2020-2021学年北师大版八年级数学下册6.1-6.2 平行四边形的性质、判定同步练习 （word解析版）

6.2.1平行四边形的性质、判定同步练习
一．平行四边形的性质（共15小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点O（0，0），A（3，0），B（3，2），则其第四个顶点C的坐标不可能是（　　）
A．（0，2）
B．（6，2）
C．（0，﹣2）
D．（4，2）
2．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝3cm，AF＝4cm．若?ABCD的周长为56cm，则BC的长为（　　）
A．14cm
B．16cm
C．28cm
D．32cm
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分线AE交CD于点E，连接BE，若∠BAD＝∠BEC，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．15
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB，且AH＝2HD，若S△HDP＝1，则S?ABCD＝（　　）
A．9
B．
C．12
D．18
第2题
第3题
第4题
5．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S平行四边形ABCD＝AD?BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，AD＝4，作∠ABC的平分线交AD的延长线于点E．交CD于点F．若G，O分别是EF．
AC的中点，则GO的长为　
　．
第5题
第6题
第7题
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC交AD于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，交BE于点G，连接DG，则GD的长为　
　．
9．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为　
　．
10．如图所示，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DAC＝∠EAC，AE＝4，AO＝3，则S△AEC的面积为　
　．
第8题
第9题
第10题
11．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　
　．
12．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
13．如图1，在?ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若?ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
14．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，直线EF与BA、DC的延长线分别交于点G、H．
求证：AG＝CH．
15．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
二．平行四边形的判定（共10小题）
16．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
17．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（　　）
①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CD
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
18．如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（　　）
A．∠ADE＝∠E
B．∠B＝∠E
C．DE＝BC
D．BD＝CE
19．如图，等边△ABC的边长为6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2
B．2或3
C．2或4
D．2或6
20．如图，BD是?ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是　
　．
21．如图，B（6，4）在函数y＝x+1的图象上，A（5，2），点C在x轴上，点D在函数y＝x+1上，以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D点的坐标　
　．
第19题
第20题
第21题
22．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．
求证：四边形ABDF是平行四边形．
24．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA＝FC．
求证：四边形ADCE是平行四边形；
25．如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形ADE．
（1）求∠CAE的度数．
（2）取AB的中点F，连接CF、EF．试证明四边形CDEF是平行四边形．
6.2.1平行四边形的性质、判定（答案解析）
一．平行四边形的性质（共15小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，平行四边形的三个顶点O（0，0），A（3，0），B（3，2），则其第四个顶点C的坐标不可能是（　　）
A．（0，2）
B．（6，2）
C．（0，﹣2）
D．（4，2）
【解答】解：∵O（0，0）、A（3，0），
∴OA＝3，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，BC＝OA＝3，
∵B（3，2），
∴点C的坐标为（3﹣3，2），
即C（0，2）；
同理可得：C（6，2）或（0，﹣2）；
所以第四个顶点C的坐标（0，2）或（6，2）或（0，﹣2）．不可能是（4，2）．
故选：D．
2．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE＝3cm，AF＝4cm．若?ABCD的周长为56cm，则BC的长为（　　）
A．14cm
B．16cm
C．28cm
D．32cm
【解答】解：∵?ABCD的周长为56cm，
∴BC+CD＝28cm，
∵?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴S?ABCD＝BC?AE＝CD?AF
∵AE＝3cm，AF＝4cm，
∴3BC＝4CD，
∴BC＝16cm，CD＝12cm，
故选：B．
3．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分线AE交CD于点E，连接BE，若∠BAD＝∠BEC，则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．15
【解答】解：过点B作BF⊥CD于F，如图所示：
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠BCE，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝2，
∵∠BAD＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴CF＝EF＝CE＝1，
BF＝＝＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝BF?CD＝2×5＝10，
故选：C．
4．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，过对角线BD上任意一点P作EF∥BC，GH∥AB，且AH＝2HD，若S△HDP＝1，则S?ABCD＝（　　）
