(共43张PPT)
人教A版（2019）
选择性必修第三册
7.4.1
二项分布
新知导入
思考：上面的几个问题有什么共有特点？
1、投掷一枚硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。
2、玩射击气球游戏,每次击破气球的概率为0.7，现有10次机会进行射击。
3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。
1.在相同条件下进行多次重复试验；
3.每次试验只有两种可能的结果：成功或不成功；
2.每次试验相互独立；
4.每次试验出现相同结果的概率相同.
新知导入
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则3次都出现正面向上的概率为多少？
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)
B3=”3次都正面朝上”，则B3=A1A2A3.
连续投掷3次硬币，每次结果相互独立，因此事件A1,A2,A3相互独立.
则P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3).
新知导入
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则只出现1次正面向上的概率为多少？
B1=”1次都正面朝上”，则B1=
事件
、
、相互互斥，
则P(B1)=P
=p(1-p)2+p(1-p)2+p(1-p)2=3p(1-p)2
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)
新知导入
投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，出现k(k=0,1,2,3)次正面向上的概率为多少？
P(B0)=P
P(B1)=P
P(B2)=P
P(B3)=P=p3
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)
Bk=”出现k次正面朝上”，则
新知导入
思考：上述问题求解概率有何规律？
P(Bk)=，k=0,1,2,3
若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币3次，出现正面朝上的次数，则
P(X=k)=，k=0,1,2,3
拓展：若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币n次，出现正面朝上的次数，则
P(X=k)=，k=0,1,2,...,n
新知讲解
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
伯努利试验
n重伯努利试验的特征：
将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
1、同一个伯努利试验重复做n次；
2、各次试验的结果相互独立.
新知讲解
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的
伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，
那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.
新知讲解
随机试验
是否是n重伯努利试验
伯努利试验
P(A)
重复试验的次数
(1)
是
抛掷一枚质地均匀的硬币
1/2
10
(2)
是
某飞碟运动员进行射击
0.8
3
(3)
是
从一批产品中随机抽取一件
0.05
20
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.
而在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.
进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.
新知讲解
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率
分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的
可能结果：
试验结果
X的值
3
2
2
1
2
1
1
0
新知讲解
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，
每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：
中靶次数X的分布列为：
新知讲解
思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.
表示中靶次数X等于2的结果
中靶次数X的分布列
新知讲解
新知讲解
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
P(X=k)=，k=0,1,2,...,n
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，
记作X~B(n,p)
由二项式定理可知，
新知讲解
二项分布的判断
1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一
2、事件A在每次的试验中发生的概率相同
3、试验重复的进行了n（n≥2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响
例题讲解
例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率
解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5，用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5)
（1）恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是
P(X=5)=
（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是
P(4≤X≤6)=
例题讲解
例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
例题讲解
解：设A=”向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B(10，0.5)，于是X的分布列为
P(X=k)=
例题讲解
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分：2：0或2：1，前者是前2局甲连胜，后者是前2局甲、乙各胜一局，且第3局甲胜。因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：
同理，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0或3：1或3：2，因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：
例题讲解
解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，
则X~B(3,0.6)，甲最终获胜的概率为
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，
则X~B(5,0.6)，甲最终获胜的概率为
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
例题讲解
确定二项分布模型的步骤：
1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)
合作探究
思考：假设随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则X的均值和方差各是什么？
分析：
（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p
均值和方差分别为E(X)=p，D(X)=p(1-p)
（2）当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，
P(X=2)=p2，均值和方差分别为：E(X)=0
x
(1-p)2+1
x
2p(1-p)+2
x
p2=2p
D(X)=02
x
(1-p)2+12
x
2p(1-p)+22
x
p2
-
(2p)2=2p(1-p)
一般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)
课堂练习
1.
某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.8，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为m，则m的值为（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
D
2.
经检测有一批产品合格率为0.75，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则P(X=k)取得最大值时k的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
C
课堂练习
3.
