江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

江苏省苏州市吴江区2020-2021学年高二下学期数学期中考试试卷（解析版）
一、单选题（共9题；共45分）
1.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内的极大值有（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
2.已知函数 的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?1
3.若函数 的极大值点与极大值分别为a ， b ， 则（??? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
4.设函数 ，则 是（??? ）
A.?奇函数，且在 上是增函数??????????????????????????B.?奇函数，且在 上是减函数
C.?偶函数，且在 上是增函数??????????????????????????D.?偶函数，且在 上是减函数
5.已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有 ，则关于x的不等式 的解集为（??? ）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
6.某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选甲?乙?丙?丁?戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲?乙?丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（??? ）
A.?24种????????????????????????????????????B.?16种????????????????????????????????????C.?18种????????????????????????????????????D.?20种
7.已知 ，则 （??? ）
A.?-10????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?-45????????????????????????????????????????D.?45
8.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为 ，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现： ，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x ， 剩下的三个数字构成另一个三位数y ， ，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（??? ）
A.?214??????????????????????????????????????B.?215??????????????????????????????????????C.?248??????????????????????????????????????D.?284
9.我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》?《九章算术》?《孙子算经》?《五曹算经》?《夏侯阳算经》?《孙丘建算经》?《海岛算经》?《五经算术》?《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》?《九章算术》?《孙子算经》?《五经算术》?《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（??? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
二、多选题（共3题；共15分）
10.函数 的定义域为R ， 它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（??? ）
A.?在 上函数 为增函数???????????????????????????B.?在 上函数 为增函数
C.?在 上函数 有极大值????????????????????????????D.? 是函数 在区间 上的极小值点
11.定义在R上的函数 ，其导函数 满足 ，则下列不等关系正确的是（??? ）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
12.已知 的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（??? ）
A.?二项展开式中各项二项式系数之和为 ??????????????B.?二项展开式中二项式系数最大的项为
C.?二项展开式中无常数项???????????????????????????????????????D.?二项展开式中系数最大的项为
三、填空题（共4题；共20分）
13.已知函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是________．
14.在 的展开式中，若 ，则 ________.
15.酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm，上口宽6 cm，水以 的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为________.
16.若函数 的导函数 存在导数，记 的导数为 ．如果对 x (a，b)，都有 ，则 有如下性质： ，其中n ， ， ，…， (a，b)．若 ，则 ＝________；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
四、解答题（共6题；共70分）
17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”.
问题：已知二项式 ，若___________(填写条件前的序号)，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 中含 项的系数.
18.用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
19.已知 展开式的二项式系数和为512，且
（1）求 的值；
（2）求 被6整除的余数.
20.已知 .
（1）当 时，求 在 上的最大值；
（2）当 时，讨论 的单调性.
21.已知函数 .
（1）求 过 的切线方程；
（2）若 在 上的最大值为 ，求证： .
22.已知函数 (其中e为自然对数的底数).
（1）求函数 的极值；
（2）当 时，若 恒成立，求实数b的取值范围.
答案解析部分
一、单选题（共9题；共45分）
1.已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在 内的极大值有（??? ）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
【答案】 B
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】根据导数的图象，可知导数有4个零点，从左向右分析，
第一个零点与第四个零点左侧为正右侧为负，所以函数 先增后减，故第一个零点与第四个零点处函数 有极大值，第二个零点左侧为负右侧为正，故函数 先减后增，第二个零点处函数 有极小值，第三个零点两侧，导数值同为正，故该点不是极值点，
故答案为：B

【分析】 根据导函数的图象判断导数零点两侧的符号(先正后负)，即可求解.
2.已知函数 的图象在(1，f（1）)处的切线经过坐标原点，则函数y=f(x)的最小值为（??? ）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?1
【答案】 C
【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】函数 ，则 ，
且 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，（ ），
，
令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 。
故答案为：C

【分析】利用求导的方法切成函数在切点处的切线的斜率，再利用切点的横坐标求出切点的纵坐标，进而求出切点的坐标，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，再利用切线经过坐标原点，结合代入法，进而求出a的值，从而求出函数的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性求出函数的最小值。
3.若函数 的极大值点与极大值分别为a ， b ， 则（??? ）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
【答案】 C
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】∵ ，
∴ 或 ，
， 或 ，
∴ 在 单调递增，在 单调递减，
∴ 为极大值点，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C.