A．9
B．
C．12
D．18
【解答】解：由题意可得，
四边形HPFD是平行四边形，四边形AEPH、四边形PGCF均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形EBGP是平行四边形，
∵S△HDP＝1，
∴S?HPDF＝2，
∵AH＝2HD，
∴S?AEPH＝S?PGFC＝4，
∴S?EBGP＝8，
∴S?ABCD＝2+4+4+8＝18，
故选：D．
5．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG；⑤BH2+BG2＝AG2．其中正确的结论有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC，
∴△DEB是等腰直角三角形，
∴BE＝DE，
∵BF⊥CD，
∴∠FHD+∠FDH＝90°，
∵∠C+∠FDH＝90°，
∴∠C＝∠FHD，
∵∠C＝∠A，∠FHD＝∠BHE，
∴∠A＝∠BHE，故②正确；
在△BEH和△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC（AAS），
∴EH＝EC，
∵H不是DE的中点，
∴BE＝DE≠2EC，故①错误；
∵AB＝CD，BH＝CD，
∴AB＝BH，故③正确；
∵∠BHD＝90°+∠HBE，∠BDG＝90°+∠BDE，
∵∠BDE＞∠HBE，
∴∠BDG＞∠BHD，故④错误；
∵BF⊥CD，AB∥CD，
∴BF⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∴AB2+BG2＝AG2，
∵AB＝BH，
∴BH2+BG2＝AG2，故⑤正确．
∴其中正确的结论有②③⑤，共3个．
故选：C．
6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，∠BCD＝60°，AD＝AB，连接OE．下列结论：①S平行四边形ABCD＝AD?BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④OE垂直平分BD．其中正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE＝AB，
∴E是AB的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠AED＝30°，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，
∴S?ABCD＝AD?BD，故①正确；
∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，
∴∠CDB＝∠BDE，
∴DB平分∠CDE，故②正确；
∵Rt△AOD中，AO＞AD，
∴AO＞DE，故③错误；
∵O是BD的中点，E是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AD，
∵∠ADB＝90°，
∴∠EOB＝90°，
∴EO⊥DB，
∴OE垂直平分BD．故④正确．
故选：C．
7．如图，在?ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，AD＝4，作∠ABC的平分线交AD的延长线于点E．交CD于点F．若G，O分别是EF．
AC的中点，则GO的长为　　．
【解答】解：如图，连接BD，DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，∠DCB＝∠DAB＝60°，AO＝CO，BO＝DO，
∴∠EDC＝∠DAB＝60°，∠ABF＝∠CFB，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝BC＝4，
∴DF＝2，
∵AD∥BC，
∴∠E＝∠CBF＝∠BFC＝∠DFE，
∴DE＝DF＝2，
∵点G是EF的中点，
∴DG⊥EF，∠GDF＝30°，
∴GF＝1，DG＝GF＝，
∵CF＝BC＝4，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BF＝BC＝4，
∴GB＝5，
∴DB＝＝＝2，
∵∠DGB＝90°，BO＝DO，
∴GO＝DB＝，
故答案为：．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC交AD于点E，AF平分∠BAD交BC于点F，交BE于点G，连接DG，则GD的长为　　．
【解答】解：过点G作GH⊥AD于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠AFB＝60°，
∴△ABF为等边三角形，AB＝AF＝8，
∵BE平分∠ABC，
∴AG＝GF＝4，
又∵∠AHG＝90°，
∴∠AGH＝30°，
∴AH＝AG＝2，GH＝2，
∴DH＝AD﹣AH＝10﹣2＝8，
∴DG＝＝＝2，
故答案为：2．
9．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为　2　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．
∴∠AFB＝∠FBC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC．
∴∠AFB＝∠ABF．
∴AF＝AB＝6．
同理可得DE＝DC＝6．
∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．
故答案为：2．
10．如图所示，在?ABCD中，AC与BD相交于点O，若∠DAC＝∠EAC，AE＝4，AO＝3，则S△AEC的面积为　3　．
【解答】解：连接CO，
∵∠四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAC＝∠BCA，AO＝CO，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝CE，
∴EO⊥AC，
∵AE＝4，AO＝3，
∴OE＝＝＝，
∴S△AEC＝AC?OE＝×6×＝3．
故答案为：3．
11．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是　S1＝S2　．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．
故答案为：S1＝S2．
12．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ED，OF＝BF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
13．如图1，在?ABCD中，∠D＝45°，E为BC上一点，连接AC，AE．
（1）若?ABCD中BC边上的高为2，求AB的长．
（2）若AB＝2，AE＝4，求BE的长．
【解答】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，
∴AH＝2，
∵平行四边形ABCD中，∠D＝45°，
∴∠B＝∠D＝45°，
∴AB＝AH＝2；
（2）在?ABCD中，∠D＝∠B＝45°，AB＝2，
∴AH＝BH＝2，
∵AE＝4，
∴EH＝＝＝2，
∴BE＝BH﹣EH＝2﹣2；
14．如图，在?ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝BF，直线EF与BA、DC的延长线分别交于点G、H．
求证：AG＝CH．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠D＝∠B，CD＝AB，
∴∠H＝∠G，
在△DEH和△BFG中，
，
∴△DEH≌△BFG（AAS），
∴DH＝BG，
∴CH＝AG．
