2021年中考数学几何探究题
类型1
新定义型探究问题
【方法点拨】在材料中,为问题的提出设置一种背景,如新定义,新定理,新运算.解决此类问题要仔细阅读题目所提供的新定义、新定理或新运算的内容,
通过对材料信息的分析、提炼,
再运用所分析、提炼的结果或题目所提供的运算法则解决新问题.
【例1】（2021?鄞州区模拟）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是
；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n?BG，求n的值；
（3）如图2，在Rt△ABC中，2，AB，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积．
【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析；
（2）①通过△ADF≌△CDG的性质推知DF＝DG；然后根据四边形DEFG是垂等四边形的性质知EG＝DF；最后由等量代换证得结论；
②如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，首先证明△BFG为等腰直角三角形，则∠GFB＝45°；然后证得△AEF为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：BC＝3AE，BG＝2AE．代入求值即可；
（3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，构造矩形CEDF．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC＝2，BC＝1．再由垂等四边形四边形ACBD的性质知．
分两种情况：当△ACB∽△BED时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果；
当△ACB∽△DEB时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB求得结果．
【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形．
故答案是：矩形；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C．
又∵AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG．
∵四边形DEFG是垂等四边形，
∴EG＝DF，
∴EG＝DG．
②解：如图1，过点G作GH⊥AD，垂足为H，
∴四边形CDHG为矩形，
∴CG＝DH．
由①知EG＝DG，
∴DH＝EH．
由题意知∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，AF＝CG，
∴AB﹣AF＝BC﹣CG，
即BF＝BG，
∴△BFG为等腰直角三角形，
∴∠GFB＝45°．
又∵∠EFG＝90°，
∴∠EFA＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝CG，
∴AE＝EH＝DH，
∴BC＝3AE，BG＝2AE．
∵BC＝n?BG，
∴．
（3）解：如图2，过点D作DF⊥AC，垂足为F，
∴四边形CEDF为矩形．
∵，
∴AC＝2BC．
在Rt△ABC中，，
根据勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，即（2BC）2+BC2＝5，
∴AC＝2，BC＝1．
∵四边形ACBD为垂等四边形，
∴．
第一种情况：
当△ACB∽△BED时，，
设DE＝x，则BE＝2x，
∴CE＝1+2x．
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，
即（1+2x）2+x2＝5，
解得，（舍去），
∴，，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB；
第二种情况：
当△ACB∽△DEB时，，
设BE＝y，则DE＝2y，
∴CE＝1+y．
在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE2+DE2＝CD2，
即（1+y）2+（2y）2＝5，
解得，（舍去），
∴，，
∴S四边形ACBD＝S△ACD+S△DCB．
综上所述，四边形ACBD的面积为或．
【点评】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大．
【变式1-1】（2021?河南模拟）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝
．
【分析】（1）先判断出∠DAG＝45°，进而判断出四边形ABCD是矩形，再求出AB：AD的值，即可得出结论；
（2）①如图b，先判断出四边形BQOP是矩形，进而得出，，再判断出Rt△QON∽Rt△POM，进而判断出．，即可得出结论；
②作M关于直线BC对称的点P，则△DMN的周长最小，判断出，得出AB＝CDa．进而得出BP＝BM＝AB﹣AM＝（1）a．即可得出结论；
③先求出BC＝AD＝2，再判断出点R是BC为直径的圆上，即可得出结论．
【解答】证明：（1）设正方形ABEF的边长为a，
∵AE是正方形ABEF的对角线，
∴∠DAG＝45°，
由折叠性质可知AG＝AB＝a，∠FDC＝∠ADC＝90°，
则四边形ABCD为矩形，
∴△ADG是等腰直角三角形．
∴AD＝DG，
∴AB：AD＝a：：1．
∴四边形ABCD为矩形；
（2）①解：如图b，作OP⊥AB，OQ⊥BC，垂足分别为P，Q．
∵四边形ABCD是矩形，∠B＝90°，
∴四边形BQOP是矩形．
∴∠POQ＝90°，OP∥BC，OQ∥AB．
∴，．
∵O为AC中点，
∴OPBC，OQAB．
∵∠MON＝90°，
∴∠QON＝∠POM．
∴Rt△QON∽Rt△POM．
∴．
∴tan∠OMN．
②解：如图c，作M关于直线BC对称的点P，连接DP交BC于点N，连接MN．
则△DMN的周长最小，
∵DC∥AP，
∴，
设AM＝AD＝a，则AB＝CDa．
∴BP＝BM＝AB﹣AM＝（1）a．
∴2，
③如备用图，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝2，
∴BC＝AD＝2，
∵BR⊥CM，
∴点R在以BC为直径的圆上，记BC的中点为I，
∴CIBC＝1，
∴DR最小1＝2
故答案为：2