下列说法正确的个数是（
）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X~B(0.6,10)；
②某福彩中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X~B(8,p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X~B(n,0.5)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
C
课堂练习
4．已知随机变量X+Y=8，若X~B(10，0.4)，则E(Y)，D(Y)分别是(
)
A．4和2.4
B．2和2.4
C．6和2.4
D．4和5.6
A
课堂练习
5.
气温的变化已引起人们的关注，据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在-2℃以下的概率是1/3
.设X为该地区从2020年到2025年最低气温在-2℃以下的年数，求X的分布列.
解：由题意知
X~B(6,1/3)，则
课堂练习
6.
某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是5/18，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列及E(X)的值.
课堂练习
解：（1）设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡
的概率是5/18，所以有
，则n=5，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为
（2）离散型随机变量服从二项分布，即X~B(4,1/6)
所以，E(X)=4
x
1/6
=
2/3
拓展提高
7．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
，遇到红灯时停留的时间都是2分钟.
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列.
解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，
因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P(A)=(1
-
1/3)
x
(1
-
1/3)
x
1/3
=
4/27
拓展提高
（2）由题意，可得ξ可以取的值为0，2，4，6，8(单位：分钟)，
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2，3，4)
拓展提高
8.
某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为3/4，B项技术指标达标的概率为8/9，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该种零件4个，设X表示其中合格品的个数，求X分布列及E(X)．
解：（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：A，B都不达标；故，
所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为35/36；
拓展提高
（2）依题意两项技术指标都达标的概率为，所以X~B(4，2/3)，
E(X)=4
x
2/3
=
8/3
链接高考
9．（2019
天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2/3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
链接高考
解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为2/3，则X~B(3，2/3)，即
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量的数学期望E(X)=3
x
2/3
=
2
链接高考
P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)
=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)
=
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则Y~B(3,2/3)
且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}，所以
链接高考
10．（2011
天津高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在一次游戏中，
（i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望
链接高考
解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件Ak，k=0,1,2,3.
（i）P(A3)=，即摸出3个白球的概率为1/5.
（ii）P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)=
即获奖的概率为7/10.
链接高考
（2）由题意可知，X所有可能的取值为：0,1,2，且X~B(2，7/10)，则
P(X=2)=
则E(X)=2
x
7/10
=
7/5
课堂总结
1、伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
2、二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为
P(X=k)=，k=0,1,2,...,n
板书设计
7.4.1
二项分布
一、新知导入
二、新知讲解
二项分布
三、例题讲解
四、课堂练习
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
作业布置
课本P76
练习
第1~4题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
7.4.1二项分布教学设计
课题
二项分布
单元
第七单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节内容主要是二项分布，由生活中的实际情景导入，学习判断二项分布及求二项分布的分布列，并使用其解决一些实际问题.
教学目标与核心素养
数学抽象：利用生活中的实际问题，为了求解多从重复试验的概率，引入伯努利试验及二项分布；
逻辑推理：通过导入及课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力；
数学建模：掌二项分布的判断及分布列的一般求解过程，利用其解决实际问题；
数学运算：能够正确列出二项分布的分布列，并计算期望；
5、数学分析：通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。
重点
掌握二项分布的判断及求分布列.
