2020－2021学年北师大版八年级数学下册3.3 中心对称同步提优练习（Word版，附答案）

3　中心对称
1　中心对称图形与中心对称
1．2020·宜兴一模
在下列四个图形中，是中心对称图形的是(　　)
图3－3－1
2．2020·北京延庆区模拟
下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是(　　)
图3－3－2
2　与中心对称有关的作图
3．图3－3－3是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂上灰色，就可以使图中的灰色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是________．
图3－3－3
4．2020·江门新会区期末
如图3－3－4，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，点A的对应点为点A′，请你用尺规作图的方法，找出对称中心O，并作出△A′B′C′.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)．
图3－3－4
5．如图3－3－5，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
图3－3－5
3　中心对称的性质
6．下列命题中正确的个数是(　　)
(1)成中心对称的两个三角形是全等三角形；
(2)两个全等三角形必定关于某一点成中心对称；
(3)若两个三角形对应点的连线都经过同一点，则这两个三角形关于该点成中心对称；
(4)成中心对称的两个三角形，对应点的连线都经过对称中心．
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图3－3－6，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是________．
图3－3－6
8．如图3－3－7所示，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则线段BC与EF的关系是____________．
图3－3－7
9．在如图3－3－8所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称……如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是________．
图3－3－8
图3－3－9
10．如图3－3－9，正三角形ABC与正三角形A1B1C1关于某点成中心对称，已知A，A1，B三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
(1)对称中心的坐标是________；
(2)顶点C的坐标是________，顶点C1的坐标是________．
4　关于原点中心对称
11．2019·安顺
在平面直角坐标系中，点P(－3，m2＋1)关于原点的对称点在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
12．(1)若点P(2，n)与点Q(m，－3)关于原点对称，则(m＋n)2021＝________；
(2)点M(3，－5)绕原点旋转180°后到达的位置是________．
13．如图3－3－10所示，AB∥CD∥x轴，且AB＝CD＝2，点A的坐标为(－1，1)，点C的坐标为(1，－1)．
(1)写出点B，D的坐标；
(2)你发现点A与点C，点B与点D的坐标之间有何特征？
图3－3－10
14．2020·安徽一模
如图3－3－11，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B都在格点上(两条网格线的交点叫格点)．
(1)将线段AB平移到A1B1的位置，使得点B和点B1关于原点对称，请画出平移后的线段A1B1；
(2)在坐标系中找一个格点C(任找一个即可)，使得∠A1CB1＝45°，标出点C的位置，此时S△A1CB1＝________．
图3－3－11
15．数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图3－3－12?，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使得DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
(2)解决问题：受到(1)的启发，请你解决下列问题：如图?，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
①求证：BE＋CF＞EF；
②若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的数量关系，并加以证明．
图3－3－12
详解
1.B　2.D　3.3
4.解:如图,点O和△A'B'C'为所作.
5.解:(1)如图所示,△DCE即为所求(答案不唯一).
(2)如图所示,△ACD即为所求(答案不唯一).
(3)如图所示,△ECD即为所求.
6.B　[解析]
分别判断各命题的真假,再做选择.(1)(4)正确.
7.　8.平行且相等
9.(4n+1,)　[解析]
因为△OA1B1是边长为2的等边三角形,所以三角形的高为,即点A1的坐标为(1,).根据中心对称的性质可知所有的三角形都是全等的,即点A1,A3,A5,…,A2n+1的纵坐标都是.因为点A3的横坐标为5,点A5的横坐标为9,所以可知点An的横坐标为2n-1,所以点A2n+1的横坐标为2(2n+1)-1=4n+1,故点A2n+1的坐标为(4n+1,).
10.(1)(0,2.5)　(2)(-,3)　(,2)
11.D
12.(1)1　(2)(-3,5)
[解析]
(1)因为点P(2,n)与点Q(m,-3)关于原点对称,所以m=-2,n=3,则(m+n)2021=(-2+3)2021=1.
(2)因为点M(3,-5)绕原点旋转180°后到达的位置与原来的点关于原点对称,所以到达的位置是(-3,5).
13.解:(1)∵AB∥CD∥x轴,点A的坐标为(-1,1),点C的坐标为(1,-1),
∴点B,D的纵坐标分别是1,-1.
∵AB=CD=2,∴B(1,1),D(-1,-1).
(2)点A,C的横、纵坐标分别互为相反数,点B,D的横、纵坐标分别互为相反数.
14.解:(1)如图,线段A1B1为所作.
(2)答案不唯一,如图,点C为所作,
此时,=××=5.
15.解:(2)①证明:如图,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD,连接EG),可得CF=BG.
∵DG=DF,DE⊥DF,
∴EF=EG.
在△BEG中,BE+BG>EG,
则BE+CF>EF.
②BE2+CF2=EF2.
证明:∵∠A=90°,
∴∠EBC+∠FCB=90°.
在△CFD和△BGD中,∵CD=BD,∠CDF=∠BDG,DF=DG,
∴△CFD≌△BGD,
∴∠FCD=∠GBD,
∴∠EBC+∠GBD=90°,
即∠EBG=90°.
在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2.
由①知CF=BG,EF=EG,
∴BE2+CF2=EF2.