湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考数学试题 Word版含解析

湖南省部分学校2020-2021学年高一下学期6月联考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章到第九章第一节．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．false的实部为（ ）
A．false B．3 C．false D．11
2．如图，网格纸中小正方形的边长均为1，A，B，C，D，E，F，G这7个点都是小正方形的顶点，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．下列判断正确的是（ ）
A．空间中任意三点确定一个平面
B．垂直同一个平面的两条直线互相垂直
C．一个西瓜切3刀最多可切成8块
D．垂直同一个平面的两个平面互相平行
4．已知O为复平面内的原点，复数false在复平面内对应的点分别为A，B，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．圆柱形容器内部盛有高度为h的水，若放入两个直径为false的铁球（球的半径与四柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球（如图所示），则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知正四棱锥false的所有棱长均为false，E，F分别是false的中点，则false（ ）
A．false B．false C．false D．3
8．若向量false满足false，false，且当false时，false的最小值为false，则false（ ）
A．false B．false C．6 D．false
二、选择题：本题共4小题，每个小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在复数集内，（ ）
A．方程false有两个解 B．方程false只有实数解
C．方程false只有两个解 D．方程false的两个解互为共轭复数
10．已知false的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由下列条件可以得出false为锐角三角形的是（ ）
A．false B．false
C．false中的最小角为false D．false中最大角的正切值为2
11．定义一种向量运算“⊕”：false（false为任意向量）．则（ ）
A．false B．false
C．false D．当false是单位向量时，false
12．如图，正方体false的棱长为false，M为线段false上的动点，则（ ）
A．当false时，异面直线false与false所成角的正切值为false
B．当false时，四棱锥false外接球的体积为false
C．false的最小值为false
D．直线false与底面false所成最大角的正切值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若向量false，则false_______．
14．写出一个复数z，使得z在复平面内对应的点位于第三象限，但false在复平面内对应的点位于第一象限，则false_________．
15．梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆，湖南，湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰．某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为false，在点B处测得P的仰角为false，则金顶P的海拔为________米．（结果精确到整数部分，取false）
16．在长方体false中，E为棱false上一点，F为棱false的中点，且false，false，false，false，则平面false截该长方体所得截面为________边形，截面与侧面false、侧面false的交线长度之和为______________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
某大学工商管理专业共有1000名大学生，其中男生有520名．为了解该专业大学生的身高情况，李明按男生，女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生，女生的平均身高分别为false，false．假设李明在各层中按比例分配样本．
（1）如果总样本量为200，那么李明在男生，女生中分别抽取了多少名?
（2）请估计这1000名大学生的平均身高．（结果精确到0.01）
18．（12分）
已知z的共轭复数false．
（1）求z；
（2）若false，求false．
19．（12分）
如图，在正三棱锥false中，D，E，F，G分别为false的中点．
（1）证明：D，E，F，G四点共面，且false平面false．
（2）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于false与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为false，故各个顶点的曲率均为false．若正三棱锥false在顶点S的曲率为false，且false，求四边形false的面积．
20．（12分）
在平行四边形false中，false．
（1）用false表示false；
（2）若false，求false；
（3）若false，求false．
21．（12分）
如图，在四棱柱false中，false，且侧面false底面false，false，false．
（1）过false求作一条直线，使该直线既与false垂直又与false垂直，并说明理由；
（2）已知false，若四棱柱false的体积为false，求点D到平面false的距离．
22．（12分）
如图．在平面四边形false中，false．
（1）设false，证明false为定值．
（2）若false，记false的面积为false，false的面积为false．false，求S的最大值．
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数学参考答案
1．D 因为false，所以false的实部为11．
2．D 由图可知false，则false．则false．
3．C 空间中任意三点不一定可确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误．
4．B 因为false，所以A的坐标为false，又B的坐标为false，所以false．
