陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高一下学期5月第二次月考数学试题 Word版含答案

教育联合体榆林市第十二中学2020-2021学年第二学期质量检测二
高一数学测试题
说明：
1．本试题共四页，共22题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷为闭卷考试，考生不容许带与本科目有关的资料进入考场．
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角 D．小于false的角都是锐角
2．已知扇形的中心角为false，半径为2，则其面积为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．函数false的定义域为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4．函数false的周期、振幅、初相分别是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．若false为第三象限角，则false的值为（ ）
A．3 B．false C．1 D．false
6．设false，则（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知函数false，为了得到函数false的图象，只需（ ）
A．先将函数false图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移false个单位
B．先将函数false图象上点的横坐标变为原来的false，再向右平移false个单位
C．先将函数false图象向右平移false个单位，再将点的横坐标变为原来的false
D．先将函数false图象向右平移false个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍
8．已知函数false的部分图象如图所示，若函数false的图象经过恰当的平移后得到奇函数false的图象，则这个平移可以是（ ）
A．向左平移false个单位长度 B．向左平移false个单位长度
C．向右平移false个单位长度 D．向右平移false个单位长度
9．已知false，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．定义在R上的奇函数false满足false，若false，则false的值是（ ）
A．0 B．1 C．505 D．2020
11．设false中，false，且false，则此三角形为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．函数false的零点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知false，则false_________
14．已知函数false，则false的值域为________．
15．函数false的单调递增区间为__________．
16．已知函数false，若false在false上恰有两个零点，则false的取值范围是_______．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．已知false，且false．
（1）求false的值；
（2）求false的值．
18．化简计算与证明．
（1）已知角false是第二象限角，且false，求false的值；
（2）化简：false．
（3）已知false，证明：false．
19．已知函数false．
（1）求函数false的最小正周期和值域；
（2）如图，在给出的直角坐标系中，画出false在区间false上的图象，并求出false成立的x的取值集合．
20．已知函数false的最小正周期是false．
（1）求函数false在区间false上的单调递增区间；
（2）求false在false上的最大值．
21．已知false．
（1）求false的单调递减区间；
（2）若false，求false的值；
（3）将函数false的图象向右平移false个单位得到false的图象，若函数false在false上有唯一零点，求实数k的取值范围．
22．将函数false的图象上所有点的横坐标缩短到原来的false倍，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移false个单位长度后得到函数false的图象．
（1）写出函数false的解析式并求出其对称中心；
（2）若false时，false，求false的最小值false．
参考答案
1．B
【分析】 利用角的概念及其推广对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】 终边相同的角不一定相等，所以选项A错误；钝角一定是第二象限角，所以选项B正确；
第一象限角可能是负角，如false是第一象限的角，且是负角，所以选项C错误；
小于false的角不都是锐角，如false，所以选项D错误．
故选：B
2．D
【分析】 圆心角化为弧度，由面积公式计算．
【详解】
false，∴扇形面积为false．
故选：D．
3．C
【分析】 直接由false求解即可
【详解】 解：由false，得false，
所以函数的定义域为false
故选：C
【点睛】 此题考查求正切型函数的定义域，利用了整体的思想，属于基础题．
4．D
【分析】 利用函数false的解析式宜接得函数的周期、振幅、初相．
【详解】 根据题意可得，函数false的周期false；振幅为2；初相为false．
故选：D
5．B
【分析】 根据false为第三象限角，利用平方关系求解．
【详解】 因为false为第三象限角，
所以false，
false，
false
false
故选：B
6．D
【分析】 用诱导公式将已知角化为锐角，再利用正弦函数和正切函数的单调性比较可得答案．
【详解】 false，false，
因为false在false上单调递增，所以false，即false，
因为false在false上单调递增，
所以false，即false，所以false．
故选：D．
【点睛】 本题考查了诱导公式，考查了利用正弦函数和正切函数的单调性比较大小，属于基础题．
7．B
【分析】 直接利用三角函数图像变换可得．
【详解】 对于A：先将函数false图象上点的横坐标变为原来的2倍，得到false，故A错误；
对于B：先将函数false图象上点的横坐标变为原来的false，得到false，再右移false个单位，到得false位，即为false，故B正确；
对于C：先将函数false图象向右平移false个单位，得到false，再将点的横坐标变为原来的false，得到false，故C错误；
对于D：先将函数false图象向右平移false个单位，得到false，再将点的横坐标变为原来的2倍，得到false，故D错误；
【点睛】 关于三角函数图像平移伸缩变换：先平移的话，如果平移a个单位长度那么相位就会改变false；而先伸缩势必会改变false大小，这时再平移要使相位改变值仍为false，那么平移长度不等于a．
8．C
【分析】 根据函数false的图象求出函数的零点，再由false为奇函数以及平移变换的原则即可得出结果．
【详解】
解：∵false，半周期为false，
∴函数与x轴交点横坐标为false
当false时，false，
当false时，false，
当false时，false，
根据交点为false等知，向右平移false个单位后图象过原点，此时为奇函数．
故选：C．
9．D
【分析】 首先根据题意得到false，再计算false，根据false判断
出false的符号再进行开方计算即可得到答案．
【详解】
因为false，所以false，
所以false．
所以（false，
因为false，所以false，即false，所以false．
故选：D．
【点睛】 易错点睛：本题求false的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据false的取值范围正确判断false的符号，从而得到正确的答案．
