北师大版九年级上册《特殊的平行四边形》矩形、正方形复习讲义

教学内容 矩形、正方形复习
教学目标 掌握矩形、正方形的性质及判定
教学重点 熟练运用矩形、正方形的性质解决相关问题
教学难点 矩形、正方形的性质及判定的灵活应用
前课回顾
一、矩形 1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：
（1）矩形的四个角都是直角；
（2）矩形的对角线平分且相等。
3、判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）有三个角是直角的四边形是矩形。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
二、正方形
1、定义：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形。
2、性质：
（1）正方形的四条边都相等;
（2）正方形的四个角都是直角。
（3）正方形的两条对角线垂直平分且相等（每一条对角线与边的夹角是45°）
3、判定：
（1）邻边相等的矩形是正方形。
（2）有一个角是直角的菱形是正方形。
（3）对角线垂直平分且相等的四边形是正方形。
知识详解
例1：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD＝60?，AD＝2，
则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
练习1：已知，如图 ，矩形 ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．
练习2：如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由矩形的性质2有：
AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例2 ：已知，如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD是对角线，过顶点C作BD的平行线与AB的延长线相交于点E。求证：△ACE是等腰三角形。
练习2：已知，如图2，矩形ABCD中，E是BC上一点，于F，若 。求证：CE＝EF。
练习3：在矩形ABCD中，，求这个矩形的周长。
例3：矩形ABCD中，AB=6，AD=8，将ΔADC沿AC翻折至ΔAEC，AE与BC相交于G，求GC的长。
练习4：如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，求AG的长。

练习5：如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长。
矩形的判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义法）
例1：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形
矩形的判定2：有三个角是直角的四边形是矩形
例2：已知，如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
矩形的判定3：对角线相等的平行四边形是矩形
例3：平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形。
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
练习1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．
　　求证：OE = OF．
例2点E,F,M,N分别是正方形ABCD四边上的点，且AE=BF=CM=DN,
求证：四边形EFMN是正方形．
证明：
练习2：已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
　　求证：四边形PQMN是正方形．
变式训练
练习1：已知：如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA． （1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE＝CF．
练习2：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
练习3：如图所示，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，CE⊥BD于E，OF⊥AB于F，BE：DE=1：3，OF=2cm，求AC的长．
练习4：如图所示，矩形ABCD中，长为7，宽为6，点E、F将BD三等分，求△AEF的面积．
练习5：已知矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE＝EF，CF＝CA。求证：。
8．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
9．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
10、已知，在正方形ABCD中，点G是BC上的任意一点，DE ⊥AG于点E，BF ∥ DE，且交AG于点F，求证：AF—BF=EF
11．（快班做）已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
随堂检测
1．下列叙述错误的是（ ）． A．平行四边形的对角线互相平分 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形
2．下列性质矩形不一定具备的是（ ）．
A．对角线相等 B．四个内角都相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
3．下列说法错误的是（ ）．
A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
4. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
5．矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（ ）．
A.16 B.22 C.26 D.22或26
6．矩形ABCD的长为5，宽为3，点E、F将AC三等分，则△BEF的面积为（ ）．
A． D．5
7．已知矩形ABCD的AB=2BC，在CD上取点E，使AE=EB，那么∠EBC等于（ ）．
A．60° B．45° C．30° D．15°
8．如图1所示，矩形ABCD的对角线交于O，AE⊥BD于E，∠1：∠2=2：1，则∠1的度数为（ ）．
A．22．5° B．45° C．30° D．60°

1．若正方形的边长为a，则其对角线长为______，若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于______．
2．延长正方形ABCD的BC边至点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为______，若BC＝4cm，则△ACE的面积等于______．
3．在正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，如果，那么EF＋EG的长为______．
4．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为__________．
5．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_________°。
6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长_________．
7．如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，且EB⊥EC．若矩形ABCD的周长为48cm，求矩形ABCD的面积．
9．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数．
10．已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AE＝AB，EF⊥AC，交BC于F．求证：BF＝EC．
11．如图，P为正方形ABCD的对角线上任一点，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，判断DP与EF的关系，并证明．
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