【点评】此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键．
【变式1-2】（2020?邗江区二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图1，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（2）如图2，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．
（3）如图3，l1∥l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，线段A′C交l1于点D．当点B′落在直线l1上时，则的值为
．
【分析】（1）过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．由直角三角形的性质得出AD＝4，则可得出结论；
（2）设AE＝4k，BC＝5k，得出BC：CE＝2：1，则CE，BE，求出AB，可得出答案；
（3）如图3，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．证明△CGB′∽△CFD，推出DF：CF：CD＝GB′：CG：CB′＝4：3：5，设DF＝4k，CF＝3k，CD＝5k，再求出AD（用k表示）即可解决问题．
【解答】解：（1）结论：△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
理由：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于D．
∵AC＝8，∠C＝30°，
∴AD＝4，
∴
∴△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”．
（2）如图2，
∵A，D关于BC对称，
∴BE⊥AD，AE＝ED，
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴，
不妨设AE＝4k，BC＝5k，
∵C是△ABD的重心，
∴BC：CE＝2：1，
∴CE，BE，
∴AB，
∴．
（3）．
∵△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，
∴AE：BC＝4：5，
∵AE＝4，
∴BC＝5，
∵，
∴AB＝2，
∴BE2，
∴EC＝BE+BC＝7，
如图3，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥AC于F，过点B′作B′G⊥BC于G．
在Rt△CB′G中，∵∠CGB′＝90°，GB′＝4，CB′＝CB＝5，
∴CG3，
∵∠GCB′＝∠FCD＝α，∠CGB′＝∠CFD＝90°，
∴△CGB′∽△CFD，
∴DF：CF：CD＝GB′：CG：CB′＝4：3：5，
设DF＝4k，CF＝3k，CD＝5k，
∵△AEC∽△DFA，
∴，
∴，
解得AF＝7k，
∴ADk，
∴．
故答案为：．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，“准黄金”三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
【变式1-3】（2020?常州一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长．
【分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情况求出CD或AD，即可画出图形；
（2）先判断出∠A+∠ADB＝140°＝∠ADC，即可得出结论；
（3）先判断出△FEH∽△FHG，得出FH2＝FE?FG，再判断出EQFE，继而求出FG?FE＝24，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示．AB，BC＝2，∠ABC＝90°，AC＝5，
∵四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，
①当∠ACD＝90°时，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，
∴或，
∴或，
∴CD＝2.5或CD＝10，
同理：当∠CAD＝90°时，AD＝2.5或AD＝10，
如图中，D1，D2，D3，D4即为所求．
（2）如图2，当AB≠BD时，BD是四边形ABCD的“相似对角线”，当AB＝BD时，BD不是四边形ABCD的“相似对角线”，
理由如下：
∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°，
∴∠A+∠ADB＝140°，
∵∠ADC＝140°，
∴∠BDC+∠ADB＝140°
∴∠A＝∠BDC，
当AB≠BD时，△ABD∽△DBC，
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
当AB＝BD时，△ABD≌△DBC，
∴BD不是四边形ABCD的“相似对角线”；
（3）如图3，
∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△EFH与△HFG相似．
又∠EFH＝∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，
∴，
∴FH2＝FE?FG，
过点E作EQ⊥FG垂足为Q，
可得，
∵，
∴，
∴FG?FE＝24，
∴FH2＝FG?FE＝24，
∴．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．
类型2
变换探究问题
【方法点拨】几何变换型探究性问题是以几何知识和具体的几何图形为背景,
通过图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中要求对变换过程中伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究.解决这类问题,要善于发现全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形,或添辅助线构造全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形运用全等三角形来证明,运用勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来计算.
