通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题（Word版含答案）

通用版2021年中考数学三轮冲刺复习最后压轴题精选：三角形的动点问题
1.如图，在Rt
ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10．点P从点C出发沿CA以每秒2个单位的速度向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；在点P出发的同时，点Q从点A出发沿AB以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM
，
使点M与点C在PQ的同侧．设P、Q两点的运动时间为t秒（t>0）．
（1）用含t的代数式表示线段BQ的长．
（2）当四边形APMQ为轴对称图形时，求t的值．
（3）当∠AQM为锐角时，求t的取值范围．
（4）当点M与
ABC一个顶点的连线垂直平分PQ时，直接写出t的值．
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且BC，AC，AB是三个连续的偶数，在边AB上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝3AN．点D，E分别是边AC，BC的中点，当点P从点D出发沿DE方向匀速运动到点E时，点Q恰好从点M出发沿BA方向匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，当Q为AB中点时，y=2．
（1）求BC，AC，AB的长．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）①连结PQ，当PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直时，求所有满足条件的x的值.②过点P作PH⊥AB于点H，当△PQH为等腰三角形时，求x的值.
3.如图，在
中，
．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿
方向绕行
一周，动直线l从
开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交
于
两点．当点P运动到点A时，直线l也停止运动．
（1）求点P到
的最大距离；
（2）当点P在
上运动时，
①求
的值；
②把
绕点E顺时针方向旋转，当点P的对应点
落在
上时，
的对应线段
恰好与
垂直，求此时t的值．
（3）当点P关于直线
的对称点为F时，四边形
能否成为菱形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．
4.如图，已知∠BAC
，
且cos∠BAC＝
，AB＝10，点P是线段AB上的动点，点Q是射线AC上的动点，且AQ＝BP＝x
，
以线段PQ为边在AB的上方作正方形PQED
，
以线段BP为边在AB上方作正三角形PBM
．
（1）如图2，当点E在射线AC上时，求x的值；
（2）如果⊙P经过D、M两点，求正三角形PBM的边长；
（3）如果点E在∠MPB的边上，求AQ的长．
5.如图，
中，
，
.动点
从点
出发，在
边上以每秒1cm的速度向终点
匀速运动，同时动点
从点
出发，沿
以每秒
的速度向终点
匀速运动，连接
，设运动时间为
（秒）.
（1）当
秒时，则
的面积
________
；（直接写出答案）
（2）以
为直径作圆
，在点
，
的运动过程中，当圆
与
的一边所在直线相切时，求
的值.
6.如图，已知A，B两点的坐标分别为
，
，点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒.
（1）求t的取值范围；
（2）若以O，P，Q为顶点的三角形与
相似，求此时t的值；
（3）是否存在t，使得
为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t；若不存在，请说明理由.
7.已知：如图①，在
中，
，
，
，将
绕
中点旋转
得到
.如图②，再将
沿
的方向以
的速度平移得到
；同时，点Q从点C出发，沿
方向以
的速度运动，当点Q停止运动时，
也停止平移，设运动时间为
.解答下列问题.
（1）当t为何值时，
？
（2）在运动过程中，t为何值时
的面积最大？并求面积的最大值；
（3）是否存在某一时刻t，使
？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
8.如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，动点P从点A出发，沿AB以每秒
个单位长度的速度向点B运动，点Q从点A出发，沿折线AC﹣CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作AC的平行线与过点Q作AB的平行线交于点D，当有一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为S，运动的时间为t（秒）
（1）点P到AC的距离为________（用含t的代数式表示）
（2）当点D落在BC上时，求t的值
（3）当△PQD与△ABC重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式（S＞0）
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，sin∠A＝
.点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC向终点C运动，同时点E从点B出发，以相同速度沿BA方向运动，过点E作EF⊥AB，过点D作DF⊥EF垂足为F，连结ED，当点D运动到终点时，点E也停止运动.设△EDF与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），点D的运动时间为t秒.
（1）线段AC的长为________；
（2）当直线EF经过点D时，求t的值；
（3）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围.
