湖北省部分重点中学2020-2021学年高一下学期5月联考数学试题 Word版含答案

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湖北省重点中学高一年级五月联考
数学试卷
本试卷共4页，22题．全卷满分150分，考试用时120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量false满足false，则false（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
2．设复数false（其中i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B．false C．false D．false
3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中false．则原平面图形的面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．在一次分层随机抽样中，可分两层进行抽样，通过计算，已知第一层抽取m个数，其平均数为a，第二层抽取n个数其平均数为b，则抽取的总样本的平均数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．在空间中，已知l，m，n为不同的直线，false为不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A．若false，则false B．若false且false，则false
C．若false，则false D．若false，则false
6．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为false，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A．false B．1 C．false D．false
7．在正三棱柱false中，false，点D为棱false的中点，点E为false上的点，且满足false，当二面角false的正切值为false时，实数m的值为（ ）
A．false B．1 C．2 D．3
8．在平面四边形false中，false，若false面积依次为false，则false的最大值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．复数z满足false，则下列结论正确的是（ ）
A．z在复平面内对应的点位于第四象限 B．false
C．false D．false
10．去年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读图
关于下列说法，其中正确的是（ ）
A．2022年我国5G用户规模年增长率最高
B．2025年我国5G用户数规模最大
C．从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降
D．这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数
11．false的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A．若false，则false
B．若false，则false有两解
C．若false，则false为钝角三角形
D．若false，则false面积的最大值为false
12．平面false过棱长为1的正方体false的顶点A，且false平面false平面false，false平面false，则下列正确的是（ ）
A．直线m与false所成的角为false B．直线n与false垂直
C．平面false到平面false的距离为false D．直线false与平面false所成角的正弦值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．向量false，则false__________．
14．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：false，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数约为________秒．
15．某中学校园内的香樟树已有较长的历史．如图，小明为了测量香樟树高度，他在正西方向选取与香樟树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得香樟树根部C在西偏北false的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北false的方向上，树梢D的仰角为false，则香樟树的高度为__________米．
16．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知false是同一平面内的三个向量，其中false
（1）若false，且false与false方向相反，求false的坐标；
（2）若false且false与false垂直，求false与false的夹角false．
18．（12分）如图，在false中，false，false，点D在边false上，false，E为垂足．
（1）若false的面积为false，求false的长；
（2）若false，求角A的大小．
19．（12分）如图，已知false平面false，平面false平面false，
（1）求证：false；
（2）若false，求二面角false的余弦值．
20．（12分）2021年活力钟祥健康跑在市体育中心举行，现对false岁的人群随机抽取n人进行了一次运动习惯是否符合运动达人的调查，若运动习惯符合运动达人的称为“运动达人”，否则称为“非运动达人”，得到如下各年龄段人数的频率分布直方图和运动达人统计表：
组数
分组
运动达人的人数
占本组的频率
第一组
false
120
0.6
第二组
false
195
p
第三组
false
100
0.5
第四组
false
a
0.4
第五组
false
30
0.3
第六组
false
15
0.3
（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；
（2）从年龄段在false的“运动达人”中采用分层抽样法抽取6人参加户外运动达人体验活动，其中每组各选多少人？
21．（12分）如图，四棱锥false中，底面false为矩形，点E在线段false上，false平面false．
（1）求证：false；
（2）若false是等边三角形，false，平面false平面false，四棱锥false的体积为false，求点E到平面false的距离．
22．（12分）如图，直线l为经过市中心O的一条道路，B、C是位于道路l上的两个批发市场，在市中心O正西方向的道路较远处分布着村庄，为方便村民生活，市政府决定从村庄附近的点A处修建两条道路false、false，l与false的夹角false为false．且false．
（1）若批发市场B离市中心O的距离为false，离点A的距离为false，则另外一个批发市场C到A的距离为多少？
（2）为缓解交通压力，市中心周围false内不得修建批发市场，若点A与市中心O相距false，铺设时测量出道路false，false的夹角为false，则铺设两条道路的总长为多少？
湖北省重点中学高一年级五月联考
数学参考答案
一、单选题
1-8 BCAD BDCA
二、多选题
9．BD 10．ACD 11．ABC 12．ACD
三、填空题
13．false 14．16.5 15．false 16．false
四、解答题
17．（1）设false，由false和false
可得false或false
因为false与false方向相反，所以false． 5分
（2）因为false，所以false可得false
所以false，又因为false，所以false． 10分
18．（1）由已知得false，又false，false，∴false，false．在false中，由余弦定理，得
false．∴false． 6分
（2）∵false，在false中，由正弦定理，得false，
又false，得false，解得false，又false
所以false． 12分
19．（1）证明：如图，过点A作false，垂足为E
∵平面false平面false，平面false平面false
∴false平面false，又∵false平面false
∴false又∵false平面false平面false
∴false又∵false∴false平面false∴false 6分
（2）解：由（1）中可得，false平面false，过A作false，垂足为F，连接false
∴false，false，则false平面false，
∴false则false为二面角false的平面角，设为false， 9分
：false平面false∴false，
由（1）可得false平面false，则false
在false中：false，得false
在false中：false，得false；
在false中，false得false，
在false中，false，则false
∴二面角false的余弦值为false 12分
20．（1）第二组的频率为false，
所以高为false．频率分布直方图如下：
第一组的人数为false，频率为false，所以false． 4分
由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为false，
所以false． 6分
第四组的频率为false，所以第四组的人数为false，
所以false． 8分
（2）因为false岁年龄段的“运动达人”与false岁年龄段的“运动达人”的比值为2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，false岁中有4人，false岁中有2人． 12分
21．（1）连结false、false，交于点M，连结false，
∵底面false为矩形，∴M是false中点，
∵false平面false，∴false，∴在false中，false为false的中位线，
又M为中点，∴E为中点 ∴false． 5分
（2）设点E到平面false的距离为h，false，则false，
过P作false，垂足为F，则false
由于平面false平面false，又∵false平面false平面false平面false
∴则false平面false
∵四棱锥false的体积为false，∴false，解得false． 8分
由（1）可得false，且false平面false，则false平面false
∴点M到平面false的距离等于点E到平面false的距离，即为h，
由false可得false
由false可得false
false，则false． 12分
22．解：（1）false，false，false，false，
在false中，由余弦定理可得false，
即false，解得false； 2分
在false中false． 5分
（2）由false可得false，设false，则false
在false中，false，由正弦定理可得：false．
同理在false中，false，∴false，
∴false，化为：false，falsefalse或false（false或false）． 7分
当false时，即false时，
在false中，false．舍去． 8分
当false时，即false时
在false中，false，符合
由正弦定理可得：false．得false． 10分
在false中，false，得false
则false． 12分