难点
利用二项分布，解决一些实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
新知导入：
情景一：
1、投掷一枚硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。
2、玩射击气球游戏,每次击破气球的概率为0.7，现有10次机会进行射击。
3、某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。
思考：上面的几个问题有什么共有特点？
1.在相同条件下进行多次重复试验
2.每次试验相互独立
3.每次试验只有两种可能的结果：成功或不成功
4.每次试验出现相同结果的概率相同
情景二：投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则3次都出现正面向上的概率为多少？
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)
B3=”3次都正面朝上”，则B3=A1A2A3
连续投掷3次硬币，每次结果相互独立，因此事件A1,A2,A3相互独立
则P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
情境三：投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，则只出现1次正面向上的概率为多少？
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)
B1=”1次都正面朝上”，
则B1=
事件、、相互互斥，
则P(B1)=P()+P()+P()
=p(1-p)2+p(1-p)2+p(1-p)2=3p(1-p)2
情境三：投掷一枚硬币，设正面向上的概率为p，连续投掷3次，出现k(k=0,1,2,3)次正面向上的概率为多少？
分析：设Ai=”第i次正面朝上“(i=0,1,2,3)
Bk=”出现k次正面朝上”，则
思考：上述问题求解概率有何规律？
,k=0,1,2,3
若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币3次，出现正面朝上的次数，则
,k=0,1,2,3
拓展：若用随机变量X表示连续投掷一枚硬币n次，出现正面朝上的次数，则
,k=0,1,2,3,…,n
学生思考问题，引出本节新课内容。
设置问题情境，激发学生学习兴趣，并引出本节新课。
讲授新课
新知讲解：
伯努利试验:把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验
将一次伯努利试验独立的重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验
n重伯努利试验的特征：
同一个伯努利试验做n次
各次试验的结果相互独立
思考：下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的
伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，
那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少?
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次.
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次.
(3)一批产品的次品率为5%,有放回地随机抽取20件.
在伯努利试验中，我们关注某个事件A是否发生.
而在n重伯努利试验中,我们关注事件A发生的次数X.进一步，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是X的分布列.
探究：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率
分布列是怎样的？
用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的
可能结果：
由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得：
中靶次数X的分布列为：
思考:如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些?写出中靶次数X的分布列.
表示中靶次数X等于2的结果
中靶次数X的分布列
二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0,k=0,1,2,3,…,n
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p)
由二项式定理可知，
二项分布的判断:
1、在一次试验中，事件A发生与不发生二者必居其一
2、事件A在每次的试验中发生的概率相同
3、试验重复的进行了n（n≥2）次，且每次试验结果相互独立，互不影响
例题讲解：
例1：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：
（1）恰好出现5次正面朝上的概率
（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率
解：设A=“正面朝上”，则P(A)=0.5，用X表示事件A发生的次数，则X~B(10,0.5)
（1）恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是
P(X=5)=
（2）正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是
P(4≤X≤6)=
例2：如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，...，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。
解：设A=”向右下落”，则?A=“向左下落”，且P(A)=P(?A)=0.5，因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X~B(10，0.5)，于是X的分布列为
P(X=k)=
,
k=0,1,2,,...,10
例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分：2：0或2：1，前者是前2局甲连胜，后者是前2局甲、乙各胜一局，且第3局甲胜。因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：
p1=0.62+C21×0.62×0.4=0.648
同理，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分：3：0或3：1或3：2，因为每局比赛的结果是相互独立的，甲最终获胜的概率为：
p2=0.63+C32×0.63×0.4+C42×0.63×0.42=0.68256
解法二：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X~B(3,0.6)，甲最终获胜的概率为
p1=P(X=2)+P(X=3)=C32
x
0.62×0.4+C33
x
0.63=0.648
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X~B(5,0.6)，甲最终获胜的概率为
p2=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C53×0.63×0.42+
C54×0.64×0.4+C55
x
0.65=0.68256
因为p2>p1，所以5局3胜制对甲有利.
确定二项分布模型的步骤：
1、明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率
2、明确重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性
3、设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n,p)
合作探究：
思考：假设随机变量X服从二项分布X~B(n,p)，则X的均值和方差各是什么？
（1）当n=1时，X服从两点分布，分布列为：P(X=0)=1-p，P(X=1)=p，均值和方差分别为E(X)=p，D(X)=p(1-p)
（2）当n=2时，X的分布列为：P(X=0)=(1-p)2，P(X=1)=2p(1-p)，P(X=2)=p2，均值和方差分别为：E(X)=0
x
(1-p)2+1
x
2p(1-p)+2
x
p2=2p
D(X)=02
x
(1-p)2+12
x
2p(1-p)+22
x
p2
-
(2p)2=2p(1-p)
一般地，如果X~B(n,p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p)
课堂练习：
1.