15．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．
（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
【解答】（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中，，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
二．平行四边形的判定（共10小题）
16．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
∵一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
17．下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（　　）
①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CD
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解答】解：①AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
②AB＝CD，AD＝BC；能判定四边形ABCD为平行四边形；
③∠A＝∠B，∠C＝∠D；不能判定四边形ABCD为平行四边形；
④AB＝AD，CB＝CD；不能判定四边形ABCD为平行四边形；
能判定四边形ABCD为平行四边形的个数有1个，
故选：A．
18．如图，在△ABC中，D，F分别是AB，AC上的点，且DF∥BC．点E是射线DF上一点，若再添加下列其中一个条件后，不能判定四边形DBCE为平行四边形的是（　　）
A．∠ADE＝∠E
B．∠B＝∠E
C．DE＝BC
D．BD＝CE
【解答】解：A、∵∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
又∵DF∥BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项A不符合题意；
B、∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠B＝∠E，
∴∠ADE＝∠E，
∴AB∥CE，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项B不符合题意；
C、∵DF∥BC，
∴DE∥BC，
又∵DE＝BC，
∴四边形DBCE为平行四边形；故选项C不符合题意；
D、由DF∥BC，BD＝CE，不能判定四边形DBCE为平行四边形；故选项D符合题意；
故选：D．
19．如图，等边△ABC的边长为6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当t＝（　　）s时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
A．1或2
B．2或3
C．2或4
D．2或6
【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，
即t＝6﹣2t，
解得：t＝2；
②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，
则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），
∵AG∥BC，
∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，
即t＝2t﹣6，
解得：t＝6；
综上可得：当t＝2s或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故选：D．
20．如图，BD是?ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是　BE＝DF（答案不唯一）　．
【解答】解：
如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴当BE＝DF时，可得OE＝OF，则四边形AECF为平行四边形，
∴可增加BE＝DF，
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
21．如图，B（6，4）在函数y＝x+1的图象上，A（5，2），点C在x轴上，点D在函数y＝x+1上，以A、B、C、D四个点为顶点构成平行四边形，写出所有满足条件的D点的坐标　（2，2）或
D（﹣6，﹣2）、D（10，6）　．
【解答】解：①当AB为该平行四边形一边时，则CD∥AB，对角线为AD、BC或AC、BD；
故可得：＝，＝或＝，＝，
故可得yC﹣yD＝yA﹣yB＝2或yD﹣yC＝yA﹣yB＝2，
∵yC＝0，
∴yD＝2或﹣2，
代入到y＝x+1中，可得D（2，2）或
D
（﹣6，﹣2）．
②当AB为该平行四边形的一条对角线时，则CD为另一条对角线；，
yC+yD＝yA+yB＝2+4，
∵yC＝0，
∴yD＝6，
代入到y＝x+1中，可得D（10，6）
综上，符合条件的D点坐标为D（2，2）或
D（﹣6，﹣2）、D（10，6）．
故答案为：（2，2）或
D（﹣6，﹣2）、D（10，6）．
22．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
在△ADF和△CBE中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS）；
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．如图，已知△ABC是等边三角形，E为AC上一点，连接BE．将AC绕点E旋转，使点C落在BC上的点D处，点A落在BC上方的点F处，连接AF．
求证：四边形ABDF是平行四边形．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°；
∵将AC绕点E旋转
∴ED＝CE，EF＝AE
∴△EDC是等边三角形，
∴DE＝CD＝CE，∠DCE＝∠EDC＝60°，
∴FD＝AC＝BC，
∴△ABC、△AEF、△DCE均为等边三角形，
∴∠CDE＝∠ABC＝∠EFA＝60°，
∴AB∥FD，BD∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
24．如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA＝FC．
求证：四边形ADCE是平行四边形；
【解答】证明：∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ECA，
在△DAF和△ECF中，
∴△DAF≌△ECF
（ASA），
∴CE＝AD，
∴四边形ADCE是平行四边形；
25．如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形ADE．
（1）求∠CAE的度数．
（2）取AB的中点F，连接CF、EF．试证明四边形CDEF是平行四边形．
【解答】解：（1）∵△ABC与△ADE为等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°
∵D是BC的中点，
∴∠CAD＝∠DAB＝×60°＝30°，
∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝30°+60°＝90°；
（2）在等边△ABC中，D、F分别是BC、AB的中点，
则AD＝CF，∠FCB＝×60°＝30°，AD⊥BC
在等边△ADE中，AD＝DE，∠ADE＝60°，
则CF＝AD＝DE，∠EDB＝90°﹣60°＝30°＝∠FCB，
故CF∥DE，
则四边形CDEF是平行四边形．
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