10．A
【分析】 根据false求得函数的对称轴，结合函数为奇函数，求得函数的周期，再根据周期性求得false的值．
【详解】 由于false，所以函数图像关于直线false对称，而函数是奇函数，图像关于原点对称，故函数是周期为4的周期函数，故false，故选A．
【点睛】 本小题主要考查函数的对称轴、周期性，考查抽象函数求值，属于基础题．
11．D
【分析】 由false结合两角和的正切函数公式化简可得false的值，由A与B为三角形内角，利用特殊角三角函数值求出false的度数，进而确定角C的度数，再由false，利用同角三角函数基本关系化简，可得false的值，利用特殊角的再由三角函数值即可求出角A的度数，从而确定false的形状．
【详解】
∵false，即false，
∴false，
又∴A与B为三角形内角，∴false，即false，
∵false，解得false，
∴false，
∴false为等边三角形，
故答案选D．
【点睛】 本题考查三角形形状的判定，利用两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角三角函数值，熟练掌握公式及基本关系是解决本题关键．
12．D
【分析】 由false得false，再在同一坐标系下画出函数false和false的图像，观察函数的图像即得解．
【详解】 由false得false，
在同一坐标系下画出函数false和false的图像，如图所示，
从图像上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点．
故选D
【点睛】 本题主要考查函数的零点的个数，考查三角函数的图像和对数函数的图像，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
13．2
【解析】【分析】 由false，平方化简得false，再由三角函数的基本关系式，求得false，进而可求解false的值，即可求解．
【详解】 由题意知false，则false，
可得false，即false，
又∵false，∴false，
又由基本关系式可得false．
【点睛】 本题主要考查了三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，求得false的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
14．false
【分析】 函数式变形为false，再根据余弦函数的图象和性质及不等式的性质求解即可．
【详解】 false
当false时，false，
∴false
∴false
故答案为：false
【点睛】 本题主要考查了余弦函数的图像和性质，不等式的性质，分式的化简变形，属于中档题．
15．false
【分析】 根据复合函数单调性和定义域得到false，计算得到答案．
【详解】 根据复合函数单调性知：需求false单调递减区间，且false
则false，∴false
故答案为：false
【点睛】 本题考查了复合函数单调性，忽略掉定义域是容易发生的错误．
16． false
【分析】 由已知确定false范围，再由正弦型三角函数图像的性质求解．
【详解】 ∵false，且false，∴false，
又false在false上恰有两个零点，
∴false且false，解之得false
故答案为：false
17．（1）false （2）false
【分析】 （1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和同角三角函数关系式的变换求出结果．
（2）利用角的变换的应用及和（差）角公式的应用，求出结果．
【详解】 解（1）∵false
∴false，
∴false．
∴false．
（2）由（1）知false，∴false．
∴false．
∵false，
∴false，∵false，且false，∴false
∴false，
∵false
∴false．
18．（1）【详解】∵false，
∵false
false
（2）【详解】原式false
false
false
false
false
false
false
（3）【详解】 左边false
false
false
故原命题成立
19．（1）false，false；（2）图象见解析．
【分析】
（1）首先利用三角恒等变换把三角函数的关系式变形为正弦型函数，进一步利用关系式求出周期和最值；
（2）利用整体思想，使用“五点法”，采用列表、描点、连线画出函数的图象．
【详解】 解：（1）false
false
false
所以函数false的最小正周期为false
单调区间略．
（2）列表如下：
x
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
0
false
false
false
2
1
false
1
false
2
故函数false在区间false上的图象如下图所示：
解集由图直接可得．
20．（1）false和false；（2）1
【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出false的值，结合单调性进行求解即可；
（2）根据false得到false可得false最大值．
【详解】（1）false
false
false
因为false的最小正周期为false，所以false
又false，所以false，所以false
令false
得false,
所以函数false在false上的单调递增区间为false和false
（2）当false时，false
当false，即false时，false取得最大值1．
【点睛】 本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等．
21．（1）函数的单调递减区间为false; （2）1；（3）false或false
【分析】 （1）由正余弦二倍角公式和正弦两角和公式对原式进行化简；然后利用正弦型函数的单调性求解；
（2）利用余弦二倍角公式化简false，然后由诱导公式得false．代入计算即可；
（3）由图像平移得函数false，然后结合数形结合的思想将所求问题转化成函数false与false，图像有一个交点来求解参数k的取值范围．
【详解】
（1）由于false，
令false，整理得false所以函数的单调递减区间为false．
（2）由题意false，则false，即false
由false，则false
（3）由函数false的图象向左平移false个单位得到false的图象，
由于false所以false．则函数false在false上有唯一零点，
即得函数false与false图像在false上只有一个交点，
所以当false或false时，直线false与函数false图象只有一个交点，
则由false或false，解得false或false，
即当false或false时，函数false在false上有唯一零点．
【点睛】 本题是一道综合性的试题，考查了正余弦二倍角公式的应用，考查了三角函数和差公式的应用，考查了图像平移以及利用图像解决函数零点的问题，属于中档题．
22．（1）false；
（2）false
【分析】 （1）根据函数图象的变换规律即可求得false的解析式；
（2）令false可求得则false，设false，false，
通过定区间讨论对称轴false的三种情况false的单调性，进而可确定最小值的情况．
【详解】
（1）将函数false的图象上所有点的横坐标缩短到原来的false倍，可得false得图象，
再向有平移false个单位长度得false．
（2）∵false，则false，
令false，则设false，false
①当false，即false时，函数false在false上单调递增，
∴false；
②当false，即false时，
函数false在false上单调递减，在false上单调递增，
∴false；
③当false，即false时，函数false在false上单调递减，
∴false；
∴综上有false
【点睛】 本题考查三角函数图象的变换，考查二次函数在三角函数中的应用，考查定区间动轴的最值取值情况，难度较难．