湖南省重点中学2020-2021学年高二下学期5月联考数学试卷 Word版含解析

湖南省高二年级联合考试卷
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名?考生号?考场号?座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.已知命题false，则false及false的真假性为（ ）
A.false真命题 B.false假命题
C.false真命题 D.false假命题
3.函数false的图象在点(1，false)处的切线斜率为（ ）
A.false B.false C.2 D.3
4.在等差数列false中，已知false，则false的公差false（ ）
A.false B.3 C.2 D.1
5.下图是某品牌汽车2020年12个月的月销售量(单位：台)的折线图.
根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A.2020年下半年，该品牌汽车的月销售量逐月增加
B.与前一个月相比，月销售量增量最大的是12月
C.2020年，该品牌汽车月销售量的中位数是1893台
D.2020年上半年，该品牌汽车月销售量的平均数是916.5台
6.亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭(图1)是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥以及一个圆台(图2)的组合休.已知某重檐凉亭的圆台部分的轴截面如图3所示，则该圆台部分的侧面积为（ ）
(参考公式：圆台的表面积false(false下分别是上?下底面的半径，false是：母线长))
A.false B.false C.false D.false
7.已知false是函数false的一个极值点，则false的极大值为（ ）
A.false B.false C.2 D.6或2
8.在抗击新冠肺炎疫情期间，为了做好防控工作，医院要求病人在等待就医时，座位不能相邻.现有9个连成一排的座位，甲?乙?丙3位患者在这9个座位中选择座位就座等候就诊，已知甲坐在最中间的座位，则不同的就座方式共有（ ）
A.22种 B.11种 C.30. D.36种
二?选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知false，则（ ）
A.false B.false
C.false D.false
10.已知函数false，则（ ）
A.false的最小正周期为false
B.false在区间false上单调递增
C.false的图象关于点false对称
D.要得到函数false的图象，只需将false的图象向左平移false个单位长度
11.如图，在长方体false中，false分别是棱false的中点，E，F分别是棱false上的点，且false，则（ ）
A.false平面false
B.false平面false
C.异面直线false与false所成角的大小为false
D.点false到平面false的距离为false
12.如图，false是坐标原点，false是双曲线false艾支上的一点，false是false的右焦点，延长false分别交E于false两点，已知false，且false，则（ ）
false的离心率为false
B.false的离心率为false
C.false
D.false
三?填空题：本题共4小题，每小题5分；共20分?把答案填在答题卡中的横线上.
13.已知向量false，则false__________.
14.已知抛物线false与直线false相切，则false__________.
15.已知false，个使得false恒成立的false__________.
16.十六?十七世纪之交，约翰?纳皮尔潜心研究二十余年发明了对数，在此基础上，布里格斯进步改善对数，制造了第一个常用对数表.在计算器被发明之前，对数给数学的计算带来了极大的便利，拉普拉斯对此赞叹道“对数的发明让天文学家的寿命增倍."某天文学家需要计算false，经过查表得到如下参考数据，则最终计算结果为__________.
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
四?解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.(10分)
已知false的内角false的对边分别为false，且false.
（1）求false；
（2）若false，求false面积的最大值.
18.(12分)
已知数列false满足false
（1）若false是等比数列，求false的通项公式；
（2）若false，求false的前2021项和false.
19.(12分)
如图，在四棱锥false中，底面false是直角梯形，且false，侧面false为等边三角形，且平面false平面false
（1）证明false
（2）若false，求二面角false的余弦值.
20.(12分)
已知椭圆false的上顶点为false，且false的离心率false.
（1）求false的标准方程；
（2）已知false的右焦点为false，直线false经过false且与直线false垂直.若false与false交于false两点，求false的面积.
21.(12分)
加强学校体育管理是实施素质教育?促进学生全面发展的重要途径，这对于促进教育现代化?建设健康中国和人力资源强国?实现中华民族伟大复兴的中国梦具有重要意义.某学校举办学校运动会，在篮球决赛上；由甲，乙两个球队争夺冠军，其中甲队属于越挫越勇型，若甲队前一场失败，则下一场获胜的概率为false；若甲队前一场获胜，则甲队容易骄傲自满，出现失误，下一场获胜的概率为false.已知第一场比赛，甲?乙两队获胜的概率均为false.每场比赛获胜方得1分，失败方得0分，而且每场比赛没有平局，先累计得3分的队伍赢得比赛.
