江苏省泰州市高中2020-2021学年高二下学期5月第二次月考数学试题 Word版含答案

1230630010909300泰州中学2020-2021学年度春学期高二年级月度测试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂到答题卡相应区域．
1．已知全集为实数集R，集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知i是虚数单位，复数false，若false，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
3．已知某一随机变量false的分布列如下，且false，则a的值为（ ）
false
4
false
9
false
0.5
0.1
false
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）

A．03999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
5．false展开式中false的系数为（ ）
A．10 B．24 C．32 D．56
6．设函数false定义域为D，若函数false满足：对任意false，存在a，false，使得false成立，则称函数false满足性质false．下列函数不满足性质false的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知奇函数false的导函数为false，false．当false时，false．若falsefalse，则实数a的取值范围是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8．在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即false，其中d是距离（单位cm），m是质量（单位g），k是弹簧系数（单位g/cm）．弹簧系数分别为false，false的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足false，并联时得到的弹簧系数k满足false．已知物体质量为20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为1cm，则并联时弹簧拉伸的最大距离为（ ）
A．0.25cm B．0.5cm C．1cm D．2cm
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请将答案填涂到答题卡相应区域．
9．已知false为复数，false是其共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ）
A．false B．false
C．若false为纯虚数，则false D．复数z是实数的充要条件是false
10．设false，下列结论正确的是（ ）
A．false
B．false
C．false，false，false，…，false中最大的是false
D．当false时，false除以2000的余数是1
11．下列命题正确的是（ ）
A．若函数false定义域为false，则函数false的定义域为false
B．false是false为奇函数的必要不充分条件
C．正实数x，y满足false，则false的最小值为5
D．false在区间false内单调递增，则实数m的取值范围为false
12．已知函数false是定义在R上的奇函数，当false时，false．则下列结论正确的是（ ）
A．当false时，false
B．函数false有四个零点
C．若关于x的方程false有解，则实数m的取值范围是false
D．对false，false，false恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．
13．已知命题false，false是假命题，则实数a的取值范围是________．
14．已知false，若false，则实数a的解集是________．
15．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有________种不同的答题顺序．

16．设false，函数false在定义域上有两个零点m，n，函数false有两个等点p，q，e为自然对数的底数，若false，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知复数false，false（false，i是虚数单位）．
（1）若false在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数false是实系数一元二次方程false的根，求实数m的值．
18．（本小题满分12分）
（1）计算：false；
（2）己知false，求false的值（用数字作答）．
19．（本小题满分12分）某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得false分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是false，回答第三个问题正确的概率为false，且各题回答正确与否相互之间没有影响，若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
（1）求至少回答对一个问题的概率；
（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列；
（3）求这位挑战者闯关成功的概率．
20．（本小题满分12分）定义在D上的函数false，若满足：对任意false，存在常数false，都有false成立，则称false是D上的有界函数，其中M称为函数false的上界．
（1）设false，判断false在false上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出false所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由．
（2）若函数false在false上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：
false
1
2
3
4
5
6
7
false
6
11
21
34
66
101
196
根据以上数据，绘制了散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内false与false（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：
支付方式
现金
乘车卡
扫码
比例
10%
60%
30%
车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有false的概率享受7折优惠，有false的概率享受8折优惠，有false的概率享受9折优惠，预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要false年才能开始盈利，求n的值．（线性回归方程系数精确到0.01，人数精确到整数）
false
false
false
false
false
66
1.54
2.711
50.12
3.47
参考数据：其中false，false
参考公式：对于一组数据false，false，…，false，其回归直线false的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：false，false．
22．（本小题满分12分）已知函数false，false．
（1）求函数false的极大值；
（2）对于函数false与false定义域上的任意实数x，若存在常数k，b，使得false和false都成立，则称直线false为函数false与false的“分界线”．设函数false，试探究函数false与false是否存在“分界线”？若存在，请加以证明，并求出k，b的值；若不存在，请说明理由．


参考答案
一、单项选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
C
B
D
B
D
A
二、多项选择题：
9
10
11
12
BD
AD
AC
AD
三、填空题：
13．false或false
14．false
15．60
16．false
四、解答题：
17．解：（1）由题意得，false，
因为false在复平面内对应的点落在第一象限，所以false，
解得：false，
∴实数a的取值范围是false；………………………………………………5分
（2）∵虚数false是实系数一元二次方程false的根，
得false，即false，
所以false，解得false，所以实数m的值是18．………………10分
18．解：（1）false；……………………4分
（2）由false
false，
化简得false，得false或false（舍），………………………8分
∴false
false．……………………12分
19．解：（1）依题意，设事件A表示“至少回答对一个问题”，则事件A的对立事件false表示“三个问题全部回答错误”，…………2分
∴false；………………………………4分
（2）这位挑战者回答这三个问题的总得分X所有可能的取值为false，0，10，20，30，40，
false，false，
false，false，
false，false．
所以X的分布列为：
X
false
0
10
20
30
40
P
false
false
false
false
false
false
……………………………………………………………………………………………………8分
注：每答对一个给1分
（3）依题意总分不低于10分就算闯关成功，
∴这位挑战者闯关成功的概率false．……10分
答：至少回答对一个问题的概率false，这位挑战者闯关成功的概率false．……………………12分
20．解：（1）false，
则false在false上是增函数；
故false；故false；
故false；
故false是有界函数；
故false上所有上界的值的集合为false；…………………………………………5分
（2）∵函数false在false上是以3为上界的有界函数，
∴false在false上恒成立；
即false，
∴false，
∴false；…………………………………………………………7分
令false，则false；
故false在false上恒成立；
故false，false；
即false；………………………………………………………………………11分
故实数a的取值范围为false．………………………………………………………12分
21．解：（1）根据散点图判断，false适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；………………………………2分
（2）∵false，两边同时取常用对数得：false；
设false，∴false，
∵false，false，false，
∴false，……………………………………4分
把样本中心点false代入false，
得：false，
∴false，∴false，
∴y关于x的回归方程为：false；……6分
把false代入y关于x的回归方程，得false；
故活动推出第8天使用扫码支付的人次为347；………………………………………8分
（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z，
则Z的取值可能为：2，1.8，1.6，1.4；
false；
false；
false；
false，
所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：
false（元），……10分
由题意可知：false，false，
所以n取7；估计这批车需要7年才能开始盈利．…………………………12分
22．（1）解：∵false，
∴false，………………………………………………………………2分
令false，解得false；令false，解得false，
∴函数false在false上递增，false上递减，
∴false；………………………………………………………………4分
（2）设false，
则false．
∴当false时，false，函数false单调递减；
当false时，false，函数false单调递增．
∴false再是函数false的极小值点，也是最小值点，
∴false．
∴函数false与false的图象在false处有公共点false．…………………………6分
设false与false存在“分界线”且方程为：false．………………7分
令函数false，
（i）由false在false上恒成立，
即false在R上恒成立，
∴false成立，
∴false，故false．……………………………………………………9分
（ii）下面再证明：false恒成立．
设false，则false．
∴当false时，false，函数false单调递增；
当false时，false，函数false单调递减．
∴false时，false取最大值：false，则false恒成立．
综上（i）和（ii）知false且false，…………………………11分
故函数false与false存在分界线为false，
此时false，false．………………………………………………………………12分