【分析】 先对函数求导，然后结合导数分析函数的单调性，进而可求函数的极大值与极大值点，从而可求.
4.设函数 ，则 是（??? ）
A.?奇函数，且在 上是增函数??????????????????????????B.?奇函数，且在 上是减函数
C.?偶函数，且在 上是增函数??????????????????????????D.?偶函数，且在 上是减函数
【答案】 A
【考点】复合函数的单调性，函数奇偶性的判断，奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】 ? 的定义域为
而 ,所以 为奇函数；
在 上， ，
因为 在 上为增函数 在 上为减函数，
所以 在 上是增函数
故答案为：A.

【分析】 根据题意先检验f(-x)与f(x)的关系，然后结合复合函数单调性及奇偶性的定义进行检验即可判断.
5.已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有 ，则关于x的不等式 的解集为（??? ）
A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
【答案】 B
【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，函数 满足 ，
令 ，则
函数 是定义域 内的单调递减函数，
由于 ，关于 的不等式 可化为 ，
即 ，所以 且 ，解得 ，
不等式 的解集为 .
故答案为：B

【分析】 根据题意令 ， 求导，结合题意可得g(x)在上单调递减；而得到从而可得答案.
6.某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选甲?乙?丙?丁?戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲?乙?丙三人去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”；对丙说“甲比你好”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（??? ）
A.?24种????????????????????????????????????B.?16种????????????????????????????????????C.?18种????????????????????????????????????D.?20种
【答案】 C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意可得，第1名不可能是甲?乙?丙，只能是丁或戊；第5名不可能是甲乙，只能是丙或丁或戊；因此可分如下三种情况：
若甲是第2名，先考虑乙，则有 种情况，再考虑丙，则有 种情况，最后排丁?戊，则有 种情况，即此时所包含的情况有： 种；
若甲是第3名，当乙是第4名时，丙只能是第5名，只需考虑丁?戊的排列，此时有 种情况；当乙是第2名时，丙可以有 种选择，最后排丁?戊，则有 种情况；此时包含的情况共有 种；
若甲是第4名，则丙是第5名，而乙有 种选择，最后排丁?戊，则有 种情况，；此时所包含的情况有 ；
综上，从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有 种.
故答案为：C.

【分析】 根据题意可得甲乙不是最后一名或第一名，根据排列组合以及分类计数原理计算出结果即可。
7.已知 ，则 （??? ）
A.?-10????????????????????????????????????????B.?10????????????????????????????????????????C.?-45????????????????????????????????????????D.?45
【答案】 D
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】
， .
故答案为：D

【分析】利用二项式的通项公式，结合已知条件代入数值计算出结果即可。
8.埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为 ，…，所以这组数字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现： ，…，若从这组神秘数字中任选3个数字构成一个三位数x ， 剩下的三个数字构成另一个三位数y ， ，将所有可能的三位数x按从小到大依次排序，则第12个三位数x为（??? ）
A.?214??????????????????????????????????????B.?215??????????????????????????????????????C.?248??????????????????????????????????????D.?284
【答案】 C
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】∵1,4,7,2,8,5,这六个数中，1+8=9，2+7=9，4+5=9，共3组
要使六个数字中任意取出3个数字构成一个三位数 ，剩下的三个数字构成另一个三位数 ，且 ，所以 从小到大排列为： ，故第12个三位数x为248.
故答案为：C

【分析】 根据题意，在数字142857中，两个数字之和为9的组合有3个，据此依次分析数字x、y的百位、十位、个位数字的情况，即可求出.
9.我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》?《九章算术》?《孙子算经》?《五曹算经》?《夏侯阳算经》?《孙丘建算经》?《海岛算经》?《五经算术》?《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》?《九章算术》?《孙子算经》?《五经算术》?《级术》和《纠古算经》6本书分给4名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（??? ）
A.???????????B.???????????C.???????????D.?
【答案】 B
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】根据题意，第一类，从6本书中取出3本视作一本书，连同剩余的3本分配给4个人，共有 种分法，
第二类，从6本书中取出2本书，再从剩余4本书中取出2本书，平均分堆后连同剩余2本，视作4本书分配给4个人，共有 ，
由分类加法计数原理可得，不同的分配方法的种数为 ，
故答案为：B

【分析】根据题意6本分给4名数学爱好者，每人至少一本，则把6本书为6本书为(3,1,11)和(2,2,1,1)，再分配给4名数学爱好者， 再由概率的定义代入数值计算出结果即可。
二、多选题（共3题；共15分）
10.函数 的定义域为R ， 它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（??? ）
A.?在 上函数 为增函数???????????????????????????B.?在 上函数 为增函数
C.?在 上函数 有极大值????????????????????????????D.? 是函数 在区间 上的极小值点
【答案】 A,C
【考点】函数的图象，利用导数研究函数的单调性，函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】由图象可知 在区间 和 上 ， 递增；在区间 上 ， 递减.
所以A选项正确，B选项错误.
在区间 上， 有极大值为 ，C选项正确.
在区间 上， 是 的极小值点，D选项错误.
故答案为：AC

【分析】由已知条件，结合图象即可得出导函数的性质，由此得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出函数的极值，对选项逐一判断即可得出答案。
11.定义在R上的函数 ，其导函数 满足 ，则下列不等关系正确的是（??? ）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】 A,B,D
【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令 ，则 ，
， 在 上恒成立，
在 上单调递增，
对A， ，A符合题意；
对B， ，B符合题意；
对C， ，C不符合题意；
对D， ，D符合题意；
故答案为：ABD.