10.如图
是等边三角形，AB＝10．动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，过点P作
于点D，以PD为边向右作矩形PDEF，且PA＝PF．设矩形PDEF与
重叠部分的面积为S，点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）填空：PD＝
________；（用含t的代数式表示）
（2）当点F落在BC上时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式．
11.如图，在
中，
，点P从点B出发沿
以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时，点Q从点C出发以每秒1个单位的速度向终点B运动，运动时间为
，连结
．
（1）求
的长（用含有t的代数式表示）；
（2）当点P在
上运动时，过点P作
于点H，求
的长（用含有t的代数式表示）；
（3）当点P运动到
上且
的面积为12时，求t的值．
（4）直接写出运动过程中以
为一边的三角形与
相似时t的值．
12.（如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴、
轴分别交于A、B两点，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（秒）．
（1）直接写出A、B两点的坐标．
（2）当△APQ与△AOB相似时，求t的值．
（3）设△APQ的面积为S（平方单位），求S与t之间的函数关系式．
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点为
、
，点B在第一象限．现有两动点P和Q，点P从原点O出发沿线段
不包括端点O，
以每秒2个单位长度的速度匀速向点A运动，点Q从点A出发沿线段
不包括端点A，
以每秒1个单位长度的速度匀速向点B运动．点P、Q同时出发，当点P运动到点A时，P、Q同时停止运动，设运动时间为
秒
．
（1）直接写出点B的坐标，并指出t的取值范围；
（2）连结CQ并延长交x轴于点D，把CD沿CB翻折交AB延长线于点E，连结DE．
①
的面积S是否随着t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值；
②当t为何值时，
？
14.如图，在
中，
，
，
，点P从点A出发，沿线段
以每秒
个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作
，交折线
于点Q，过点P、Q分别平行于
、
的直线相交于点R．设点P运动的时间为t秒，
与
重叠部分的面积为S．
（1）直接写出线段
的长．（用含
的代数式表示）
（2）当点R落在边
上时，求
的值．
（3）当
与
重叠部分图形为三角形时，求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出
或
平分
面积时t的值．
15.已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm
，
BC＝3cm
，
点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ
．
若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t
，
使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC
，
并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C
，
那么是否存在某一时刻t
，
使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
16.已知
为等边三角形，
是
上的一个动点，（与
不重合），过点
作
的垂线与
相交于点
以点
为正方形的一个顶点，在
内作正方形
，其中
在
上，
在
上，
（1）设
的长为
，正方形
的边长为
，写出
关于
的函数解析式及定义域；
（2）当
时，求
的长；
（3）
是否可能成为直角三角形？若能，求出
的长；若不能，请说明理由．
17.?
如图（1）所示，直线m⊥n，A、B分别为直线m、n上两点．
（1）当OA=OB时，作直线OQ，过点A、B两点分别作AM⊥OQ于点M，BN⊥OQ于点N，若AM=4，BN=3，求MN的长．
（2）如图（2），OA=5，点B为直线m上方直线n上动点，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点，在△ABO外侧作等腰直角三角形OBF和等腰直角三角形ABE，∠ABE=∠ABF=900
，
联结EF交直线m于点P，问：当点B运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请说明理由．
18.如图1，Rt
ABC中，∠C=90°，BC＝8cm，AC＝6cm，点D是BC上的一个定点.动点P从点C出发，以每秒2厘米的速度沿C-A-B方向运动，动点Q从D出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动.点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止.图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S（cm2）与点P的运动时间t（s）的函数图象.
（1）CD=________，S=________cm2；
（2）当点P在边AB上时，t为何值时，使得
BPQ与
ABC为相似？
（3）运动过程中，求出当
BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值.
19.如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）.
（1）点E的坐标为________，F的坐标为________；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
20.在平面直角坐标系中，点
，点
．将
绕点
顺时针旋转，得
，点
，
旋转后的对应点为
，
．记旋转角为
．
（1）如图①，当
时，求点
的坐标；
（2）如图②，当
时，求点
的坐标；
（3）连接
，设线段
的中点为
，连接
，求线段
的长的最小值（直接写出结果即可）．
21.在△ABC中，CD是△ABC的中线，如果
上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称
为△ABC的中线弧．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，D是AB的中点．
①如图1，若∠A＝45°，画出△ABC的一条中线弧
，直接写出△ABC的中线弧
所在圆的半径r的最小值；
②如图2，若∠A＝60°，求出△ABC的最长的中线弧
的弧长l
．
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，0），C（0，0），在△ABC中，D是AB的中点．求△ABC的中线弧
所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围．
22.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4cm，过点D作DE∥AC，交AB于点E，DF∥AB，交AC于点F．动点P从点A出发以1cm/s的速度向终点D运动，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交AC于点N．设点P运动时间为x
（s），△AMN与四边形AEDF重叠部分面积为y（cm2）．
（1）AE＝________cm，AF＝________cm；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）若线段MN中点为O，当点O落在∠ACB平分线上时，直接写出x的值．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2，D为AB的中点.
（1）求a的值.
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.
①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；
②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的t的值.
