江苏省南京第一高级中学校2020-2021学年高一下学期5月阶段性检测数学试题 Word版含答案

南京一中2020-2021学年第二学期5月阶段性检测试卷
高一数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.设复数false（其中false为虚数单位），则复数false在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知角false的终边在直线false上，则false的值为（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心.若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.已知false，false是两条不同的直线，false，false是两个不同的平面，且false，false，则“false”是“false”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.《算术书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长false与高false，计算其体积false的近似公式，false，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率false近似取3，那么，近似公式false相的中当于将圆锥体积公式中的false近似取（ ）
A.false B.false C.false D.false
6.在false中，内角false，false，false的对边分别为false，false，false，若false的面积为false，且false，false，则false外接圆的面积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
7.等边三角形false的边长为4，false、false分别为false，false的中点，沿false将false折起，使得面false与面false所处的二面角为false，则四棱锥false的体积为（ ）
A.false B.false C.false D.3
8.如图，正方体false的棱长为1，线段false上有两个动点false、false，且false，则下列结论中正确的是（ ）
A.线段false上存在点false、false使得false
B.false平面false
C.false的面积与false的面积相等
D.三棱锥false的体积不为定值
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.若false，false是两条不同直线，false，false是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A.若false，false，则false
B.若false，false，则false
C.若false，false，则false
D.若false，false，则false
10.设false，false是两个非零向量.则下列命题为假命题的是（ ）
A.若false，则false
B.若false，则false
C.若false，则存在实数false，使得false
D.若存在实数false，使得false，则false
11.在false中，false，false，下列各式正确的是（ ）
A.false B.false
C.false D.false
12.下列说法正确的是（ ）
A.在false中，若false，则点false是边false的中点
B.已知false，false，若false，则false
C.已知false，false，false三点不共线，false，false，false三点共线，若false，则false
D.已知正方形false的边长为1，点false满足false，则false
三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量false，false，false，false为实数，且false，则false______.
14.求值：false______.
15.在false中，false，false，false，点false在线段false上，若false，则false______.
16.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥false中，false是false的中点，且false，底面边长false，则正三棱锥false的体积为______，其外接球的表面积为______.
四.解答题（本大题共6小题，共70分）
17.在平面直角坐标系false中，已知点false，false，false.
（1）求以线段false，false为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（2）在false中，设false是边false上的高线，求点false的坐标.
18.在false中，内角false，false，false所对的边分别为false，false，false已知false.
（Ⅰ）求角false的大小
（Ⅱ）若false，false的面积为false，求false的周长.
19.如图，在四棱锥false中，平面false平面false，false平面false，false，false.
求证：（1）false平面false；
（2）平面false平面false.
20.已知函数false（false），直线false是函数false的图象的一条对称轴.
（1）求函数false的单调递增区间；
（2）已知函数false的图象是由false的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移false个单位长度得到的，若false，false，求false的值.
21.如图，在四棱锥false中，false平面false，false，false，false，false，false，false.
（Ⅰ）求异面直线false与false所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：false平面false；
（Ⅲ）求直线false与平面false所成角的正弦值.
22.某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，false为地面，false，false为路灯灯杆，false，false，在false处安装路灯，且路灯的照明张角false.已知false，false.
（1）当false，false重合时，求路灯在路面的照明宽度false；
（2）求此路灯在路面上的照明宽度false的最小值.
参考答案与解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.【答案】A
【解析】∵false，
∴复数false所对应的点的坐标为false，位于第一象限.
2.【答案】A
【解析】∵角false的终边在直线false上，在false的终边上任意取一点false，∴false，
则false.
3.【答案】C
【解析】根据题意知：圆锥的高为2，圆锥的底面半径为1，
所以圆锥的底面周长为false，圆锥的母线长为false，
所以圆锥的侧面展开面的面积为false.
4.【答案】A
【解析】false，false，则“false”false“false”，反之也成立.
∴false，false，则“false”是“false”的充要条件.
5.【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为false，则圆锥的底面周长false，
∴false，
∴false.
令false，
解得false.
6.【答案】B
【解析】∵false的面积为false，且false，false，
∴可得：false，
∴false，可得：false，
∵false，
∴false，
∴则false外接圆的半径false，
∴则false外接圆的面积false.
7.【答案】A
【解析】由题意画出图形如图，取false，false的中点false，false，易知false，
由题意可知false，棱锥的高为false
底面面积为：false
则四棱锥false的体积为：false
8.【答案】B
【解析】线段false上不存在点false、false使得false，
因为false在平面false平面外，false在平面内，
所以false，false是异面直线，所以A不正确；
连接false，几何体是正方体，所以false，可知false平面false，所以B正确.
false到false的距离为false，false到false的距离大于上下底面中心的连线，
则false到false的距离大于1，
∴false的面积大于false的面积，故C错误；
false到平面false的距离为false，false的面积为定值，
∴三棱锥false的体积为定值，故D不正确.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9.【答案】ABC
【解析】若false，则false垂直false内的所有直线及平行于false的所有直线，又false，∴false，故A正确；
若false，则false垂直于false内的两条相交直线false与false，又false，∴false垂直于false内的两条相交直线false与false，则false，故B正确；
若false，过false作平面与false相交，交线为false，则false，又false，则false，可得false，即false，故C正确；
若false，false，则false或false或false与false相交，相交也不一定垂直，故D错误.