某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.8，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为m，则m的值为（
D
）
A．5
B．6
C．7
D．8
2.
经检测有一批产品合格率为0.75，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为X，则P(X=k)取得最大值时k的值为（
C
）
A．2
B．3
C．4
D．5
3.
下列说法正确的个数是（
C
）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X~B(0.6,10)；
②某福彩中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X~B(8,p)；
③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X~B(n,0.5)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．已知随机变量X+Y=8，若X~B(10，0.4)，则E(Y)，D(Y)分别是(
A )
A．4和2.4
B．2和2.4
C．6和2.4
D．4和5.6
5.
气温的变化已引起人们的关注，据某地气象部门统计，该地区每年最低气温在-2
℃以下的概率是1/3
.设X为该地区从2020年到2025年最低气温在-2
℃以下的年数，求X的分布列.
解：由题意知
X~B(6,1/3)，则
6.
某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“五环”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“五环”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是5/18，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列及E(X)的值.
解：（1）设“会徽”卡有n张，因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是5/18，所以有，则n=5，所以“五环”图案卡片的张数为4，故抽奖者获奖的概率为
（2）离散型随机变量服从二项分布，即X~B(4,1/6)
所以，E(X)=4
x
1/6
=
2/3
拓展提高：
7．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1/3，遇到红灯时停留的时间都是2分钟.
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列.
解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为
P(A)=(1
-
1/3)
x
(1
-
1/3)
x
1/3
=
4/27
（2）由题意，可得ξ可以取的值为0，2，4，6，8(单位：分钟)，事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2，3，4)
8.
某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为3/4，B项技术指标达标的概率为8/9，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该种零件4个，设X表示其中合格品的个数，求X分布列及E(X)．
解：（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则：A，B都不达标；故P(M
)=1?P()=1?1/4×1/9=35/36，
所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为35/36
（2）依题意两项技术指标都达标的概率为3/4×8/9=2/3，所以X~B(4，2/3)，
链接高考：
9．（2019
天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2/3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.
（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.
解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为2/3，则X~B(3，2/3)，即
P(X=k)=C3k
(2/3)k
(1/3)3?k
(k=0,1,2,3)
所以，随机变量X的分布列为
X0123P1/272/94/98/27
随机变量的数学期望E(X)=3
x
2/3
=
2
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y，则Y~B(3,2/3)
且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}，所以
P(M)=P({X=3,Y=1}∪
{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)
=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)
=8/27×2/9+4/9×1/27=20/243
10．（2011
天津高考真题（理））学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球；乙箱子里装有1个白球、2个黑球.这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.
（每次游戏结束后将球放回原箱）
（1）求在一次游戏中，
（i）摸出个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（2）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望
解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件Ak，k=0,1,2,3
（i），即摸出3个白球的概率为1/5
（ii）P(A2∪A3)=P(A2)+P(A3)=
即获奖的概率为7/10
（2）由题意可知，X所有可能的取值为：0,1,2，且X~B(2，7/10)，则
则E(X)=2
x
7/10
=
7/5
学生根据情境问题，探究二项分布
利用例题引导学生掌握并灵活运用二项分布解决实际相关问题
通过课堂练习，检验学生对本节课知识点的掌握程度，同时加深学生对本节课知识点的掌握及运用
利用情境问题，探究二项分布，培养学生探索的精神.
加深学生对基础知识的掌握，并能够灵活运用基础知识解决具体问题
通过练习，巩固基础知识，发散学生思维，培养学生思维的严谨性和对数学的探索精神。
课堂小结
伯努利试验
二项分布
学生回顾本节课知识点，教师补充。
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用。
板书
§7.4.1
二项分布
一、新知导入
三、例题讲解
二、新知讲解
四、课堂练习
1.二项分布
五、拓展提高
六、课堂总结
七、作业布置
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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