江苏省连云港市市四星级部分高中2020-2021学年高二下学期5月联考数学试题 Word版含答案

1035050012293600四星级高中2020－2021学年度第二学期联考
数学试卷
一、单选题
1.89×90×91×…×100可以表示为（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.若复数z满足false（i是虚数单位），则false（ ）
A.2 B.false C.5 D.false
3.设false是一个平面，m，n是两条直线，则m⊥false的充分不必要条件是（ ）
A.false内有无数条直线与m垂直 B.false内有两条直线与m垂直
C.n⊥false，m//n D. n//false，m⊥n
4.从“I love sy”（我爱实验）中取6个不同的字母排成一排，含有“sy”字母组合（顺序不变）的不同排列共有（ ）
A.360种 B.480种 C.600种 D.720种
5.碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ）
A.3∶1 B.3∶2 C.1∶3 D.2∶3
6.某校有500人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布false，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的false，则此次数学成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）
A.75 B.100 C.150 D.200
7.设false且0≤a＜13，若false能被13整除，则a等于（ ）
A.0 B.1 C.11 D.12
8.已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）
A.false B. false C. false D. false
二、多选题
9.设离散型随机变量X的分布列如下表：
X
1
2
3
4
5
P
m
0.1
0.2
n
0.3
若离散型随机变量Y＝－3X＋1，且E（X）＝3，则（ ）
A.m＝0.1 B.n＝0.1 C.E（Y）＝－8 D.D（Y）＝－7.8
10.设z为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.false B.false
C.若false，则false的最大值为2 D.若false，则false
11.下列等式正确的有（ ）
A.false B. false
C.false D.false
12.正方体false的棱长为1，E，F，G分别为BC，false的中点．则（ ）
A.直线false与直线AF垂直 B.直线false与平面AEF平行
C.平面AEF截正方体所得的截面面积为false D.点C与点G到平面AEF的距离相等
二、填空题
13.7个人分乘三辆不同的汽车，每辆车最多坐3人，则不同的乘车方法有 种（用数字作答）．
14.设false，则false＝ ．
15.小赵、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了龙虎山、三清山、井冈山、庐山四个景点的旅游，且每人只参加了其中一个景点的旅游，记事件A为“4个人去的景点互不相同”，事件B为“只有小赵去了龙虎山景点”，则false ．
16.在三棱锥P－ABC中，PA＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，若PA与底面ABC所成的角为60°，则点P到底面ABC的距离是 ；三棱锥P－ABC的外接球的表面积 ．
五、解答题
17.在三棱柱false中，AB⊥AC，false⊥平面ABC，E、F分别是AC、false的中点．
（1）求证：EF∥平面false；
（2）求证：平面false⊥平面false．
18.在二项式false的展开式中， ．给出下列条件：①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；②所有奇数项的二项式系数的和为256；③若展开式中第7项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项．
（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分）
19.已知关于x的方程x2＋（2＋i）x＋2ab＋（a－b）i＝0有实数根，其中a，b∈R，i为虚数单位．
（1）求复数z＝a＋bi在复平面内的对应点的轨迹方程；
（2）若复数z＝a＋bi满足false，求false．
20.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干道路口监控设各所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：
月份
1
2
3
4
5
违章驾驶人次
120
105
100
95
80
（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次y与月份x之间的关系，求y关于x的回归直线方程false，并预测该路口9月份不“礼让行人”的违章驾驶人次；
（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽査70人，调査驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：
不礼让行人
礼让行人
驾龄不超过1年
24
16
驾龄1年以上
16
14
能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？
附：false（其中n＝a＋b＋c＋d）．
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21.某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元．如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉．奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：
日需求量杯数
20
25
30
35
40
45
50
天数
5
5
10
15
10
10
5
以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（1）从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；
（2）①若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用ξ表示当天销售这款新品奶茶的利润（单位：元），求ξ的分布列和数学期望；
②假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗？请说明理由．
22.如图，已知三棱柱false，平面false⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，false，E，F分别是AC，false的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）求直线EF与平面false所成角的余弦值；
（3）求二面角false的正弦值．
2020－2021学年度第二学期联考数学参考答案
1—4 CDCC 5－8 BDD 9. BC 10. ACD 11. ACD 12.BC
13.1050 14.20 15.false 16.false
17.证明（1）由于E，F分别是AC，的中点，所以 false．
由于false平面false平面false，所以EF∥平面false．……………………4分
（2）由于false⊥平面ABC，false平面ABC，所以false⊥AB
由于AB⊥AC，false，所以AB⊥平面false．………………8分
由于false平面false，所以平面false⊥平面false．………………10分
18.（说明：选择多个求解的按第一个给分）
解：选择①：，false，
即false，即（n＋10）（n－9）＝0，解得n＝9或n＝－10（舍去）
选择②：false，即false，解得n＝9
选择③：false，则有false，所以false．
因为展开式中第7项为常数项，即r＝6，所以n＝9……………………4分
（1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，
false．…………8分
（2）展开式通项为：false，
令false，
∴展开式中常数项为第7项，常数项为false．…………………12分
19.（1）设关于x的方程x2＋（2＋i）x＋2ab＋（a－b）i＝0的实数根为m，
所以false，即false
所以false，消去m得：false，
所以复数z＝a＋bi在复平面内的对应点的轨迹方程为：false．………………6分
（2）因为复数z＝a＋bi满足false，
所以false，即false，
又false，解得：false或false．…………10分
当z＝－2i时，false，
当z＝2－2i时，false．…………………12分
20.（1）由表中的数据可知，false，
所以false，故false，
所以所求的回归直线方程为false；……………………5分
令x＝9，则false人；…………6分
（2）提出假设false：“礼让行人”行为与驾龄无关，
由表中的数据可得false，………………11分
根据临界值可得，没有90%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．………………12分
21.（1）由题意得，从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率为：
false．………………2分
（2）①由题意可得：
如果当天只卖出20杯，则利润false元，false
如果当天只卖出25杯，则利润false元，false
如果当天只卖出30杯，则利润false元，false
如果当天卖出35杯，则利润false元，false．
所以false的分布列为：
false
－20
10
40
70
P
false
false
false
false
则false（元）．………………5分
②若店主每天准备40杯这款新品奶茶，
如果当天只卖出20杯，则利润false元，false；
如果当天只卖出25杯，则利润false元，false；
如果当天只卖出30杯则利润false元，false；
如果当天卖出3杯，则利润false元，false；
如果当天需求大于等于40杯，则利润false，false．
所以false的数学期望为：
false（元）．………………10分
因为false，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议．……12分
22.（说明：若采用空间向量求解时，根据解题过程酌情给分．）
证明：（1）连接false，E是AC的中点，false，
又平面false⊥平面ABC，false平面false，平面false平面ABC＝AC，
false⊥平面ABC，∴false
false，
false⊥平面false，
∴EF⊥BC………………4分
（2）取BC中点G，连接EG、GF，则false是平行四边形，
由于false⊥平面ABC，故false⊥EG，∴平行四边形false是矩形，
由（1）得BC⊥平面false，则平面false⊥平面false
∴EF在平面false上的射影在直线false上，
连接false，交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面false所成角（或其补角），
不妨设AC＝4，则在Rt△false中，false，∵O是false的中点，故false，false，
∴直线EF与平面false所成角的余弦值为false．………………8分
（3）过点B作BH⊥AC于H，连接AH，因为平面false⊥平面ABC，所以BH⊥平面false，所以false在平面false的射影是false．
设二面角false为false，由图示知false为锐角，
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，设false，所以BC＝1，false，
在false中，false，
false．
所以二面角false的正弦值为false．………………12分