2020-2021学年八年级数学北师大版下册6.3三角形的中位线同步提升训练 （word解析版）

2021年北师大版八年级数学下册《6.3三角形的中位线》同步提升训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分∠ACB，交DE于点F，若AC＝4，则EF的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点D、E、F分别为△ABC各边的中点，若△ABC的周长为24cm，则△DEF的周长为（　　）
A．6cm B．12cm C．24cm D．48cm
3．如图，已知四边形ABCD中，E是CD边上的一个动点，F是AD边上的一个定点，G，H分别是EF，EB的中点，当点E在CD上从C向D逐渐移动时，下列结论成立的是（　　）
A．线段GH的长逐渐增大 B．线段GH的长逐渐减少
C．线段GH的长保持不变 D．线段GH的长先增大后减小
4．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，如果DE是△ABC的中位线，延长DE，交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
6．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（　　）
A．23° B．25° C．30° D．46°
7．如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
8．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图．在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长为（　　）
A．1 B． C． D．
10．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（　　）
A．4 B．2 C．3 D．4
11．如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于（　　）
A．12cm B．10cm C．7cm D．9cm
12．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（　　）
A．GF＝AD B．EF＝AC C．GE＝BC D．GE＝GF
13．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分别是AB、AC、BD的中点，若BC＝6，则△PMN的周长是（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
14．如图，AH是△ABC的高，D，E，F分别是三边中点，则DE与FH的大小关系是（　　）
A．DE＜FH B．DE＞FH C．DE＝FH D．不能确定
15．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（　　）
A．2 B．5 C．4 D．10
16．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝6，AC＝9，则MD的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．
17．如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC＝6，则MN的长度为（　　）
A． B．2 C． D．3
18．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD的各边中点依次连接而形成的四边形，若四边形ABCD的两条对角线相等，则四边形EFGH一定是（　　）
A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是　 　．
20．如图，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．当BC＝4，DE＝5，∠FMN＝45°时，则BE的长为　 　．
21．如图，顺次连接△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连接△CEF三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连接△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3，设△ABC的面积为64，则S1+S2+S3＝　 　．
22．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B于点F，连接A'E．当△A'EF为直角三角形时，AB的长为　 　．
23．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝10，D，E分别是AC和BC上的点，且CE＝2，CD＝4，连接BD，AE．G、H分别是AE和BD的中点，连接GH，则线段GH的长为　 　．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D，E分别是边CA，CB的中点，∠CAB的平分线与DE交于点F，则CF的长为　 　．
28．如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是　 　．
26．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为　 　．
27．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M、N分别为AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于P，Q，且∠FPQ＝∠FQP，若BD＝10，则AC＝　 　．
28．如图△ABC的两条中线AD与BE相交于G，EF∥AD，EF交BC于F，已知：AG＝4厘米，则DG＝　 　厘米；EF＝　 　厘米．
29．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．
求证：（1）∠BDF＝∠BAC；
（2）DF＝EH．
30．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．
31．如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．
（1）试说明：FG＝（AB+BC+AC）；
（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想；
（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是　 　．
32．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM．若AB＝13cm，BC＝10cm，DE＝5cm，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE∥BC，AE＝EC，
∴∠BCF＝∠EFC，
∵CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EF＝EC＝AC＝2，
故选：B．