【例2】（2021?亭湖区一模）如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是
，∠CEB＝
°；
（2）拓展探究：
如图②，当∠ACB＝∠AED＝α时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC，AE，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
【分析】（1）证明△ACE≌△ABD，得出CE＝BD，∠AEC＝∠ADB，即可得出结论；
（2）证明△ACE∽△ABD，即可得出结论；
（3）先判断出BDCE，再求出AB＝2，
①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE，再根据勾股定理求出，BP＝3，得出BD＝2；
②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP＝DP＝AE，BP＝3，进而得出BD＝BP+DP＝4，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图①中，
在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝60°，
同理：AE＝AD，∠AED＝∠ADE＝∠EAD＝60°，
∴∠EAD＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE＝BD，∠AEC＝∠ADB，
∵点B、D、E在同一直线上，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠CEB＝∠AEC﹣∠AEB＝60°，
故答案为BD＝CE，60．
（2）如图②中，BD＝2CE?sin，BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小为90°．
理由：延长BD交CE的延长线于T，设AE交BT于点O．
在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝α，
∴AB＝2AC?sin，
同理，AD＝2AE?sin，
∴，∠DAE＝∠CAB，
∴∠EAC＝∠DAB，
∴△ACE∽△ABD，
∴2sin，
∴∠ECA＝∠DBA，BD＝2?EC?sin，
∵∠COT＝∠AOB，
∴∠CTO＝∠CAB＝90°．
∴BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小为90°．
（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，
∴BDCE，
在Rt△ABC中，AC，
∴ABAC＝2，
①当点E在点D上方时，如图③，
过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，
当CE⊥AD时，可证∠AEC＝∠ADB＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝∠AED＝∠APD＝90°，
∴四边形APDE是矩形，
∵AE＝DE，
∴矩形APDE是正方形，
∴AP＝DP＝AE，
在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP3，
∴BD＝BP﹣PD＝2．
②当点E在点D下方时，如图④
同①的方法得，AP＝DP＝AE，BP＝3，
∴BD＝BP+DP＝4，
综上所述，BD的长为2或4．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出△ACE∽△ABD是解本题的关键．
【变式2-1】（2021?河南模拟）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为
，位置关系为
.（直接写出答案）
（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，求BE与DG的数量关系和位置关系；
（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）
【分析】（1）延长DG交BE于M，交AB于N，证明△DAG≌△BAE，根据全等三角形的性质解答即可；
（2）连接BD、EG，根据勾股定理求出EG2+BD2，证明△EAB∽△GAD，根据相似三角形的性质得到BE⊥DG；
（3）根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：（1）如图2，延长DG交BE于M，交AB于N，
∵四边形ABCD、四边形EFGA为正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠GAD＝∠EAB＝90°，
∴∠BHG＝∠GAD
在△DAG和△BAE中，
，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴BE＝DG，∠ADG＝∠ABE，
∵∠AND＝∠BNM，
∴∠BMN＝∠NAD＝90°，即BE⊥DG；
故答案是：BE＝DG；BE⊥DG；
（2）BE＝DG，BE⊥DG，理由如下：
如图3，设BE与DG交于Q，BE与AG交于点P，
∵，AE＝4，AB＝8，
∴AG＝6，AD＝12．
∵四边形AEFG和四边形ABCD为矩形，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵，
∴△EAB∽△GAD，
∴，∠BEA＝∠AGD，
∵∠APE＝∠GPQ，
∴∠EAP＝∠GQP＝90°，
∴BE⊥DG．
（3）如图3，由（2）知，AE＝4，AG＝6，AD＝12．
∴EG2＝AE2+AG2＝42+62＝52，BD2＝AD2+AB2＝122+82＝208，
又由（2）知BE⊥DG，
则DE2+BG2＝DP2+PE2+PG2+PB2＝EG2+BD2＝52+208＝260．