（1）求甲队以false获胜的概率；
（2）求甲队得分false的分布列和数学期望.
22.(12分)
已知函数false
（1）若false，证明；当false时，false
（2）已知函数false，当false时，false，求false的取值范围.
湖南省高二年级联合考试卷
数学参考答案
1.C 因为false，所以false.
2.D 存在量词命题的否定为全称量词命题，false不正确.因为false，所以false是假命题.故选D
3.C 因为false，所以false，故false的图象在false处的切线斜率为false
4.B 由题可得false解得false
5.D 由图可知10月份的月销售量相比于9月份是减少的，false不正确.12月份的月销售量比11月份增加了false台，7月份的月销售量比6月份增加了false台，false不正确.2020年，该品牌汽车月销售量的中位数是false台，false不正确.2020年上半年，该品牌汽车月销售量的平均数是false台，D正确.
6.A 由题可知，圆台的母线false，故圆台的侧面积false.
7.B 因为false，所以false又false是false的一个极值点，所以false，解得false或false.当false时，false，false无极值；当false时，false，则false的单调递增区间为false和false的单调递减区间为false.故当false时，false取得极大值，且极大值为false
8.A 若乙丙坐在甲的同侧，则有false种不同的就座方式；若乙丙坐在甲的两侧，则有false种不同的就座方式.综上所述，共有22种不同的就座方式.
9.BCD false，
false故选false
10.AD false，所以false的最小正周期false正确.当falsefalse时false不单调，false不正确.令false，解得false，且false，所以false图象的对称中心为false不正确.falsefalse正确.
11.ACD 因为false分别是棱false的中点，所以false又false平面false平面false，所以false平面false，A正确.因为false，所以false为异面直线false与false所成角(或补角false又false，所以false，所以false正确.假设false平面false，则false，又false，所以false平面false，但是false与平面false不垂直，故false不正确.连接false图略falsefalse设点false到平面false的距离为false，由false，得false，解得falsefalse正确.
12.AC 如图，取false的左焦点false，连接false，
由对称性可知，falsefalse，设false，
则false，
false
在false中，false，
解得false或false舍去false，所以false.
在false中，，false，整理得false，
故false的离心率为false正确，false不正确.因为false是false的中点，所以falsefalse正确，false不正确.
13.false 因为false，所以false
14.false 联立方程组false整理得false因为false与false相切，所以false，解得falsefalse或false舍去).
15.false答案不唯一 false因为false，所以false表示以false为圆心，1为半径的圆上的点，false表示点false到圆false上的点的距离的平方.因为false，所以falsefalse因为false恒成立，所以false解得false
16.6.572 falsefalse，对照参考数据false
17.解（1）因为false，
所以false
整理得false
由余弦定理知false，
所以false.
因为false，所以false.
（2）由（1）可知，false.
因为false，所以false，
所以false，即false面积的最大值为false.
18.解：（1）设false的公比为false，
则false
解得false
所以false.
（2）因为false，所以false
false
false
false
false
19.（1）证明：如图，取false的中点false，连接false
因为false是等边三角形，所以false
因为false，所以false
又false，所以false平面false
又false平面false，所以false
（2）解：如图，以false为原点，射线false为false轴的正半轴，建立空间直角坐标系
false，则false
因为false，
所以false.
设平面false的法向量为false，则false
即false
令false，则false，
即false.
易知平面false的一个法向量为false，
所以false.
由图可知，二面角false为锐角，故二面角false的余弦值为false.
20.解：（1）因为false的上顶点为false，所以false
又false的离心率false，所以false，解得false，
故false的标准方程为false
（2）由（1）可知，false的坐标为false因为直线false经过false且与直线false垂直，
所以false的方程为false
分别设false，
联立方程组false整理得false，
则false，
所以false
因为false，
所以false的面积false.
21.解：（1）记甲队第false场获胜为事件false，第false场失败为事件false.
记甲队以false获胜为事件false，
则false
false
false.
（2）由题可知，甲队的得分可能为false
false
false
false
false
false
甲队得分false的分布列为
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
false
22.（1）证明：因为false，所
以false，
所以false是增函数.
又false，所以false
（2）解设函数false，
则false
令函数false，则false，
由（1）可知，当false时，false，
所以false在false上单调递减，所以false
当false，即false时，false，
所以false在false上单调递减，则false，符合条件.
当false，即false时false，
所以false，false当false时false单调递增；
当false时false单调递减.故false，不符合条件.
综上所述，false的取值范围为false