江苏省南京市南师大二附高2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题 Word版含答案

南师大二附中2020—2021学年度第二学期5月考
高一数学

试卷满分：150分 考试时间：120分钟
单项选择题（本大题8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上）
1．复数的模为（ ）
A． B．1 C．2 D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有一个面是多边形，其余各面都是梯形的几何体叫棱台
D．有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
3．已知单位向量, 向量夹角为，则是（ ）
A． B． C．1 D．0
4．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm2,高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ）
A．2cm; B．; C．4cm; D．8cm
5．圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的表面积为　　
A． B． C． D．
6．已知，且α为锐角，则cosα＝（ ）
A． B． C． D．
7．已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
8．如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论：
①与所在直线垂直； ②与所在直线平行；
③与所在直线成60°角； ④与所在直线异面.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．②④
二、多项选择题（本大题4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）
9．已知为虚数单位，复数，则以下真命题的是（ ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C． D．在复平面内对应的点在第一象限
10．在中，，，，则角的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
11．有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A．若////，则//
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若//，则存在唯一实数使得
12．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）
A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案填在答卷相应位置。）
13．某单位有三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n名志愿者支援西部大开发 ．若在部门恰好选出了6名志愿者，那么n＝________．
14．如图所示，为正三角形，，则__________．
15．已知，则___________.
16．张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家?文学家?数学家?地理学家，他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五，已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的内切球的表面积为___________.
四、解答题（本大题共6题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．复数是一元二次方程的一个根。
（1）求和的值；
（2）若,求。
已知均为锐角，且
求的值；
求的值。
19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是正三角形，，分别为，的中点，.
求证：
（1）平面；
（2）.
20．已知向量，，满足，，，．
（1）若，求实数x的值；
（2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值．
21．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，且，，，平面底面，为的中点，为等边三角形，是棱上的一点，设（与不重合）.
（1）若平面，求的值；
（2）当时，求二面角的大小.
22．某校新校区有一块形状为平面四边形的土地准备种一些花圃，其中A，B为定点，（百米），（百米）.
（1）若，（百米），求平面四边形的面积；
（2）若（百米）.
（i）证明：；
（ii）若，面积依次为，，求的最大值.
南师大二附中高一2020—2021学年度第二学期5月考数学
（答案）
1-8：DDCC ADCC
9-12:AD AC BC AB
13．24 14．-4 15． 16．
17．(1)因为,
所以,
由题意,知是一元二次方程的两个根,
所以解得.................................................................5分
(2)设,
则,
即,
所以解得
所以。.................................................................10分
18．
由，则...............................3分
所以，...............................6分
（2）因为，为锐角，则，所以................................................8分
所以，..........................................10分
又，所以..........................................12分
19．
（1）因为，为，中点，所以，
又为平行四边形，所以.
所以，
又平面，平面，
所以平面...........................................................6分
（2）连结，，
因为，为的中点，所以，，
因为三角形为等边三角形，所以，，
又，
所以平面，
平面，
所以...........................................................12分
20．（1）；（2）
（1）由题知，，，，，当时，，即，，解得．..........................................................4分
（2），易知当时，取最小值1，
此时，，且，
故与的夹角的余弦值．..........................................................12分
21．（1）1；（2）.
（1）为中点
四边形为平行四边形 ，则

为等边三角形且
，且，
连接，交于点，连接
为中点
平面，平面，平面平面
为中点 .........................................................4分
（2）为的中点，为等边三角形
平面底面，平面底面，平面
底面
连接，作交于点，则底面
作交于点，则，连接
平面， 平面
为二面角的平面角，
，

即二面角的大小为..........................................................12分
22．（1）（平方百米）；（2）（i）证明见解析；（ii）最大值为（平方百米）.
（1）令，在中，由余弦定理可得：
即，解得：或（舍）
在中，，，
所以，
在中，，，
所以边上的高为，
所以，
所以（平方百米）...........................................................4分
（2）在中，
在中
所以，
所以.
（ii）
所以
因为，
所以，可得
∴
所以时，，
即时取得最大值，且最大值为（平方百米）.......................................................12分
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