【点评】本题考查的是正方形和矩形的性质、全等三角形和相似三角形的判定定理和性质定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．
【变式2-2】（2021?上城区一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．
（1）如图①，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；
（2）如图②，连接BF，若△BEF为等边三角形，求的值；
（3）如图③，已知E为AB中点，tan∠ADE，连接BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．（结果用关于S的代数式表示）
【分析】（1）利用勾股定理求出BD＝10，证明DA＝DF＝6，可得结论．
（2）设AE＝EF＝BE＝m，求出AD，可得结论．
（3）如图3中，过点F作FT⊥AB于T．设BT＝a．求出TF，AT，AE，AD（用a表示），再根据△ADE的面积，求出a2（用S表示），可得结论．
【解答】解：（1）如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD10，
由翻折的性质可知，DA＝DF＝6，
∴BF＝BD﹣DF＝10﹣6＝4．
（2）如图②中，
∵△EBF是等边三角形，
∴EB＝EF，∠BEF＝60°，
由翻折的性质可知，EA＝EF，∠AED＝∠FED，
∴∠AED＝∠FED＝60°，
设AE＝EF＝BE＝m，
则ADAEm，
∴AB＝2m，
∴．
（3）如图③中，过点F作FT⊥AB于T．设BT＝a．
由翻折的性质可知，DE⊥AF，AE＝EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
同法可证∠BAF＝∠BFT，
∴tan∠BFT＝tan∠BAF＝tan∠ADE，
∴FT＝3a，AT＝9a，
∴AB＝10a，
∴AE＝BE＝5a，AD＝3AE＝15a，
∵S△ADE15a×5a＝S，
∴a2S，
∴S△BCF15a×aa2S．
解法二：三角形ADF和三角形BCF加起来等于矩形面积的一半，四边形ADFE面积好求，先求出△AEF的面积，△AEF面积是△ABF的一半．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
【变式2-3】（2021?南山区二模）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；
【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF，请求BP的长．
【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，BQ交AP于T，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△ABP∽△BCQ，然后运用相似三角形的性质就可解决问题．
（2）利用探究的结论解决问题即可．
（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．利用探究的结论求出DG，利用勾股定理求出AG，设ED＝EG＝x，在Rt△AEG中，根据EG2＝AE2+AG2，求出DE，EG，证明△AEG∽△JFP，推出，求出FJ，PJ即可解决问题．
【解答】解：（1）：如图①，过点A作AP∥EF，交BC于P，过点B作BQ∥GH，交CD于Q，BQ交AP于T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BGHQ都是平行四边形，
∴AP＝EF，GH＝BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠BAT+∠ABT＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABP＝∠C＝90°，AD＝BC，
∴∠ABT+∠CBQ＝90°，
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴△ABP∽△BCQ，
∴，
∴．
（2）如图②中，连接BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
∴BD，
∵D，B关于EF对称，
∴BD⊥EF，
∴，
∴，
∴EF．
（3）如图③中，过点F作FH⊥EG于H，过点P作PJ⊥BF于J．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴，
∴DG，
∴AG1，
由翻折可知：ED＝EG，设ED＝EG＝x，
在Rt△AEG中，∵EG2＝AE2+AG2，
∴x2＝AG2+AE2，
∴x2＝（3﹣x）2+1，
∴x，
∴DE＝EG，
∵FH⊥EG，
∴∠FHG＝∠HGP＝∠GPF＝90°，
∴四边形HGPF是矩形，
∴FH＝PG＝CD＝2，
∴EH，
∴GH＝FP＝CF＝EG﹣EH1，
∵PF∥EG，EA∥FB，
∴∠AEG＝∠IPF，
∵∠A＝∠FJP＝90°，
∴△AEG∽△JFP，
∴，
∴，
∴FJ，PJ，
∴BJ＝BC﹣FJ﹣CF＝31，
在Rt△BJP中，BP．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
类型3
动点探究问题
【方法点拨】动点型几何探究问题是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题,在动点的运动过程中观察图形的变化情况,
理解图形在不同位置的情况,
做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决这类问题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.
