12.2.2利用两边夹角(SAS)判定三角形全等 课件-2021--2022学年人教版八年级数学上册（28张）

(共28张PPT)
八年级上册
RJ
12.2.2利用两边夹角判定三角形全等
感悟新知
全等三角形判定“边角边”的简单应用
问题
　某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶
点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完
全
一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一
块去，能试着说明理由吗？
导入新知
1.什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
2.三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
符号语言表示：在△ABC和△A'B'C'中，
AB=A'B'，
AC=A'C'，
BC=B'C'，
∴△ABC≌△A'B'C'
(SSS).
知识回顾
B
C
A
B'
C'
A'
1.理解并掌握三角形全等判定“边角边”条件的内容.
2.熟练利用“边角边”条件证明两个三角形全等.
3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力.
学习目标
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
画出△ABC和△A′B′C′，使其满足有两条边和一个角对应相等的条件，此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
课堂导入
1.角夹在两条边的中间，形成两边夹一角的情况.
2.角不夹在两条边的中间，形成两边及其中一边对角的情况.
它们能判定两个三角形全等吗？
作法：(1)画∠DA′E＝∠A；
(2)在射线A′D上截取A′B′＝AB，
在射线A′E上截取A′C′＝AC；
(3)连接B′C′.
先画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，AC=A′C′（即两边及其夹角分别相等），此时的△ABC和△A′B′C′全等吗？
通过画图,你能得出什么样的结论？
新知探究
A
C
B
A′
C′
B′
E
D
知识点1
三角形全等的基本事实：边角边(SAS)
判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或者“SAS”）.
符号语言表示：在△ABC和△A′B′C′中，
AB=A′B′，
∠B=∠B′，
BC=B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
B
C
A
B'
C'
A'
例1
如果AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD，那么
△
ABD
和△
CBD
全等吗？
分析:
△
ABD
≌△
CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边)，
证明：
在△ABD
和△
CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
∴
△
ABD≌△CBD
(
SAS).
BD=BD(公共边)，
利用“边角边”定理证明三角形全等
新知探究
例2
如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
A
C
·
E
D
B
证明：在△ABC
和△DEC
中，
∴△ABC
≌△DEC（SAS）.
∴AB
=DE
.（全等三角形的对应边相等）
AC
=
DC（已知），
∠ACB
=∠DCE
（对顶角相等），
CB=EC（已知），
利用全等三角形测距离
新知探究
例3
如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行驶相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
解：C，D到B的距离相等.
∵AB是南北方向，CD是东西方向，
∴∠BAD=∠BAC=90°.
AD=AC，
在△BAD和△BAC中，
∠BAD=∠BAC，
BA=BA，
∴△BAD≌△BAC（SAS），∴BD=BC.
A
D
B
C
AD=AC
巩固练习
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB
,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
SSA能否判定两个三角形全等？
想一想
新知探究
画△ABC
和△ABD，使∠A
=∠A
=30°，
AB
=AB=5
cm
，BC
=BD
=3
cm
．观察所得的两个三角形是否全等？
A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
有
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
结论
画一画
新知探究
（2）如图，AD=BC，要根据“SAS”判定△ABD≌△BAC，还需要添加的条件是∠D=∠C.
例
判断下列结论的对错.
（1）有两条边及一个角对应相等的两个三角形全等.
A
C
B
D
O
∠DAB=∠CBA
跟踪训练
新知探究
（3）“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角.
总结：（1）一定牢记“边边角”不能判定两个三角形全等，只有两边及其夹角分别相等才能判定两个三角形全等.
（2）在已知的两个三角形中，有两条边对应相等，一般要根据题意去找第三条边对应相等（SSS），或者去找这两组边的夹角对应相等（SAS）.
1.2021山东德州月考]如图,已知AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=100°,若∠BAE=60°,则∠CAE的度数为　　　.?
【解析】　∵∠1=∠2=100°,∴∠ADE=∠AED=80°,∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°.在△AEB和△ADC中,
∴△AEB≌△ADC(SAS),∴∠CAD=∠BAE=60°,∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=40°.
随堂练习
2.如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD.求证：△ABC≌△ADC.
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC.
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）.
