江苏省八校（联考）2020-2021学年高一下学期期中考试（5月）数学试题 Word版含答案

江苏省八校2021年春学期高一年级期中考试
高一数学试卷 2021.5
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.复数（i是虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米中，夹谷约为（）
A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 454石
3.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC=2AC，则楼高AB约为（ ）
A. 65米 B. 74米 C. 83米 D. 92米
4.欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献. 著名的欧拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 结合欧拉公式，复数z=在复平面内对应的点位于 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.道家的理论：无极生有极，有极生太极，太极生两仪（阴阳），两仪生四象（东西南北），四象生八卦（乾、坤、坎、离、震、巽、艮、兑）。八卦是中国文化的基本哲学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中,给出下列结论:
①与的夹角为; ②;
③; ④在上的投影向量为?(其中为与同向的单位向量).
其中正确结论为? ( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
6.在下列条件中，可判定平面与平面平行的是（ ）
A. ，都平行于直线
B. 内存不共线的三点到的距离相等
C. ，是内的两条直线，且，
D. ，是两条异面直线，且，，，
7.在四棱锥中，四边形是矩形，，动点在线段上，,则当?最小时，直线与平面所成角的正切值为（? ? ）
A. B. C. D.
8.已知非零向量与满足且，若，则的面积为? ???
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共5小题，共25.0分）
9.复数z=1+2i（i为虚数单位），为z的共轭复数，则下列结论正确的是（　　）
A. z?=5 B. 的虚部为-2i
C. 复数z是方程x2-2x+5=0的一个虚根 D. 若复数z1满足|z1|=1，则|z-z1|max=+1
10.关于平面向量，，，下列说法不正确的是
A. 若//，//，则 B. （）·=·（）
C. 若·（）=3，且，则 D. 若·=·，则=
11.2019年4月，我省公布新高考改革“3+1+2”模式.“3”即语文、数学、外语为必考科目.“1”即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2”即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如图所示，“仅物理”表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生计划；“仅历史”表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生计划；“物理或历史”表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生计划根据图中数据分析，下列说法正确的是（ ）
选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%
选物理的考生可报大学专业占47.53%
C. 选历史的考生大学录取率为2.83%
D. 选历史的考生可报大学专业占52.47%
12.已知菱形ABCD中，BAD=，AC与BD相交于点E.将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（? ?）
A. DM与BC不可能垂直
B. 存在一个位置，使为等边三角形
C. BDCM
D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.数据x1，x2，x3的方差为－9，则数据2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1的平均数为_____．
14.已知＝（1，2），＝（1，1），且与+λ的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________
15.已知长方体的顶点都在球的表面上，且，则球的表面积为??????????.若与所成的角为，则与所成角的余弦值为??????????. （第1空2分，第2空3分）
16.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设，若（λ∈R），则λ的值为________
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.?（本小题满分10分）已知复数，是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．
18. （本小题满分12分）如图, 四边形ADEF为正方形, ED平面ABCD, ADCD,AB//CD,AB=AD=2, CD=4, M为CE的中点.
(1)求证: BM平面ADEF;
(2)求证: BC平面BDE.
19. 某超市从甲、乙两种酸奶的日销售量单位：箱的数据中分别随机抽取100个．整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：
分组日销售量 频率甲种酸奶





写出频率分布直方图8中的a的值；并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量单位：箱的方差分别为，，试比较与的大小；只需写出结论
假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月按30天计算的销售量总量．
20. （本小题满分12分）在①asin(A＋C)＝bcos(A－)，②1＋2cosCcosB＝cos(C－B)－cos(C＋B)，③。
这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答。
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2，a＝，______。求△ABC的面积。
21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD中，底画ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．
(1)求三棱锥P－AMN的体积；
(2)求二面角M－AN－D的正切值．
22. （本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若c＝1，，P为满足题设条件的所有△ABC中线段AB上任意一点（可与端点重合），求的最小值．
2021年春学期高一年级期中考试
高一数学试卷 2021.5
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.C 2. B 3.B 4.D 5. C 6.D 7. B 8. A
二、多选题（本大题共4小题，共20分）
9.ACD 10.ABD 11. AD 12. BCD
三、单空题（本大题共4小题，共20分）
13.7 14. 15. 8π ； 或??????? 16. ?
