21.2.2 公式法 同步练习（含答案）

21.2.2　公式法
一、选择题
1.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是 ( )
A.a＝3,b＝2,c＝3
B.a＝－3,b＝2,c＝3
C.a＝3,b＝2,c＝－3
D.a＝3,b＝－2,c＝3
2.已知方程x2－6x－1＝0,则b2－4ac的值是 ( )
A.10 B.32
C.40 D.－40
3.方程x2－3x＋3＝0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实根
B.有两个相等的实根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
4.若一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k>－1 B.k≥－1
C.k≤－1 D.k≥－1且k≠0
5.已知a是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根,则下列对a值的估计正确的是 ( )
A.2C.16.方程2x(x－5)＝6(x－5)＋2的根是 ( )
A.x＝4＋
B.x＝4－
C.x1＝4＋,x2＝4－
D.x1＝－4＋,x2＝－4－
7.利用求根公式求方程3x2+=6x的根时,其中a=3,则的值是(　　)
A.12 B.3 C.-12 D.-3
8.方程2x(x-5)=6(x-5)+2的根是(　　)
A.x=4+
B.x=4-
C.x1=4+,x2=4-
D.x1=-4+,x2=-4-
9.已知a,b,c分别为Rt△ABC(∠C＝90°)三边的长,则关于x的一元二次方程(c＋a)x2＋2bx＋(c－a)＝0根的情况是 ( )
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法判断
10.若方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b＋＝ ( )
A.m B.－m
C.2m D.－2m
11.若关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根,则k的非负整数值是 ( )
A.1 B.0,1
C.1,2 D.1,2,3
二、填空题
12.关于x的一元二次方程x2－10x＋a2＝0有两个相等的实数根,则a＝　　.
13.用公式法解一元二次方程-x2+3x=1时,应求出a,b,c的值,则a=　　,b=　　,c=　　.
14.若x2+3xy-2y2=0,则的值为　 　.
15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是　 　.
三、解答题
16.不解方程,判断方程根的情况.
(1)2y2＋5y＋6＝0;
(2)2x2＝3x＋1;
(3)4y(4y－6)＋9＝0.
17.用公式法解下列方程,请完成解题过程:
(1)2x2－7x－4＝0.
解:a＝　　,b＝　　,c＝　　,
b2－4ac＝　　>0,
x＝,
x1＝　　,x2＝　 　.
(2)(x－2)2＝x－3.
解:整理,得　 　,
a＝　　,b＝　　,c＝　　,
b2－4ac＝　　<0,
方程　 　实数根.
18.用公式法解下列方程.
(1)x2－x＝－2;
(2)x2－2x＝2x＋1;
(3)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
19.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0(m≠1).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.
20.若a2＋b2＝c2,则我们把形如ax2＋cx＋b＝0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当a＝3,b＝4时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有实数根.
21.定义a*b=,求方程(3x*x2)+(x2*3x)=1的解.
22．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
23．(中考·乐山)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．
(1)求a的最大整数值；
(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．
24.如下表,方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程:
序号 方程 方程的解
1 x2＋x－2＝0 x1＝－2 x2＝1
2 x2＋2x－8＝0 x1＝－4 x2＝2
3 x2＋3x－18＝0 x1＝　 x2＝　 　
… … … …
(1)将方程3的解填在表中的空白处;
(2)请写出这列方程中的第10个方程,并用求根公式求其解.
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参考答案
一、选择题
1.用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时,首先要确定a,b,c的值,下列叙述正确的是 (D)
A.a＝3,b＝2,c＝3
B.a＝－3,b＝2,c＝3
C.a＝3,b＝2,c＝－3
D.a＝3,b＝－2,c＝3
2.已知方程x2－6x－1＝0,则b2－4ac的值是 (C)
A.10 B.32
C.40 D.－40
3.方程x2－3x＋3＝0的根的情况是 (C)
A.有两个不相等的实根
B.有两个相等的实根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
4.若一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个实数根,则k的取值范围是 (D)
A.k>－1 B.k≥－1
C.k≤－1 D.k≥－1且k≠0
5.已知a是一元二次方程x2－x－1＝0较大的根,则下列对a值的估计正确的是 (B)
A.2C.16.方程2x(x－5)＝6(x－5)＋2的根是 (C)
A.x＝4＋
B.x＝4－
C.x1＝4＋,x2＝4－
D.x1＝－4＋,x2＝－4－
7.利用求根公式求方程3x2+=6x的根时,其中a=3,则的值是(　C　)
A.12 B.3 C.-12 D.-3
8.方程2x(x-5)=6(x-5)+2的根是(　C　)
A.x=4+
B.x=4-
C.x1=4+,x2=4-
D.x1=-4+,x2=-4-
9.已知a,b,c分别为Rt△ABC(∠C＝90°)三边的长,则关于x的一元二次方程(c＋a)x2＋2bx＋(c－a)＝0根的情况是 (C)
A.无实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法判断
10.若方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b＋＝ (D)
A.m B.－m
C.2m D.－2m
11.若关于x的一元二次方程kx2－4x＋3＝0有实数根,则k的非负整数值是 (A)
A.1 B.0,1
C.1,2 D.1,2,3
二、填空题
12.关于x的一元二次方程x2－10x＋a2＝0有两个相等的实数根,则a＝　±5　.
