湖北省武汉49中2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题 Word版含答案

武汉市第四十九中学
2020-2021学年度高一年级五月考试数学试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的）
1.已知向量false，false，则false（ ）
A.false B.4 C.7 D.false
2.在false中，已知false，false，false，则false（ ）
A.6 B.12 C.6或12 D.无解
3.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为false，腰和上底边长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.复数false，则false（ ）
A.false B.false C.false D.1
5.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形false是正方形，false，false分别是false，false的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线false与直线false是异面直线；
②直线false与直线false异面；
③直线false平面false；
④平面false平面false。
其中正确的有（ ）
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
6.在棱长为1的正方体false中，点false在线段false上运动，则下列命题中错误的是（ ）
A.直线false和平面falseAAD，D所成的角为定值
B.点false到平面false的距离为定值
C.异面直线false和false所成的角为定值
D.直线false和平面false平行
7.如图，在长方体false中，false，false，false为棱false上的一点，当false取最小值时，false的长为（ ）
A.false B.false C.false D.false
8.《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖膈.若三棱锥false为鳖臑，false平面false，false，false，三棱锥false的四个顶点都在球false的球面上，则球false的表面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.在空间四边形false中，false，false，false，false分别是false，false，false，false上的点，当false平面false时，下面结论正确的是（ ）
A.false，false，false，false一定是各边的中点
B.false，false一定是false，false的中点
C.false，且false
D.四边形false是平行四边形或梯形
10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径false相等，则下列结论正确的是（ ）
A.圆柱的体积为false
B.圆锥的侧面积为false
C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为false
11.如图，在透明塑料制成的长方体false容器内灌进一些水（未满），现将容器底面一边false固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（ ）
A.水的部分始终呈棱柱状
B.水面四边形false的面积为定值
C.棱false始终与水面false平行
D.若false，false，则false是定值
12.如图，正方体false的棱长为1，线段false上有两个动点false，false，且false，则下列说法中正确的是（ ）
A.存在点false，false使得false
B.异面直线false与false所成的角为false
C.三棱锥false的体积为定值false
D.false到平面false的距离为false
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（共20分，每道5分）
13.设向量false，false，若false，则false______，若false，则false______.
14.若圆台的母线与高的夹角为false，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为______.
15.已知复数false满足false，则false（其中false是虚数单位）的最小值为______.
16.如图，已知棱长为2的正方体false中，点false在线段false上运动，给出下列结论：
①异面直线false与false所成的角范围为false；
②平面false平面false；
③点false到平面false的距离为定值false；
④存在一点false，使得直线false与平面false所成的角为false。其中正确的结论是______.
四、解答题（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知向量false，false.
（1）若false，求false的值；
（2）若false与false的夹角为false，求false的值.
18.如图，false矩形false所在的平面，false、false分别是false、false的中点.
（1）求证：false平面false；
（2）求证：false.
19.已知四棱锥false的底面是面积为16的正方形false，侧面是全等的等腰三角形，一条侧棱长为false，计算它的高和侧面三角形底边上的高。
20.如图，三棱锥false的底面是等腰直角三角形，其中false，false，平面false平面false，点false，false，false，false分别是false，false，false，false的中点.
（1）证明：平面false上平面false；
（2）当false与平面false所成的角为false时，求二面角false的余弦值.
21.在斜三棱柱false中，false，false平面false，false，false分别是false，false的中点.
（1）求证：false平面false；
（2）已知false，斜三棱柱false的体积为8，求点false到平面false的距离.
22.在四棱锥false中，底面false是菱形，false.
（Ⅰ）若false，求证：false平面false；
（Ⅱ）若平面false平面false，求证：false；
（Ⅲ）在棱false上是否存在点false（异于点false）使得false平面false，若存在，求false的值；若不存在，说明理由.
武汉市第四十九中学
2020-2021学年度高一年级五月考试数学试题
参考答案
1.A 2.C 3.D 4.C 5.B
6.A 7.D 8.C 9.CD 10.BD
11.ACD 12.BCD
13.4 false 14.false 15.1 16.②③
17.（1）1；（2）0或false.
解：（1）因为false，所以，false，解得false；
（2）由已知可得false，false，
由平面向量数量积的定义可得false，即false，
整理得false，
解得false或false，
∵false，所以false或false都符合题意.
18.解析：（1）取false的中点false，连接false，false，∵false为中点，
∴false为false的中位线，∴false
又∵false，∴false
∴四边形false为平行四边形，∴false
又∵false平面false，false平面false，
∴false平面false
（2）∵false平面false，false平面false，∴false
∵false，false，∴false平面false
∴false
取false的中点false，连接false，false，
∴false
∴false
又∵false，false
∴false平面false
∵false平面false
∴false
19.四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为false
解：如下图所示：
作false为四棱锥false的高，
作false于点false，
则false为false的中点.
连接false，则false，false.
∵底面正方形false的面积为16，
∴false，false.
则false.又false，
在false中，由勾股定理，可得
false.
在false中，由勾股定理，可得
false，
即四棱锥的高为6，侧面三角形底边上的高为false.
20.（1）证明见解析；（2）false
（1）证明：由题意可得，false，
点falsefalse分别是false，false的中点，
故false，故false，
平面false平面false，交线为false，
故false平面false
又∵false在平面false内，
故平面false平面false
（2）连结false，由false，点false是false的中点，可知false
再由平面false平面false，可知false平面false，
连结false，可知false就是直线false与平面false所成的角，
于是false，
false
法一：分别以false，false，false为false，false，false轴建立如图所示空间直角坐标系，
则false，false，false，false，false，
false，false
设平面false的一个法向量为false，
则false得false
取false，则false，即平面false的一个法向量为false，
又平面false的一个法向量为false，
于是false
注意到二面角false是钝角，所以二面角false的余弦值为false.
法二：
取false的中点false，连接false，false，则false，得点false在平面false内.
又因为平面false平面false，false在平面false内的射影就是false，
由false，得false，
故二面角false的平面角为false，
false是等腰三角形，点false，false分别是false，false的中点，
故false.
于是false
所以false
所以二面角false的余弦值为false.
21.（1）证明见解析；（2）false.
【详解】
（1）连结false，false，由三棱柱false知，四边形false为平行四边形，
因为false，false分别是false，false的中点，即false为中位线，所以false且false，
因为false平面false，false平面false，所以false平面false.
（2）因为false平面false，所以false为三棱柱false的高，
又因为false，且false，所以false，
而false，所以false，
因为false平面false，所以点false到平面false的距离等于点false到平面false的距离，
由等体积法得false即false,
所以false，即点false到平面false的距离为false.
22.（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）不存在.
【详解】
（Ⅰ）因为底面false是菱形
所以false.
又因为false，false，
所以false平面false.
（Ⅱ）因为平面false平面false，平面false平面false，
false，false面false
所以false.
因为底面false是菱形
所以false
所以false
（Ⅲ）不存在.下面用反证法说明.
假设存在点false（异于点false）使得false平面false
在菱形false中，false，
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false.
false，
所以平面false平面false.
而平面false与平面false相交，矛盾.