人教版A高一数学必修1 第一章第三节函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值(共36张PPT)

(共36张PPT)
1.3.1单调性与最大（小）值
[最新考纲]
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性.
知
识
梳
理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数
当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
f(x1)＜
f(x2)
f(x1)＞
f(x2)
续表
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是
下降的
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是
或
，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
增函数
减函数
2．函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有
；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
(3)对于任意x∈I，都有
；
(4)存在x0∈I，使得
.
结论
M为最大值
M为最小值
f(x)≤M
f(x)≥M
f(x0)＝M
辨
析
感
悟
1．函数单调性定义的理解
(1)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在D上是增函数．
(√)
(2)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．
(√)
[感悟·提升]
1．一个区别　“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”的区别：前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集，如(5)．
2．两个防范　一是注意函数的定义域不连续的两个单调性相同的区间，要分别说明单调区间，不可说成“在其定义域上”单调，如(3)；
二是若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集，如(6).
考点一　确定函数的单调性或单调区间
规律方法
(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
考点二　利用单调性求参数
规律方法
利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
(2)f(x)在[a，＋∞)上是减函数，对于g(x)，只有当a>0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f(x)和g(x)的减区间的子集即可，则a的取值范围是0答案　(1)C　(2)D
考点三　利用函数的单调性求最值
规律方法
求函数最值的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
答案　－1
1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．
2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．
易错辨析1——分段函数单调性的判定
[防范措施]　对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
答案　C