21.2.3 解一元二次方程---因式分解法 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
人教版
九年级数学上
21.2.3解一元二次方程
---因式分解法
学习目标
1.了解因式分解法解一元二次方程的概念.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点）
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
回顾旧知
你还记得用配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
分别用配方法和公式法解下列方程：
①
x2﹣5x+6=0．
②-1+2x=x2．
解得x1=3，x2=2.
解得x1=x2=1.
合作探究
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x
s物体离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(结果保留到小数点后两位)?
解：设物体经过
x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m
，即
10x-4.9x2
=0
①
如何解这个方程？
合作探究
解：
解：
∵
a=4.9,
b=-10,
c=0.
∴
b2－4ac=
(－10)2－×4.9×0
=100.
公式法解方程10x-4.9x2=0.
配方法解方程10x-4.9x2=0.
方程可化为4.9x2-10x=0.
还有别的做法吗？
合作探究
★让我们先来回顾一下因式分解知识：
x2-6x；
16y2-9；
4x2+4x+1
=x(x-6)
=(4y)2-32
=(4y-3)(4y+3)
=(2x)2+4x+1
=(2x+1)
2
=(2x+1)(2x+1)
★若ab=0,则可以得到什么结论？
a=0或b=0.
提公因式法
平方差公式
完全平方公式
合作探究
因式分解
或
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
10x-4.9x2
=0
①
x(10-4.9x)
=0
x
=0
10-4.9x=0
②
这两个根中，x2≈2.04表示物体大约在2.04s时落回地面。x1=0表示物体在0
s时被抛出，高度是0
m。
合作探究
※.总结归纳：
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
小试牛刀
x(x-5)=0
解：∵x(x-5)=0
∴
x
=0或x-5=0
即
x1
=0
，x2=5
(x-1)(x+1)=0
解：∵(x-1)(x+1)=0
即
x1
=1
，x2=
-1
∴
x-1=0或
x+1=0
(x+1)2=0
解：∵(x-1)2=0
∴
x-1=0
即
x1
=x2
=1
试一试：下列各方程的根分别是多少？
典例精析
例1
解下列方程：
解：(1)因式分解，得
于是得
x－2＝0或x＋1=0,
x1=2，x2=－1.
(2)移项、合并同类项，得
因式分解，得
(
2x＋1)(
2x－1
)=0.
于是得
2x＋1=0或2x－1=0,
(x－2)(x＋1)=0.
小试牛刀
练一练
解下列方程：
(1)(x+1)2=4x+4；
∴x1=3，x2=-1．
(2)x2-4x+4=(5-2x)2．
解：∵(x+1)2=4(x+1)，
∴(x+1)2-4(x+1)=0，
则(x+1)(x-3)=0，
∴x+1=0，或x-3=0，
解：
∵(x-4)2-(5-2x)2=0，
∴[(x-4)+(5-2x)][(x-4)-(5-2x)]=0，
∴-x+1=0，或3x-9=0，
x1=1，x2=
3
.
你能总结一下因式分解法解方程的一般步骤吗？
归纳总结
因式分解法的基本步骤：
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
简记口诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
知识拓展---十字相乘法
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
整式的乘法
反过来，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解.
①竖分二次项与常数项
合作探究
步骤：
②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中.
试一试
解方程：x2+3x-10=0.
解：因式分解得
(x+5)(x-2)=0.
∴x+5=0,或x-2=0.
∴x1=-5,x2=2.
小试牛刀
练一练：用十字相乘法分解因式解方程：
1.x2-3x-4=0
2.x2-7x+6=0
解：（x-4）（x+1）=0
解：（x-6）（x-1）=0
x-4=0或x+1=0
x1=4，x2=-1
x-6=0或x-1=0
x1=6，x2=1
归纳总结
填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型.
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2
+
px
+
q
=
0
(p2
-
4q
≥0)
(x+m)2＝n
(n
≥
0)
ax2
+
bx
+c
=
0
(a≠0
，
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
(x
+
n)＝0
小试牛刀
1、用适当的方法解方程：
(1)
3x(2x
+
1)=
4x
+
2；
(2)
(4x
+
5)2
=
1；
即
3x-2
=0
或
2x
+
1=
0.
∴
x
1=
-1
,
x2=
分析：该式左右两边可以提取公因式，所以用因式分解法解答较快.
解：化简
(3x
-2)
(2x
+
1)
=
0.
分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
解：开平方,得
4x+5
=
±1.
小试牛刀
(3)
x2
-
6x
=
16
;
(4)
3x2
=
4x
+
2.
开平方，得
解得
x1=8
，x2=-2
解：化为一般形式3x2
-
4x
-
2
=
0.
∵Δ=b2
-
4ac
=
40
>
0,
分析：二次项系数为1，一次项系数为偶数，可用配方法来解题较快.
解：配方，得
x2
-
6x
+
32
=
16
+
32,
即
(x
-
3)2
=
25.
分析：二次项的系数不为1，适合公式法.
归纳总结
1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法；
2.若常数项为0(
ax2+bx=0)，应选用因式分解法；
3.若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法；
4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
解法选择基本思路：：
综合演练
①
6x2-5x+2=0
；
②
4x2-2=0
；
③
-5t2+t=0
；
④
x2-6x=8
；
⑤
3x2+2x=0；
⑥
2(m+3)2=8；
⑦
4y2-y-2=0；
⑧
3x2+6x-1=0；
⑨
(x-3)2=3(x-3).
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
.
1.填空
⑥
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
注意：每个题都有多种解法，选择更合适的方法，可以简化解题过程！
综合演练
解：化为一般式为
因式分解，得
x2－2x+1
=
0.
(
x－1
)
2
=
0.
x
－
1
=
0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
(
2x
+
11
)(
2x－
11
)
=
0.
2x
+
11
=
0
或
2x
－
11=
0，
2.选择合适的方法解方程：
综合演练
(4)x2+4x-2=2x+3；
(3)3x2-5x+1=0；
解：a=2，b=-5，c=1，
∴△=(-5)2-4×3×1=13．
解：整理，得x2+2x=5，
∴x2+2x+1=5+1，
即(x+1)2=6，
综合演练
3.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程
(x-4)(x+3)=12.
解：原方程化为：
(x-4)(x+3)=4×3
.
①
由x-4=4，得x=8；
②
由x+3=3，得x=0；
③
所以原方程的解为x1=8或x2=0.
解:
①
②
③步都错；
原方程化为：
x2－x－12=
0，
(x－4)(x+3)=0，
x1=4，x2=－3.
综合演练
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加到原来的2倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，
根据题意
(
r
+
5
)2×π=2r2π.
因式分解，得
答：小圆形场地的半径为
能力提升
(2)一个三角形的两边长分别为2和6，其第三边是方程x2-13x+40=0的根，则此三角形的周长为________;
(1)已知三角形的两边长为5和6，第三边的长是方程x2-5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是________;
(3)
已知等腰三角形的腰长、底边长分别是一元二次方程x2-10x+16=0的两根，则该等腰三角形的周长是________.
13或14
13
18
知识点拨：与三角形结合时，要考虑三角形的三边关系！
5.填空：
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1、因式分解法解一元二次方程的步骤是什么？
2、解一元二次方程的方法有哪些？如何选取适当的
方法解方程？
课后作业
教材17页习题21.2第6、8、10题．
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