【例3】（2021?海城市模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．
（1）如图①，当∠BAC＝45°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系．（用含α的式子表示）
【分析】（1）如图1，作辅助线，构建三角形全等，证明△CDG是等腰直角三角形，得DGCD，∠DGC＝45°，再证明△EAD≌△DGB，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，过D作DF∥AB，交BC于F，先证得∠FDC＝30°得：CFDF，证明△DAE∽△BFD，得，则，可得结论；
（3）如图3，同（2）可得结论．
【解答】解：（1）AECD，
如图1，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，
∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∴AC﹣CD＝BC﹣BG，
即CD＝CG，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DGCD，∠DGC＝45°，
∴∠DGB＝135°，
∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∵∠DAE＝90°+45°＝135°，
∴∠DAE＝∠DGB，
∵DE⊥DB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠EDA＝∠DBC，
∴△EAD≌△DGB（ASA），
∴AE＝DG，
∴AECD；
（2）AE＝2CD，理由是
如图2，
过D作DF∥AB，交BC于F，
则∠FDC＝∠BAC＝30°，，
∴，
∵AP⊥AB，DE⊥BD，
∴∠BAP＝∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC＝180°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠FDC＝30°
∴∠DBC+∠BDC＝90°，CFDF，
∴∠ADE＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠BAC+∠BAP，∠BFD＝∠FDC+∠ACB，
∴∠DAE＝∠DBC，
∴△DAE∽△BFD，
∴，
∴，
∴，
∴2，即AE＝2CD；
（3）CD＝AE?sinα，理由是
如图3，
过D作DF∥AB，交BC于F，
则∠FDC＝∠BAC＝α，，
∴，
∵AP⊥AB，DE⊥BD，
∴∠BAP＝∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC＝180°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠FDC＝α
∴∠DBC+∠BDC＝90°，sin∠FDC＝sinα，
∴∠ADE＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠BAC+∠BAP，∠BFD＝∠FDC+∠ACB，
∴∠DAE＝∠BFD，
∴△DAE∽△BFD，
∴，
∴，
∴sinα，
∴CD＝AE?sinα．
【点评】本题是三角形的综合题，是常考题型，考查了三角形全等和相似的性质和判定、三角函数、直角三角形30°角的性质、等腰直角三角形的性质和判定，并运用了类比的方法解决几何问题，第一问中辅助线的作法是关键，条件改变后，第2问和3问就变成了证明两三角形相似，利用比例式解决问题．
【变式3-1】（2021?宣城模拟）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．
（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是
；
（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长．
【分析】（1）证△GCF≌△BEC（AAS），得BC＝GF，则CD＝GF，则证△HCD≌△HGF（ASA），得出DH＝HF即可；
（2）证△FCG∽△CEB，则n，由矩形的性质得出n，证△HCD≌△HGF（ASA），即可得出DH＝HF；
（3）根据矩形的性质和已知得n，则CECF，分两种情况，根据勾股定理和平行线的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）DH＝HF；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝∠EBC＝∠BCD＝90°，
∴CD⊥BC，
∵FG⊥BC，∠ECF＝90°，
∴CD∥GF，∠CGF＝∠ECF＝∠EBC＝90°，
∴∠GCF+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠GCF＝∠BEC，
在△GCF和△BEC中，，
∴△GCF≌△BEC（AAS），
∴BC＝GF，
∴CD＝GF，
∵CD∥GF，
∴∠HDC＝∠HFG，∠HCD＝∠HGF，
在△HCD和△HGF中，，
∴△HCD≌△HGF（ASA），
∴DH＝HF，
故答案为：DH＝HF；
（2）DH＝HF仍然成立；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，FG⊥BC，∠ECF＝90°，
∴∠CGF＝∠ECF＝∠EBC＝90°，
∴∠FCG+∠BCE＝90°，
∵∠BCE+∠CEB＝90°，
∴∠FCG＝∠CEB，
∴△FCG∽△CEB，
∴n，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝nAD，
∴n，
∴，
∴GF＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD⊥BC，
∵FG⊥BC，
∴CD∥GF，
∴∠HDC＝∠HFG，∠HCD＝∠HGF，
在△HCD和△HGF中，，
∴△HCD≌△HGF（ASA），
∴DH＝HF；
（3）如图3所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝3，∠RDC＝90°，RD∥CH，
∵AB＝nAD，CF＝nCE，
∴n，
∴CECF，
分两种情况：
①当ARAD时，
∵AD＝3，
∴AR＝1，DR＝2，
在Rt△CDR中，由勾股定理得：CR2，
∵RD∥CH，DH＝DF，
∴RC＝CF＝2，
∴CE2，
由勾股定理得：EF；
②当DRAD时，同理可得：DR＝1，RC，CF＝RC，CE，
由勾股定理得：EF；
综上所述，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则线段EF的长为或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-2】（2021?镇平县模拟）（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE．
填空：
①的值为
；
②∠DBE的度数为
．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．
【分析】（1）由直角三角形的性质可得∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，可得AC＝BC，CD＝CE，由“SAS”可证
△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，即可求解；
（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE＝∠CAD＝60°，即可求∠DBE的度数；
（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM＝BM，即可求DE＝2，由相似三角形的性质可得∠ABE＝90°，BEAD，
由勾股定理可求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，
∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，
∴AC＝BC，CD＝CE，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，1，
故答案为：1，90°
（2），∠DBE＝90°
理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°
∴tan∠ABC＝tan30°
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，
∴Rt△ACB∽Rt△DCE
∴
∴，且∠ACD＝∠BCE
∴△ACD∽△BCE
∴，∠CBE＝∠CAD＝60°
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°
（3）若点D在线段AB上，如图，
由（2）知：，∠ABE＝90°
∴BEAD
∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°
∴AB＝4，BC＝2
∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，
∴CM＝BMDE，
∵△CBM是直角三角形
∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，
∴BM＝CM
∴DE＝2
∵DB2+BE2＝DE2，
∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24
∴AD1
∴BEAD＝3
若点D在线段BA延长线上，如图
同理可得：DE＝2，BEAD
∵BD2+BE2＝DE2，
∴（4+AD）2+（AD）2＝24，
∴AD1
∴BEAD＝3
综上所述：BE的长为3或3
【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，证明△ACD∽△BCE是本题的关键．
【变式3-3】（2020?南海区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠ABC＝60°，动点M从点A出发，沿斜边AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点N从点C出发，沿直角边CA以每秒个单位长度的速度向点A匀速运动，连接BN，MN，过点M作MD⊥CA于点D，当点M运动到点B时，动点N也随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：当BN平分∠ABC时，MD的长度为
；
（2）如图2，点E为BC的中点，连接EN，EM，设△EMN的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值；
（3）在动点M，N的运动过程中，是否存在t的值，使得以D，M，N为顶点的三角形与△BCN相似？若存在，求出所有t的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）由直角三角形的性质得BCAB＝4，ACBC＝4，CNBC，求出t，则AM＝2t，由直角三角形的性质即可得出答案；