2．解：∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，
∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF＝AC，DE＝BC，EF＝AC，
故△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（BC+AB+AC）＝24＝12（cm）．
故选：B．
3．解：连接BF，
∵G，H分别是EF，EB的中点，
∴GH是△EFB的中位线，
∴GH＝BF，
∵F是AD边上的一个定点，
∴BF的长是不变的，
∴当点E在CD上从C向D逐渐移动时，线段GH的长保持不变，故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝1.5，DE∥BC，EC＝AC＝2.5，
∴∠EFC＝∠FCM，
∵CF是∠ACM的平分线，
∴∠ECF＝∠FCM，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC＝2.5，
∴DF＝DE+EF＝1.5+2.5＝4，
故选：A．
5．解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
6．解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝BC，PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
故△EPF是等腰三角形．
∵∠PEF＝23°，
∴∠PEF＝∠PFE＝23°．
故选：A．
7．解：连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别是AD、AC的中点，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
当点H在MN上时，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故选：D．
8．解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DF∥BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故选：B．
9．解：延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作CN⊥AM于N，
∵DE平分△ABC的周长，
∴ME＝EB，又AD＝DB，
∴DE＝AM，DE∥AM，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝120°，
∵CM＝CA，
∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴AN＝AC?sin∠ACN＝，
∴AM＝，
∵BD＝DA，BE＝EM，
∴DE＝，
故选：B．
10．解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，
∴AB＝2DF＝6，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABF＝30°，
∴AF＝AB＝3，
∴BF＝＝＝3．
故选：C．
11．解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10（cm）．
故选：B．
12．解：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴，，，
故选项A，C正确，
∵AD＝BC，
∴GE＝GF，
故选项D正确，
∵EF不一定等于AG，
故选项B不正确；
故选：B．
13．解：∵P、M分别是AB、AC的中点，
∴PM是△ABC的中位线，
∴PM＝BC＝3，PM∥BC，
∴∠APM＝∠CBA＝70°，
同理可得，PN是△ABD的中位线，
∴PN＝AD＝3，PN∥AD，
∴∠BPN＝∠DAB＝50°，
∴∠MPN＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
又∵PM＝PN，
∴△PMN为等边三角形，
∴PM＝MN＝PN＝3，
∴△PMN的周长＝9，
故选：B．
14．解：∵D，E分别是BA，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝AC，
∵AH⊥BC，F为AC的中点，
∴FH＝AC，
∴DE＝FH，
故选：C．
15．解：过A作AH⊥BC于H，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵DE∥BC，
∴AE＝CE，
∴DE＝BC，
∵DF⊥BC，
∴DF∥AH，DF⊥DE，
∴BF＝HF，
∴DF＝AH，
∵△DFE的面积为1，
∴DE?DF＝1，
∴DE?DF＝2，
∴BC?AH＝2DE?2DF＝4×2＝8，
∴AB?AC＝8，
∵AB＝CE，
∴AB＝AE＝CE＝AC，
∴AB?2AB＝8，
∴AB＝2（负值舍去），
∴AC＝4，
∴BC＝＝2．
故选：A．
16．解：延长BD交CA的延长线于E，
∵AD为∠BAE的平分线，BD⊥AD，
∴∠EAD＝∠BAD，∠ADE＝∠ADB＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADB（ASA），
∴BD＝DE，AB＝AE＝6，
∴CE＝AC+AE＝9+6＝15，
又∵M为△ABC的边BC的中点，
∴DM是△BCE的中位线，
∴MD＝CE＝×15＝7.5．
故选：D．
17．解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，
∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，
在△BNA和△BNE中，，
∴△BNA≌△BNE（ASA），
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），
∴MN是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝17﹣BC＝17﹣6＝11，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝5，
∴MN＝DE＝．
故选：C．
18．解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，
∴EH＝AC，FG＝AC，
∴EH＝FG＝AC，
同理可得：EF＝GH＝BD，
∵AC＝BD，
∴EH＝FG＝EF＝GH，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．
19．解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DE＝CM，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝＝，
∴CM＝，
∴DE＝＝，
故答案为：．
20．解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，
∴MF，MN都是△ABE的中位线，
∴MF∥AE，MN∥BE，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∴∠AEB＝∠NMF＝45°，
又∵AB⊥AE，