【分析】根据题意构造函数 ， 并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性对选项逐一判断即可得出答案。
12.已知 的二项展开式中系数之和为729，则下列结论正确的是（??? ）
A.?二项展开式中各项二项式系数之和为 ??????????????B.?二项展开式中二项式系数最大的项为
C.?二项展开式中无常数项???????????????????????????????????????D.?二项展开式中系数最大的项为
【答案】 A,B
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】令 ，则 二项展开式系数和为 ，解得： ；
展开式的通项公式为 ；
对于A，由 知其二项式系数和为 ，A符合题意；
对于B，当 时，二项式系数最大，则所求项为 ，B符合题意；
对于C，令 ，解得： ，则展开式第5项为常数项，C不符合题意；
对于D，分别令 ，可得展开式为 ，由此可确定系数最大的项为 ，D不符合题意.
故答案为：AB.

【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，再结合二项式系数的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题（共4题；共20分）
13.已知函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性，利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】函数 与 的图像上存在关于原点对称的对称点，
∴方程 ，即 在 上有解，
∴方程 在 有解．
设 ， ，且 为 的切线，
设切点为 ，
由 得 ，
则有 ，解得 ．
由图象可得，要使直线 和 的图象有公共点，
则 ，解得 ．
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为 ．

【分析】 由对称性求函数解析式得：设y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于原点对称，由 ， 得 ， 利用导数研究函数的值域得：方程 在 有解，设对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再数形结合法即可得出 ， 从而求出a的取值范围。
14.在 的展开式中，若 ，则 ________.
【答案】 208
【考点】二项式系数的性质
【解析】【解答】 的展开式中含x的最高次项为 ，
的展开式中含x的最高次项为 ，
所以 展开式中含x的最高次项为 ，
所以 ，解得 ，
由已知得展开式中x的最高次为9，所以 ， ；
的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含 的项为 ，
所以 ，
的展开式中含 的项为 ， 的展开式中含 的项为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： 208.

【分析】 由题意结合二项式项的性质先求出n的值，由此可得m的值，再利用二项展开式的通项公式，求得的值即可.
15.酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深9cm，上口宽6 cm，水以 的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为________.
【答案】
【考点】变化的快慢与变化率，棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意，设 时刻水面高为 ，水面圆半径为 , 则 可得
此时水的体积为
又由题设条件知，此时的水量为20t
故有 故有
当水深为3cm，对应的时间为 ，则

所以当水深为3 cm时，水升高的瞬时变化率为
故答案为：

【分析】根据题意作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即可.
16.若函数 的导函数 存在导数，记 的导数为 ．如果对 x (a，b)，都有 ，则 有如下性质： ，其中n ， ， ，…， (a，b)．若 ，则 ＝________；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．
【答案】 ；
【考点】正弦函数的图象，正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】解：设 ， ，则 ，则 ， ，
有如下性质： ．
则 ，
的最大值为 ，
故答案为： ， ．
【分析】构造函数 ， ，求导，则 ，由正弦函数的图象可知 成立，根据函数的性质 ，即可求得 的最大值．
四、解答题（共6题；共70分）
17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”.
问题：已知二项式 ，若___________(填写条件前的序号)，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 中含 项的系数.
【答案】 （1）若选条件①时，令 ，可得展开式所有项的系数和为 ，而二项式系数和为 ，
所以 ，解得 ，
若选条件②时，由前3项的二项式系数和为22可得 ，解得 .
设展开式中系数最大的项为第 项，则满足 ，
即 ，解得 ，又 ,
所以 ，
即展开式中系数最大的项为 ，
（2）在 中，含 项的系数为
.
【考点】组合及组合数公式，二项式系数的性质
【解析】【分析】 当选填条件①时，由题意列式求得n=6，当选填条件②时，由前3项的二项式系数和为22求得n=6.
(1)把n=6代入 ， 可知第四项的二项式系数最大，由二项展开式的通项得答案；
(2)把n=6代入 ， 由第一个因式的常数项乘以第二个因式含含×2项的系数，由第二个因式的常数项乘以第一个因式含含×2项的系数，第一个因式含有x项的系数乘以第二个因式含有x项的系数，最后求和得出答案.
18.用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？
（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？
【答案】 （1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有 种），于是有 个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个．
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的四位数有 个；个位数上的数字是5的五位数有 个．故满足条件的五位数的个数共有 个．
（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个；
第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有 个；
第三类：形如124□，125□，共有 个；
第四类：形如123□，共有 个
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有： 个．
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【分析】 (1)根据题意，分情况讨论；当0在个位，2在个位，4在个位，再由分类计数原理可得；
(2)由题意看得出：5的倍数则个位数字为0或5的数，再根据分类计数原理可得；
(2)根据题意，分4种情况讨论，结合分类计数原理可得.
19.已知 展开式的二项式系数和为512，且
（1）求 的值；
（2）求 被6整除的余数.
【答案】 （1）因为 展开式的二项式系数和为 ，
所以 ，
故 .