10.【答案】ABD
【解析】对于A，若false，则false，得false，false与false不垂直，所以A不正确；
对于B，由A解析可知，false，所以B不正确，
对于C，若false，则false，得false，则false，则false与false反向，因此存在实数false，使得false，所以C正确.
对于D，若存在实数false，则false，false，由于false不能等于0，因此false，则false，所以D不正确.
11.【答案】CD
【解析】在false中，false，所以false，
所以false，解得false.
由于false，false.
所以false和false为方程false的两个根，
所以false.
所以false.
故AB错误，CD正确.
12.【答案】AD
【解析】对于A，取false中点false则false，则false点与点false重合，所以false是边false的中点.所以A正确
对于B，false，false，所以false.所以B不正确.
对于C，若false则false，所以false为false的中点，但条件没有.所以C不正确.
对于D，false.所以D正确.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.【答案】4
【解析】false，false，且false，
∴false，解得false.
14.【答案】false
【解析】原式false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false；
15.【答案】false
【解析】在直角三角形false中，false，false，false，false，
在false中，可得false，可得false；
false，
false，
即有false，
【答案】false，false
【解析】设false为false在底面false的投影，则false为等边三角形false的中心，
∵false平面false，false平面false，
∴false，又false，
∴false平面false，∵false平面false，
∴false，又false，false平面false，false平面false，false，
∴false平面false，
同理可证false平面false.
∴false，falsefalse两两垂直.
∵false≌false≌false，
∴false，
∵false，∴false.
∴三棱锥的体积false.
设外接球球心为false，则false在false上.
∵false.∴false，
设外接球半径为false，则false，false，
∵false，∴false，解得false.
∴外接球的表面积false.
四.解答题（本大题共6小题，共70分）
17.【解析】（1）由题意，可得false，false，
则false，false，
∴false，false，
即两条对角线的长为false和false；
（2）设点false的坐标为false，由点false在false上，设false，
则false，∴false，false，
即false∴false，
∵false，∴false，
即false，解得false，即点false的坐标为false.
18.【解析】（Ⅰ）∵false.
∴由正弦定理可得：false，
∵false，
∴可得：false，
∵false，
∴false.
（Ⅱ）∵false，false，false的面积为false，
∴解得：false，
∵由余弦定理可得：false，
∴解得：false，
∴false的周长false.
19.【解析】
证明：（1）∵false平面false，
而false平面false，平面false平面false，
∴false，
∵false平面false，false平面false，
∴false平面false.
（2）∵false，满足false，∴false.
由false，知false，
又∵平面false平面false，
平面false平面false，false平面false，
∴false平面false，
又∵false平面false，∴false，
∵false，false，∴false平面false.
∴false平面false，
∴平面false平面false.
20.【解析】（1）函数false
false（false），
∴直线false是函数false的图象的一条对称轴，
∴false，false，∴false，故false.
令false，求得false，
可的增区间为false，false.
（2）已知函数false的图象是由false的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，
可得false的图象；
然后再向左平移false个单位长度得到false的图象，
∵false，false，
∴false，∴false，
∴false
false
false
false.
21.【解析】（Ⅰ）如图，由已知false，
故false或其补角即为异面直线false与false所成的角.
因为false平面false，所以false.
在false中，由已知，得false，
故false.
所以，异面直线false与false所成角的余弦值为false.
证明：（Ⅱ）因为false平面false，直线false平面false，
所以false.
又因为false，所以false，
又false，所以false平面false.
解：（Ⅲ）过点false作false的平行线交false于点false，连结false，
则false与平面false所成的角等于false与平面false所成的角.
因为false平面false，故false为false在平面false上的射影，
所以false为直线false和平面false所成的角.
由于false，false，故false，
由已知，得false.又false，故false，
在false中，可得false.
所以，直线false与平面false所成角的正弦值为false.
22.【解析】（1）当false，false重合时，
由余弦定理知，false,
所以false，
因为false，
所以false，
因为false，
所以false，
因为false，
所以false.
∴在false中，由正弦定理可知，false，
解得false；
（2）易知false到地面的距离false，
由三角形面积公式可知，false，
所以false，
又由余弦定理可知，false，
当且仅当false时，等号成立，
所以false，解得false；
答：（1）路灯在路面的照明宽度为了false；（2）照明宽度false的最小值为false.