（2）由直角三角形的性质得MDAM＝t，ADMDt，则DN＝42t，得△EMN的面积为y＝梯形CDME的面积﹣△CEN的面积﹣△DMN的面积，进而得出结论；
（3）分两种情况：①BC与MD是对应边，△BCN∽△MDN，则，求出t的值即可；
②BC与ND是对应边，△BCN∽△NDM，则，求出t的值即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∴BCAB＝4，ACBC＝4，
∵BN平分∠ABC，
∴∠CBN＝30°，
∵∠C＝90°，
∴CNBC，
由题意得：CNt，
∴t，
∴t，
∴AM＝2t，
∵MD⊥CA，∠A＝30°，
∴MDAM，
故答案为：；
（2）∵点E为BC的中点，BC＝4，
∴CEBC＝2，
∵MD⊥CA，∠A＝30°，AM＝2t，
∴MDAM＝t，ADMDt，
∴DN＝AC﹣CN﹣AD＝42t，
∵∠C＝90°，MD⊥CA，
∴MD∥BC，
∴△EMN的面积为y＝梯形CDME的面积﹣△CEN的面积﹣△DMN的面积（t+2）（4t）t×2（42t）×tt2﹣2t+4，
即y关于t的函数关系式为yt2﹣2t+4，
∵yt2﹣2t+4（t﹣2）2+2，0，
∴y的最小值为2；
（3）存在，理由如下：
分两种情况：
①BC与MD是对应边，△BCN∽△MDN，
则，即||，
解得：t＝44或t＝4或t＝﹣44（舍去），
∴t＝44；
②BC与ND是对应边，△BCN∽△NDM，
∴，即||，
解得：t或t．
综上所述，存在t的值，使得以D，M，N为顶点的三角形与△BCN相似，t的值为44或或4或．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积、梯形面积公式、二次函数的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握相似三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．2021年中考数学几何探究题
类型1
新定义型探究问题
【方法点拨】在材料中,为问题的提出设置一种背景,如新定义,新定理,新运算.解决此类问题要仔细阅读题目所提供的新定义、新定理或新运算的内容,
通过对材料信息的分析、提炼,
再运用所分析、提炼的结果或题目所提供的运算法则解决新问题.
【例1】（2021?鄞州区模拟）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是
；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n?BG，求n的值；
（3）如图2，在Rt△ABC中，2，AB，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积．
【变式1-1】（2021?河南模拟）定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图a所示．
操作1：将正方形ABEF沿过点A的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G处，折痕为AH．
操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF，BE上，折痕为CD．则四边形ABCD为矩形．
（1）证明：四边形ABCD为矩形；
（2）点M是边AB上一动点．
①如图b，O是对角线AC的中点，若点N在边BC上，OM⊥ON，连接MN．求tan∠OMN的值；
②若AM＝AD，点N在边BC上，当△DMN的周长最小时，求的值；
③连接CM，作BR⊥CM，垂足为R．若AB＝2，则DR的最小值＝
．
【变式1-2】（2020?邗江区二模）定义：如果一个三角形一条边上的高与这条边的比值是4：5，那么称这个三角形为“准黄金”三角形，这条边就叫做这个三角形的“金底”．
（1）如图1，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“准黄金”三角形，请说明理由．
（2）如图2，△ABC是“准黄金”三角形，BC是“金底”，把△ABC沿BC翻折得到△DBC，AD交BC的延长线于点E，若点C恰好是△ABD的重心，求的值．
（3）如图3，l1∥l2，且直线l1与l2之间的距离为4，“准黄金”△ABC的“金底”BC在直线l2上，点A在直线l1上，，若∠ABC是钝角，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C，线段A′C交l1于点D．当点B′落在直线l1上时，则的值为
．
【变式1-3】（2020?常州一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，△ABC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点D（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC．请问BD是四边形ABCD的“相似对角线”吗？请说明理由；
运用：
（3）如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°．连接EG，若△EFG的面积为6，求FH的长．
类型2
变换探究问题
【方法点拨】几何变换型探究性问题是以几何知识和具体的几何图形为背景,
通过图形的平移、翻折、旋转等把图形的有关性质和图形之间的数量关系位置关系看作是在变化的、相互依存的状态之中要求对变换过程中伴随的数量关系和图形的位置关系等进行探究.解决这类问题,要善于发现全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形,或添辅助线构造全等三角形、等边三角形、直角三角形和相似三角形运用全等三角形来证明,运用勾股定理、相似三角形和锐角三角函数来计算.