令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
即 ，
.
（2）

显然，展开式除了最后2项外，其余各项都能被6整除,
故展开式被6整出的余数，即 被6整除的余数为5.
【考点】二项式系数的性质，整除的概念和性质
【解析】【分析】 (1)由题意利用二项式系数的性质，求得n的值，再分别令x=1，x=2，计算出要求式子的值即可.
(2)根据题意把按照二项式定理展开，可得它除以6的余数.
20.已知 .
（1）当 时，求 在 上的最大值；
（2）当 时，讨论 的单调性.
【答案】 （1）解：当 时，

由 ，得 ，当 时解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以最大值在端点处取得，
又
所以 在 上的最大值为 .
（2）当 时，

①当 时 ，得 ，得
在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时， ，
方程 的两根为 且
所以 ，得 ，得
即 在 上单调递增，在 上单调递减.
③当 时，
ⅰ.当 ，即 时， 在 上单调递增.
ⅱ. ，即 时
方程 的两根为 且
所以 ，得 或 ，所以 ，得
即 在 上单调递增，在 上单调递减
综上：
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增
【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)由已知条件把a、b、c的值代入求出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，利用函数的单调性即可求出最值。
(2)首先把b与c的值代入由此得出函数的解析式，再对其求导结合导函数的性质，对a分情况讨论即可得出函数的单调性。
21.已知函数 .
（1）求 过 的切线方程；
（2）若 在 上的最大值为 ，求证： .
【答案】 （1）解：设切点为 ，
∵ ． ， ，
∴切线方程为 ，
∵切线过点 ， ，解得： ，
∴切线方程为 ；
（2）证明： ， ， ．
．
， ， ．
函数 在 ， 上单调递增，
又 ， （1） ，
因此函数 在 ， 上存在唯一零点 ，并且 ， ， （可得 ．
当 当
时，函数 取得极大值即最大值
， ．
而函数 在 上单调递减．
，
而 ， ，
．
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)由已知条件首先对函数求导，再把点的坐标代入求出切线的斜率，结合点斜式即可求出直线的方程。
(2)根据题意对函数求导得出 ， 构造函数由该函数的单调性即可求出零点的唯一性，再结合整理得出当时，函数g(x)的最值情况，再结合函数的单调性得出 ， 由此得到。
22.已知函数 (其中e为自然对数的底数).
（1）求函数 的极值；
（2）当 时，若 恒成立，求实数b的取值范围.
【答案】 （1）由 得 , 当 时， 无极值；
当 时，令 ,得 ,
当 时 ,当 时 ,
函数 在 上单调递减;函数 在 单调递增.
∴ 函数 存在极小值.其极小值为 ,无极大值.
（2）由题意有 恒成立,即 恒成立,
设 ,
则 ,
设 ,下面证明 有唯一解.
易知 单调递增,且 ,所以若 有零点x,则 ,
令 ,可得 , （※）
注意到 ,
所以方程（※）等价于 ,
又由（1）可知,当 时, 在 上单调递增,
又当 时, ,
所以方程 等价于方程 ,
设函数 ,则 单调递增,
又 , ,所以存在 ,使得
,即方程 有唯一解 ,即 ,
因此方程 有唯一解 ,
所以 有唯一解 .
且当 时, , 单调递减;
当 时, , 单调递增;
所以 的最小值为 ,
所以 .
【考点】函数的最值及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据题意首先对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，再由函数的单调性得出函数的极值情况。
(2)由已知条件 恒成立,即 恒成立,构造函数对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的零点，结合题意
令 ,可得 , 由函数f(x)的单调性 所以方程 等价于方程 , 设函数结合该函数的单调性以及方程根的情况即可得出 有唯一解 再结合函数的单调性.即可求出函数g(x)的最小值。