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.?已知复数，是实数．
（1）求复数z；
（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值．
解：（1）∵z=1+mi，
∴=，
∵是实数，∴，即m=-4，
∴z=1-4i；-----------------------------------------------------------------5分
（2）∵z0=m+z-1=-2-4i是关于x的方程x2+bx+c=0的根，
∴（-2-4i）2+b（-2-4i）+c=0，
即（-2b+c-12）+（16-4b）i=0，
则，解得b=4，c=20．-------------------------------------------10分
18.如图, 四边形ADEF为正方形, ED平面ABCD, ADCD,AB//CD,AB=AD=2, CD=4, M为CE的中点.
(1)求证: BM平面ADEF;
(2)求证: BC平面BDE.
证明: (1)取DE中点N, 连接MN,AN,
在EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,
MNCD,且MN=CD,
由已知中ABCD,AB=AD=2,CD=4,
MNAB,且MN=AB,
四边形ABMN为平行四边形,
BMAN, -----------------------------------------------3分
又AN平面ADEF,BM平面ADEF, ----------------------------------------5分
BM平面ADEF; -----------------------------------------------6分
(2)四边形ADEF为正方形,
EDAD,
又正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直, 且ED平面ADEF,
ED平面ABCD,
BC平面ABCD,EDBC, -----------------------------------------------8分
在直角梯形ABCD中, AB=AD=2, CD=4, 可得BC=2,
在BCD中,BD=BC=2,CD=4,
+=,即BCBD, -----------------------------------------------10分
又BDED=D,BD、ED平面BDE，
BC平面BDE. -----------------------------------------------12分
19. 解：------------------------------------2分
----------------------------------------5分
．-----------------------------------------------8分
乙种酸奶平均日销售量为：
箱．
--------------------------------------------------------------------------10分
乙种酸奶未来一个月的销售总量为箱．-------------------12分
20.在①asin(A＋C)＝bcos(A－)，②1＋2cosCcosB＝cos(C－B)－cos(C＋B)，③。
这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答。
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＋c＝2，a＝，______。求△ABC的面积。
解：若选,由正弦定理得AB=B(A-)
因为0< B<π,
所以B0,所以A=(A-),
化简得A=A+A,
所以(A+)=0.
因为0< A<π,所以A=,--------------------------------------------6分（没有A范围扣1分）
因为=+-2bc,a=,b+c=2,
所以bc=2, ----------------------------------------------10分
所以=bcA=2=.-----------------------------------------------12分
选②因为1+2cosCB=(C-B)-(C+B),
所以1-(C-B)+(C+B)+2CB=1+2(C+B)=1-2A=0,
所以A=,
因为C为三角形的内角,所以A=,----------------------------------6分（没有A范围扣1分）
因为=+-2bc,a=,b+c=2,
所以bc=2, ----------------------------------10分
所以=bcA=2=.---------------------------------12分
选因为=,
所以由正弦定理可得:=,
可得,
可得:==,
因为B0,C0,
所以解得A=,因为A(0,),所以A=.----------------------------------6分（没有A范围扣1分）
因为=+-2bc,a=,b+c=2,
所以bc=2, ---------------------------------10分
所以=bcA=2=.---------------------------------12分
21.如图，四棱锥P—ABCD中，底画ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⊥AB．
(1)求三棱锥P－AMN的体积；
(2)求二面角M－AN－D的正切值．
解析⑴ ∵PB=PC,∴PN⊥BC,又∵PN⊥AB,AB∩BD=B,AB、BC,
∴PN⊥平面ABCD, ---------------------------------3分
∵AB=BC=PB=PC=2,
∴PN=,---------------------------------5分
∴----------------------------6分
⑵ 取DN中点E,连接ME,∵M、E为中点，∴ME∥PN,∵PN⊥平面ABCD,∴ME⊥平面ABCD
过E作EQ⊥AN,则MQ⊥AN,∠MQE即为该二面角的平面角，--------------------------9分
∴
∵PN=,∴,∵∴,
∴---------------------------------11分
即该二面角的正切值为---------------------------------12分
22.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若
（1）判断△ABC的形状，并证明；
（2）若c＝1，，P为满足题设条件的所有△ABC中线段AB上任意一点（可与端点重合），求的最小值．
【答案】解：（1）
，
∴c2＝a2＋b2，
即△ABC为直角三角形；---------------------------------4分
（2）如图建立平面直角坐标系：C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，|AB|＝1，
则：A（a，0），B（0，b），
∴，
设P（x0，y0），
∴
，---------------------------------8分
∴当时，
，---------------------------------10分
，
，
∴，
当，，，或，，，时等号成立. ---------------------------------12分
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