∴∠ABE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∵BC⊥CD，DE⊥CD，
又∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EAD+∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAD，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△EAD（AAS），
∴BC＝AD＝4，CA＝DE＝5，
∴Rt△ABC中，AB＝＝，
∴等腰Rt△ABE中，BE＝＝，
故答案为：．
21．解：∵点D，E，F分别是△ABC三边的中点，
∴AD＝DB，DF＝BC＝BE，DE＝AC＝AF，
在△ADF和△DBE中，
，
∴△ADF≌△DBE（SSS），
同理可证，△ADF≌△DBE≌△EFD≌△FEC，
∴S1＝S△FEC＝S＝16，
同理可得，S2＝S1＝4，S3＝S2＝1，
∴S1+S2+S3＝16+4+1＝21，
故答案为：21．
22．解：当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF＝90°时，如图，
∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE＝∠MAN＝90°，
∴∠CDE＝∠A'EF，
∴∠ACB＝∠A'EC，
∴∠A'CB＝∠A'EC，
∴A'C＝A'E＝2，
在Rt△A'CB中，E是斜边BC的中点，
∴BC＝2AE'＝4，
由勾股定理可得AB2＝BC2﹣AC2，
∴AB＝；
②当∠A'FE＝90°时，如图，
∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2．
综上，AB的长为或2．
故答案为或2．
23．解：过A作AP∥BC，过B作BP∥AC，AP，BP交于P，
∴四边形ACBP是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ACBP是矩形，
∴PB＝AC＝10，AP＝BC＝6，∠APB＝90°，
连接CH并延长交 PB于M，连接CG并延长交AP于N，
∴∠BMH＝∠HCD，
∵H是BD的中点，
∴BH＝DH，
∵∠BHM＝∠DHC，
∴△CDH≌△MBH（AAS），
∴BM＝CD＝4，CH＝HM，
同理，AN＝CE＝2，CG＝GN，
∴PM＝6，PN＝4，
∴MN＝＝2，
∴HG＝MN＝，
方法二：求AB的中点，连接FG，FH，
∵G是AE的中点，
∴，
，
∵∠C＝90°，
∴∠GFH＝90°，
∴GH＝＝＝；
故答案为：．
24．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵点D，E分别是边CA，CB的中点，
∴DE∥AB，AD＝CD，
∴∠AFD＝∠FAG，
∵AF是∠CAB的平分线，
∴∠CAF＝∠GAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AD＝DF＝CD，
∴∠AFC＝90°，
延长CF交AB于G，
∵∠AFC＝∠AFG，AF＝AF，
∴△ACF≌△AGF（ASA），
∴AG＝AC＝3，CF＝GF，
∴BG＝2，
过G作GH⊥BC于H，
∴AC∥GH，
∴GH＝，BH＝，
∴CH＝4﹣＝，
∴CG＝＝＝，
∴CF＝CG＝，
故答案为：．
25．解：∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为：14
26．解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则
MN∥AB，MN＝AB．
∴∠CNM＝∠BAC．
∵MF∥AD，
∴∠DAC＝∠MFN．
∵AD是∠BAC的平分线，∠CNM＝∠MFN+∠FMN，
∴∠MFN＝∠FMN．
∴，
∴．
故答案为4．
27．解：设BC的中点是E，连接ME，NE．
∵M、N，E分别为AB，CD，BC的中点，
∴ME∥AC，ME＝AC，NE∥BD，NE＝BD＝5．
∴∠EMN＝∠FQP，∠ENM＝∠FPQ．
又∠FPQ＝∠FQP，
∴∠EMN＝∠ENM．
∴EM＝EN＝5．
∴AC＝10．
故答案为10．
28．解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，
∴2GD＝AG，
∵AG＝4厘米，
∴GD＝2厘米，
故答案为：2；
∵EF∥AD，E为AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴EF＝AD＝（AG+DG）＝×（4+2）＝3（厘米），
故答案为：3．
29．证明：（1）∵D、F分别是AB、BC边中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DF＝AC，
∴∠BDF＝∠BAC；
（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，
∴EH＝AC，
∴DF＝EH．
30．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，
∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，
∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，
∵AD＝BC，
∴PE＝PF，
∴∠PEF＝∠PFE，
∴∠AHF＝∠BGF．
31．解：（1）∵BD⊥AF，
∴∠AFB＝∠MFB＝90°，
在△ABF和△MBF中
，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB
∴AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG，
∴FG是△AMN的中位线
∴FG＝MN，
＝（MB+BC+CN），
＝（AB+BC+AC）．
（2）图（2）中，FG＝（AB+AC﹣BC）
解：如图（2），
延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，
∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB，AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG
∴FG＝MN，
＝（BM+CN﹣BC），
＝（AB+AC﹣BC），
答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）．
（3）解：FG＝（AC+BC﹣AB），
理由是：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，
∴∠BAF＝∠BMF，
在△ABF和△MBF中
∵，
∴△ABF≌△MBF（ASA）
∴MB＝AB，AF＝MF，
同理：CN＝AC，AG＝NG
∴FG＝MN，
＝（CN+BC﹣BM），
＝（AC+BC﹣AB）．
故答案为：FG＝（AC+BC﹣AB）．
32．解：连接MN．
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，且MN＝BC＝5cm；
过点A作AF⊥BC于F．则AF⊥MN，AF＝＝12cm（勾股定理）．
∵图中阴影部分的三个三角形的底长都是5cm，且高的和为12cm；
∴S阴影＝×5×12＝30cm2．