【例2】（2021?亭湖区一模）如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则线段BD、CE之间的数量关系是
，∠CEB＝
°；
（2）拓展探究：
如图②，当∠ACB＝∠AED＝α时，点B、D、E不在同一直线上，连接CE，求出线段BD、CE之间的数量关系及BD、CE所在直线相交所成的锐角的大小（都用含α的式子表示），并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC，AE，连接CE、BD，在△AED绕点A旋转的过程中，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD的长．
【变式2-1】（2021?河南模拟）背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：
（1）如图2，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，则BE与DG的数量关系为
，位置关系为
.（直接写出答案）
（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE＝4，AB＝8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，求BE与DG的数量关系和位置关系；
（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，DE2+BG2的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）
【变式2-2】（2021?上城区一模）如图，四边形ABCD为矩形，点E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，点A落在矩形ABCD内的点F处．
（1）如图①，若AB＝8，AD＝6，点F恰好落在矩形的对角线BD上，求线段BF的长；
（2）如图②，连接BF，若△BEF为等边三角形，求的值；
（3）如图③，已知E为AB中点，tan∠ADE，连接BF，FC，若△ADE的面积为S，求△BFC的面积．（结果用关于S的代数式表示）
【变式2-3】（2021?南山区二模）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：
如图①，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：；
【结论应用】（2）如图②，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB＝2，BC＝3．求折痕EF的长；
【拓展运用】（3）如图③，将矩形ABCD沿EF折叠．使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB＝2，BC＝3，EF，请求BP的长．
类型3
动点探究问题
【方法点拨】动点型几何探究问题是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题,在动点的运动过程中观察图形的变化情况,
理解图形在不同位置的情况,
做好计算推理的过程.在变化中找到不变的性质是解决这类问题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.
【例3】（2021?海城市模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．
（1）如图①，当∠BAC＝45°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系．（用含α的式子表示）
【变式3-1】（2021?宣城模拟）点E是矩形ABCD边AB延长线上的一动点，在矩形ABCD外作Rt△ECF，其中∠ECF＝90°，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接DF，交CG于点H．
（1）发现
如图1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想线段DH与HF的数量关系是
；
（2）探究
如图2，若AB＝nAD，CF＝nCE，则（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展
在（2）的基础上，若射线FC过AD的三等分点，AD＝3，AB＝4，则直接写出线段EF的长．
【变式3-2】（2021?镇平县模拟）（1）问题发现
如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE．
填空：
①的值为
；
②∠DBE的度数为
．
（2）类比探究
如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．
【变式3-3】（2020?南海区校级模拟）如图1，在Rt△ABC中，AB＝8，∠C＝90°，∠ABC＝60°，动点M从点A出发，沿斜边AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点N从点C出发，沿直角边CA以每秒个单位长度的速度向点A匀速运动，连接BN，MN，过点M作MD⊥CA于点D，当点M运动到点B时，动点N也随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）填空：当BN平分∠ABC时，MD的长度为
；
（2）如图2，点E为BC的中点，连接EN，EM，设△EMN的面积为y，求y关于t的函数关系式，并求出y的最小值；
（3）在动点M，N的运动过程中，是否存在t的值，使得以D，M，N为顶点的三角形与△BCN相似？若存在，求出所有t的值，若不存在，说明理由．