13.用公式法解一元二次方程-x2+3x=1时,应求出a,b,c的值,则a=　-1　,b=　3　,c=　-1　.
14.若x2+3xy-2y2=0,则的值为　-　.
15.已知关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是　m<1　.
提示:①当方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0为一元二次方程时,m2－1≠0,即m≠±1.∵关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,∴Δ＝[2(m－1)]2－4(m2－1)＝－8m＋8≥0,解得m≤1,∴m<1且m≠－1.②当方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0为一元一次方程时,m2－1＝0且2(m－1)≠0,则m＝－1.综上所述,m<1时方程有实数根.
三、解答题
16.不解方程,判断方程根的情况.
(1)2y2＋5y＋6＝0;
解:Δ＝b2－4ac＝52－4×2×6＝25－48＝－23<0,
∴方程2y2＋5y＋6＝0没有实数根.
(2)2x2＝3x＋1;
解:由已知得2x2－3x－1＝0,
Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝9＋8＝17>0,
∴方程2x2＝3x＋1有两个不相等的实数根.
(3)4y(4y－6)＋9＝0.
解:由已知得16y2－24y＋9＝0,
Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝576－576＝0,
∴方程4y(4y－6)＋9＝0有两个相等的实数根.
17.用公式法解下列方程,请完成解题过程:
(1)2x2－7x－4＝0.
解:a＝　2　,b＝　－7　,c＝　－4　,
b2－4ac＝　81　>0,
x＝,
x1＝　4　,x2＝　－　.
(2)(x－2)2＝x－3.
解:整理,得　x2－5x＋7＝0　,
a＝　1　,b＝　－5　,c＝　7　,
b2－4ac＝　－3　<0,
方程　没有(无)　实数根.
18.用公式法解下列方程.
(1)x2－x＝－2;
解:方程无解.
(2)x2－2x＝2x＋1;
解:x1＝2＋.
(3)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.
解:x1＝.
19.已知关于x的一元二次方程(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0(m≠1).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数.
解:(1)∵Δ＝b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
(2)由求根公式,得x＝,
∴x1＝,x2＝1.
∵m为整数,且方程的两个根均为正整数,
∴x1＝,且x1必为正整数,
∴m－1＝1或2,∴m＝2或m＝3.
20.若a2＋b2＝c2,则我们把形如ax2＋cx＋b＝0(a≠0)的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.
(1)当a＝3,b＝4时,写出相应的“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有实数根.
解:(1)当a＝3,b＝4时,c＝±5,
∴相应的“勾系一元二次方程”为3x2±5x＋4＝0.
(2)∵Δ＝(c)2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0,
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0(a≠0)必有实数根.
21.定义a*b=,求方程(3x*x2)+(x2*3x)=1的解.
解:根据新定义,得3x*x2=,x2*3x=,
方程变形为=1,
整理,得x2+3x+1=0,
这里a=1,b=3,c=1,∴Δ=9-4=5,∴x=.
即x1=-,x2=.
22．已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0.
(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
证明：∵Δ＝(k＋2)2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
(2)若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
解：解方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，得x1＝k，x2＝2.
∵△ABC为等腰三角形，
∴当a为腰时，等腰三角形三边长为1，1，2，
此时不能构成三角形；
当a为底时，b＝c＝2，此时△ABC的周长为5.
23．(中考·乐山)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根．
(1)求a的最大整数值；
解：∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实数根，
∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，
解得a≤且a≠6.
∴a的最大整数值为7.
(2)当a取最大整数值时，求出该方程的根．
解：当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0，
∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.
∴x＝＝4±，
即x1＝4＋，x2＝4－.
24.如下表,方程1、方程2、方程3……是按照一定规律排列的一列方程:
序号 方程 方程的解
1 x2＋x－2＝0 x1＝－2 x2＝1
2 x2＋2x－8＝0 x1＝－4 x2＝2
3 x2＋3x－18＝0 x1＝　－6　 x2＝　3　
… … … …
(1)将方程3的解填在表中的空白处;
(2)请写出这列方程中的第10个方程,并用求根公式求其解.
解:(2)方程规律:x2＋1×x－12×2＝0,
x2＋2×x－22×2＝0,
x2＋3×x－32×2＝0,
所以第10个方程为x2＋10x－102×2＝0,
即x2＋10x－200＝0,
解得x＝,即x1＝－20,x2＝10.