陕西省咸阳市武功县高中2020-2021学年高二下学期6月第三次月考数学理科试卷 Word版含答案

武功县高中2020—2021学年度第二学期高 二 年级第 3 次月考
（理科数学）试题（卷）
第一卷 选择题（共48分）
选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上)
1．复平面内表示复数的点位于(　 　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D． 第四象限
2．已知离散型随机变量的分布列如下：
X 0 1 2 3
P m 0.3 m 0.45
则m的值为(　 　)
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(　 　)
A．2 B．4 C．2 D．4
4．由12名志愿者组成的医疗队中，有5名共产党员，现从中任选6人参加抗洪抢险，用随机变量X表示这6人中共产党员的人数，则下列概率中等于的是(　 　)
A．P(X≤2) B．P(X＝2) C．P(X≤3) D．P(X＝3)
5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，则不同的安排方法共有(　 　)
A．50种 B． 60种 C．20种 D．30种
若直线为曲线的一条切线，则实数的值是(　 　)
A．1 B．-1 C．2 D．-2
的展开式中的系数是(　 　)
A．25 B．20 C．35 D．30
8．如图所示一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　 )
A．96 B．84 C．60 D．48
9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x＋x等于(　 　)
A．　　　 B．　　　
C．　　 D．
10．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　 　)
A．4 772 B．3 413
C．2 718 D．2 386　　
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σP(μ－2σ11．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
12．设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，g(x)是偶函数，当x时，且,则不等式的解集为(　 　)

填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝的单调递增区间是 ．
14．二项展开式，则 ．
15．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；
③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.
其中所有正确结论的序号是 ．
16．已知函数若当时，恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
7名学生，按照不同的要求站成一排，求下列不同的排队方案有多少种．
(1)甲、乙两人必须站两端； (2)甲、乙两人必须相邻．
18．(本小题满分12分)
已知展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64．
(1)求项的系数；(2)求二项式系数最大的项．
19．(本小题满分12分)
已知数列，.
(1)求的值；(2)猜想数列{}的通项公式，并用数学归纳法证明．
20．(本小题满分12分)
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率
分别为，，．
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
21．(本小题满分12分)
从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.
(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；
(2)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标位于区间[45,75)内的产品件数为X，求X的分布列和数学期望．
22．(本小题满分12分)
已知：函数在处取得极值，其中为常数.
(1)试确定的值； (2)讨论函数的单调区间；
(3)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
武功县高中2020—2021学年度第二学期高二年级
第 3 次月考（理科数学）参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在答题卡上)
1．A2．A 3．D4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 9．C 10．B 11．C 12．C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13．(0，e)； 14． 122 ； 15．①②④； 16．．
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)
【解析】(1)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有种站法，其余5人全排列，有种站法．故共有＝240种不同站法．
(2)(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共有＝1 440种站法．
(本小题满分12分)

【解析】令x＝1，得各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，故有＝2n＝64，∴n＝6.
(1)由Tr＋1＝C()6－r()r＝3rC可知当r＝0时，x3项的系数为30C＝1.
(2)∵此展开式共有7项，∴二项式系数最大的项为第4项，∴T4＝C()3()3＝540.
(本小题满分12分)
【解析】(1)由，，得，，，.
(2)由(1)猜想，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即.
则当n＝k＋1时，，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，由①②知，对n∈N*，都成立．
(本小题满分12分)
【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.
X 0 1 2 3
P



所以，随机变量X的分布列为



随机变量X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)
＝×＋×＝.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
21．(本小题满分12分)
【解析】(1)设这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为x，则在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4x和2x.
依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.03)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.
(2)从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X～B(n，p)，其中n＝3.由(1)得，这些产品质量指标值落在区间[45,75)内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率为p＝0.6.因为X的所有可能取值为0,1,2,3，且P(X＝0)＝C×0.60×0.43＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.61×0.42＝0.288，P(X＝2)＝C×0.62×0.41＝0.432，P(X＝3)＝C×0.63×0.40＝0.216.
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
所以X的分布列为

随机变量X的数学期望EX=0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8或者(EX=3×0.6＝1.8).
22．(本小题满分12分)
【解析】（Ⅰ）由题意知，因此，从而.
又对求导得由题意，因此，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.

1
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.
解得或.所以c的取值范围为