AB=AD，
∠BAC=∠DAC，
AC=AC，
A
B
C
D
∠BAC=∠DAC
3.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+FE，即BF=CE.
在△ABF和△DCE中，
AB=DC，
∠B=∠C，
BF=CE，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.
∴∠A=∠D.
B
D
F
E
A
C
解：由题可知∠A=∠A，AB=AC，
利用“SAS”判定，需要∠A的另一对
应边相等，即AD=AE.证明如下：
在△ADC和△AEB中，
∴
△ADC≌△AEB（SAS）.
4.如图，AB=AC，利用“SAS”判定△ADC≌△AEB，需要添加什么条件?请证明你的结论.
B
D
A
F
C
E
AC=AB，
∠A=∠A，
AD=AE，
5.[2020江苏徐州中考]如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:AE=BD.
(2)求∠AFD的度数.
【解析】　(1)∵AC⊥BC,DC⊥EC,∴∠ACB=∠ECD=90°,
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE,即∠ACE=∠BCD.
在△ACE和△BCD中,
∴△ACE≌△BCD,∴AE=BD.
(2)如图,由(1)知△ACE≌△BCD,
∴∠A=∠B.
∵∠AGC=∠BGF,∴∠BFG=∠ACG=90°,
∴∠AFD=∠BFG=90°.
三角形全等的判定
分类
探讨
SAS
应用
两边及其夹角分别相等;两边及其中一边的对角分别相等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
利用“SAS”解决实际问题
课堂小结
1.[2021江苏扬州期中]如图,已知方格纸中是4个完全相同的正方形,则∠1+∠2=
(　　)
A.45°
B.60°
C.90°
D.100°
【解析】　如图,在△ABC和△AED中,∴△ABC≌△AED(SAS),
∴∠1=∠AED.∵∠AED+∠2=90°,∴∠1+∠2=90°.故选C.
拓展提升
2.[2020安徽安庆外国语学校期中]如图,在△PAB中,∠A=∠B,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=40°,则∠P的度数为　　　.?
【解析】　在△AMK和△BKN中,∴△AMK≌△BKN(SAS),∴∠AMK=∠BKN.∵∠A+∠AMK=
∠MKN+∠BKN,∴∠A=∠MKN=40°,∴∠P=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°.
3.如图，已知AB=CD，BC=DA，E,
F是AC上的两点，且AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论.
解：
DE=BF，DE//BF.
证明如下：
在△ADC和△CBA中，
CD=AB，
DA=BC，
AC=CA，
∴
△ADC≌△CBA（SSS）.
∴∠DAC=∠BCA.
A
B
D
E
F
C
在△ADE和△CBF中，
AD=CB，
∠DAC=∠BCA，
AE=CF，
∴
△ADE≌△CBF（SAS）.
∴∠DEA=∠BFC，DE=BF.
∴∠DEC=∠BFE，DE//BF.
3.如图，已知AB=CD，BC=DA，E,
F是AC上的两点，且AE=CF，写出DE和BF之间的关系，并证明你的结论.
A
B
D
E
F
C
4.[2021山东青岛期中]如图,点B,C,D在同一条直线上,∠B=∠D=90°,AB=CD,BC=DE,判断△ACE的形状,并说明理由.
【解析】　△ACE是等腰直角三角形.理由如下:
在△ABC和△CDE中,
∴△ABC≌△CDE(SAS),∴∠ACB=∠CED,AC=CE.
∵∠DCE+∠CED=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°.
∵点B,C,D在同一条直线上,
∴∠ACE=180°-(∠ACB+∠DCE)=90°,
∴△ACE是等腰直角三角形.
5.[2021河北石家庄月考]如图,点C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.
(1)求证:△ACD≌△BCE.
(2)若∠D=47°,求∠B的度数.
【解析】　(1)∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC.
∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,
∴∠ACD=∠DCE,∠DCE=∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(1)求证:△ACD≌△BCE.
(2)由(1)知△ACD≌△BCE,
∴∠E=∠D=47°.
∵∠ACD+∠DCE+∠BCE=180°,∠ACD=∠DCE=∠BCE,
∴∠ACD=∠DCE=∠BCE=60°,
∴∠B=180°-∠BCE-∠E=73°.
(2)若∠D=47°,求∠B的度数.