM=DM；(2)若DF=2，求菱形ABCD的周长
。
练习1：如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．
求：（1）较短对角线的长；（2）一组对边的距离。
例2：如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是，求AB的值．
练习2：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF的周长。
例3：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
练习3：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.
变式训练
1.如图所示：在菱形ABCD中，AB=6，
(1)三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？
(2)对角线AC与BD有什么位置关系？
(3)若∠ADC=120°，求AC的长.
(4)菱形ABCD的面积.
活动1
小组讨论
例1
如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.
求：(1)对角线AC的长度；
(2)菱形ABCD的面积.
活动2
跟踪训练
1.如图，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC=
°，[]
AC=
cm.
2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是????????cm2．
3.
如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，BC=CD，锐角∠BAC的角平分线AE交BC于点E，AF是CD边上的中线，且PC⊥CD与AE交于点P,QC⊥BC与AF交于点Q．求证：四边形APCQ是菱形．
随堂检测
1．菱形的对角线(
)
A．相等
B．互相垂直且平分
C．相等且互相垂直
D．相等且互相平分
2．如图，添加下列条件仍然不能使□ABCD成为菱形的是(
)
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
3．如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则□ABCD的周长为(
)
A．4
B．6
C．8
D．12
4．下列命题中，真命题是(
)
A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
B．有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C．菱形是对角线互相垂直平分的四边形
D．菱形的对角线相等
5．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为(
)
A．4
B．4
C．2
D．2[]
　　　[]
6．如图，顺次连接四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是(
)
A．AB∥DC
B．AB＝DC
C．AC⊥BD
D．AC＝BD
7．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE＝4
cm，那么四边形AEDF周长为(
)
A．12
cm
B．16
cm
C．20
cm
D．22
cm[]
8．如图，在△ABC中，AB＜BC＜AC，小华依下列方法作图：①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是(
)
A．四边形CEDF为菱形
　
　B．DE＝DA
C．DF⊥CB
　
　D．CD＝BD
9．(丹东中考)在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是________．
10．(淄博中考)已知□ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使?ABCD成为一个菱形．你添加的条件是________________．
11．(泸州中考)一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为________．
12．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C.连接AC、BC、AB、OC.若AB＝2
cm，四边形OACB的面积为4
cm2.则OC的长为______cm.
13．如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)若AB＝10
cm，求菱形BDEF的周长．
[]
14．(兰州中考)如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EF，则△AEF的面积是(
)
　　　
A．4
B．3
C．2
D.
15．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是________．(填序号)
①图中共有3个菱形；[]
②△BEP≌△BGP；
③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；
④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6.过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.求△BDE的周长．
17．(贵阳中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，CD.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．
18．(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2.
(1)证明：∠ABE＝30°；
(2)证明：四边形BFB′E为菱形．
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