3.1.2瞬时速度与导数 课件 人教B版高中数学选修1-1(共18张PPT)

(共18张PPT)
瞬时速度与导数
在高台跳水运动中,
运动员相对于水面的高度
h
(单位:m)与起跳后的时间
t
(单位:s)
存在函数关系
运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度：
探究1
在高台跳水运动中,
运动员相对于水面的高度
h
(单位:m)与起跳后的时间
t
(单位:s)
存在函数关系
h
t
o
求ｔ＝2时的瞬时速度？
2
任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
当△ｔ＞0时，在2之后。
△ｔ＜0时
2＋△ｔ
△ｔ＞0时
2＋△ｔ
探究1
高台跳水
我们先考察ｔ＝2附近的情况。
时间区间
Δt<0
平均速度
时间区间
Δt>0
平均速度
[1.9,2]
-0.1
[2,2.1]
0.1
[1.99,2]
-0.01
[2,2.01]
0.01
[1.999,2]
-0.001
[2,2.001]
0.001
[1.9999,2]
-0.0001
[2,2.0001]
0.0001
[1.99999,2]
-0.00001
[2,2.00001]
0.00001
从物理的角度看,
时间间隔
|Δt
|无限变小时,
平均速度
就无限趋近于
t
=
2时的瞬时速度.
因此,
运动员在
t
=
2
时的瞬时速度是
–13.1.
从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度
当Δt趋近于0时,
即无论
t
从小于2的一边,
还是从大于2的一边趋近于2时,
平均速度都趋近于一个确定的值
–13.1.
思考：这里的“–”号表示运动员在这个时刻运动方向是怎样的？
要使得到的瞬时速度更精确，时间的间隔就要很小，能否引进一个量，使其计算得到简化？
探究2
从t=2到t=2+△t这段时间内平均速度
运动员在区间[3＋△ｔ，△ｔ],[3，3＋△ｔ]内的平均速度：
当时间的间隔越来越小时，大家发现平均速度有什么特点？
ｔ＝3时的瞬时速度？
类比t=2时的瞬时速度，计算t=3时的瞬时速度.
探究3
即运动员在t=3时的瞬时速度等于-22.9
运动员在某一时刻
t0
的瞬时速度怎样表示?
探究4
根据上述讨论，我们用平均速度逼近了瞬时速度，体现了数学中无限逼近的思想。
跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度：
跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：
思考：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有这样的结论，那
其他运动有吗？如果我们把运动员的运动变化抽象为一个函数，
也会有这样的结论吗？
跳水运动员在t0到t0+△t时刻内的平均速度：
跳水运动员在t=t0时刻的瞬时速度：
类比
导数的定义
注意:
一概念的两个名称.
瞬时变化率与导数是同
.
3
的具体取值无关.
与
x
x
f
D
?
)
(
.
2
0
.
其导数值一般也不相同
的值有关，不同的
与
0
0
0
)
(
.
1
x
x
x
f
?
实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如：
效率、点密度、国内生产总值GDP的增长等等.
例题
将原油精炼为
汽油、柴油、塑胶等各
种不同产品，需要对原
油进行冷却和加热，如
果在第
h时，原油的
温度（单位℃
）为
，计算第2h与第6h时，
原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
分析：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率
就是
所以，
它说明在第2h附近，原油温度大约以
的速率
；
它说明在第6h附近，原油温度大约以
的速率
。
一般的，
反映了原油温度在
时刻附近的变化情况。
求导步骤
求平均
变化率
取极限
解：
同理可得
5
上升
5
3
下降
课堂小结：
抽象
抽象
逼近
逼近
我们从生活中的实例到具体的函数，由特殊到一般，运用类比的思想，由平均速度逼近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬时变化率，从而得到了函数在某一点处的导数。导数的思想方法就是通过函数在某一点附近的变化状态，揭示这一点的变化状态，也揭示了函数的本质。
布置作业
课本第82页
A组，练习1，2，3;
B组练习1.