5．A 依题意可得false，解得false．
6．C 因为false，所以false，即false．又false，则false，
从而false．又false，故false．
7．A 如图，设正方形false的中心为O，连接false，则false平面false，false．设false的中点为H，连接false，则false，所以false．在false中，false，false，false，所以由余弦定理可得false所以false．
8．D 由向量的减法法则可得，当向量false与false垂直时，false取得最小值，
则false，解得false，
则false，故false．
9．ABD 因为方程false的解为false，所以A正确．方程false的解为0和2，故B正确．方程false有四个解，分别为false，false，故C错误．方程false的解为false，故D正确．
10．ACD 若false，则false为锐角三角形．若false，则false，从而false，因为false，所以false为钝角三角形．当false中的最小角为false时，假设该三角形不是锐角三角形，则必有一个角不小于false，则另一个角必小于false，从而最小角不是false，所以假设不成立，则该三角形必为锐角三角形．若false中最大角的正切值为2，则最大角为大于false的锐角，从而三角形必为锐角三角形．
11．AD 当false共线时，false；当false时，false；当false为钝角时，false，故A正确．当false均为非零向量且共线时，false，故B错误．当false均为非零向量，false与false均不共线，且false时，false，false，false，false，故C错误．若false是单位向量，当false与false不共线时，则false；当false与false共线时，则false，故D正确．
12．ABC 对于A，如图1，取false的中点E，连接false，因为false，所以M为false的中点，所以false，则false为异面直线false与false所成的角．易证false，则false，故A正确．
对于B，设O为侧面false的中心，因为false，所以四棱锥false外接球的半径为1，其体积为false，故B正确．
对于C，如图2，将等边false沿false旋转，使false与等腰直角false在同一个平面内，则当D，M，false三点共线时，false最小，此时false，所以false，所以false，故C正确．
对于D，易知直线false与底面false所成角为false，当false时，false取得最小值，此时正切值最大，故false的最大值为false，故D错误．
13．5 因为false，所以false，false，则false，从而false．
14．false（答案不唯一） 只要false满足false，且false即可．
15．2494 设false米，依题意可得false，则false．因为false，所以false，则false，所以false米，故金顶P的海拔为false米．
16．五；false 如图，设平面false与棱false分别交于G，H，则截面为五边形false．易证false，false，则false，
则false．
因为false，
所以false，
从而false．
17．解：（1）男生被抽取了false名， 2分
女生被抽取了false名． 4分
（2）这1000名大学生的平均身高的估计值为false 7分
false． 10分
18．解：（1）因为false
false， 2分
所以false， 4分
故false． 6分
（2）由（1）可知false， 7分
因此false， 9分
所以false． 12分
19．（1）证明：因为D，E，F，G分别为false的中点，
所以false， 1分
所以false，即D，E，F，G四点共面． 2分
又因为false平面false，false平面false， 3分
所以false平面false． 4分
（2）解：由D，E，F，G分别为false的中点，同理可证false． 5分
在正三棱锥false中，易知顶点S的三个面角均相等，不妨设面角为false，由曲率定义，得false，则false． 6分
由false，可知false均为斜边为2的等腰直角三角形，false为边长为2的正三角形． 7分
如图，记false的中点为O，连接false，则false， 8分
所以false平面false，则false， 9分
所以false，四边形false为矩形， 10分
false， 11分
所以四边形false的面积为false． 12分
20．解：false， 2分
false． 4分
（2）因为false， 5分
所以false，
则false， 6分
解得false． 8分
（3）因为false，所以false， 9分
falsefalse． 12分
21．解：（1）过false作false，垂足为H， 1分
则直线false即要求作的直线． 2分
证明如下：
因为侧面false底面false，侧面false底面false，
所以false底面false． 3分
因为Afalse平面false，所以false且false． 4分
（2）由（1）知，false底面false，
因为false，所以false． 5分
设梯形false的高为h，则四棱柱false的体积false，解得false． 6分
因为false，所以false为该梯形的高，则false，
又false，所以false侧面false． 7分
（方法一）取false的中点F，连接false，过H作false，垂足为E，连接false，
易证false平面false，则false． 8分
因为false，
且false，所以false， 9分
则false，
所以false的面积为false． 10分
设点D到平面false的距离为d，
由false，得false， 11分
解得false，故点D到平面false的距离为false． 12分
（方法二）因为false，所以false． 8分
因为false，所以false．
连接false，则false，从而false． 9分
所以false的面积为false． 10分
设点D到平面false的距离为d，
由false，得false， 11分
解得false，故点D到平面false的距离为false． 12分
22．（1）证明：设false，则false．
在false中，因为false，所以false． 1分
在false中，由余弦定理false， 2分
即false， 3分
则false，即false， 4分
故false为定值． 5分
（2）解：在false中，false，
则false，false． 7分
false 8分
false
false， 10分
当false时，S取得最大值false． 12分