24.如图，在△ABC中，AB=BC=5cm，sinB=
。动点P从点A出发、以2cm/s的速度向终点B运动。当点P不与点A，B重合时，过点P作BC的平行线交AC于点N。动点Q从点B出发，以3cm/s的速度向终点A运动。以PQ、PN为邻边作
PQMN。点P，Q同时出发，设运动时间为x秒。
（1）直接写出PN的长(用含x的代数式表示)；
（2）设
PQMN和△ABC重叠部分的面积为y(cm?)，求y与x的函数关系式；
（3）当四边形PQMN是轴对称图形时，直接写出x的取值范围。
25.如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E。点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止。设点P、Q运动的时间是t秒(t>0)。
（1）当t=2时，AP=________，点Q到AC的距离是________；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值。若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值。
26.如图，在平面直角坐标系中，以点B(0，6)为端点的射线BH∥x轴，点A是射线BH上的一个动点(点A与点B不重合)．在射线AH上取AD＝4
，作线段AD的垂直平分线，垂足为点E，且与x轴交于点F，过点A作AC⊥OA，交射线EF于点C.连结OC、CD，设点A的横坐标为t.
（1）当点C在线段EF上时，用含t的式子表示点C的坐标为________.
（2）在射线BH上是否存在点A，使得△OCF与△DEC相似？若存在，请求出t的值并表示此时∠OCD的度数，若不存在，请说明理由.
（3）连结AF，请探索，在点A的整个运动变化过程中，∠AFO的大小是否会发生变化？若不变，求出其值，若有变化，请说明理由．
27.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动.点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒.
（1）当t＝2时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm2？
（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
28.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度先沿CB方向运动到点B，再沿BA方向向终点A运动，以DP、DQ为邻边构造?PEQD，设点P运动的时间为t秒．
（1）设点Q到边AC的距离为h，直接用含t的代数式表示h；
（2）当点E落在AC边上时，求t的值；
（3）当点Q在边AB上时，设?PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；
（4）连接CD，直接写出CD将?PEQD分成的两部分图形面积相等时t的值．
答案
1.
（1）解：由题意可知
，
∴
．
（2）解：如图，当四边形APMQ为轴对称图形时，
∴AP=AQ，
∵
，
，
∴6-2t=2t，
解得
．
（3）解：在
中，
，
∴
，
．
①如图，当
时，∠AQM=90°，
由图可知此时四边形PMQH为正方形，
∴
，
，
又∵
，
∴
，
解得
．
即当∠AQM为锐角时，
．
②当
时，∠AQM始终为锐角．
综上，当∠AQM为锐角时，
．
（4）
，
，
，
2.
（1）解：设AC=x，则BC=x-2，AB=x+2，
由勾股定理，得
，解得
，或
（舍去），
∴BC=6，AC=8，AB=10.
（2）解：设AN=a，则BM=3a，
，∵ED为△ABC的中位线，∴ED=
由题意，得
，
把
代入
，
得
，解得
，∴
（3）解：①
1)当PQ⊥BC时，
四边形ADPQ为平行四边形，则DP=AQ，
，即
，
解得
；
2)当PQ⊥AC时，
四边形PQBE为平行四边形，则
PE=BQ，
，即
，解得
；
?3)当PQ⊥AB时（如图1），作DH⊥AB于H，
则
，
即
，解得
.
∴当
时，PQ所在直线与△ABC的某一边所在的直线垂直.
(3）②如图2，作PH⊥AB于点H，
则QH=PH=EBsinB=
，
AH=
，把
，代入，得
，解得
.
（3）②如图3，作PH⊥AB于点H，则QH=PH=EBsinB=
，
AH=
，把
，代入，得
，解得
3.
（1）解：当点P与点C重合时，点P到
的距离最大，
过点C作CF⊥AB于F
∴根据勾股定理，得
∵
∴
．
∴当点P与点C重合时，点P到AB的距离最大，最大值为Rt△ABC斜边AB上的高CF，
即点P到
的最大距离是
．
（2）解：①当点P在
上运动时，设运动时间为
，则有
，
直线
，
如图，过点D作
于点G，则四边形
是矩形，
，
，即
，
，即
．
②
，
．
∵直线
直线
，
，
由旋转的性质，得
，
，
，
即
，
．
（3）能，
4.
（1）解：∵cosA＝
，则sinA＝
．
当点E在AC上时，则∠AQP＝90°，
∵AQ＝PB＝x，则AP＝AB﹣PB＝10﹣x，
则cosA＝
＝
＝
，
解得x＝
；
（2）解：如图，
过点Q作QH⊥AP于点H，
∵⊙P经过D、M两点，PD＝PM，则PQ＝PB＝AQ＝x，
∴点H是AP的中点，
则AH＝
AP＝
，
cosA＝
＝
＝
，
解得x＝
，
即正三角形PBM的边长为
；
（3）解：①当点E在PM边上时，如图2，
过点Q作QH⊥AB于点H，作PQ的中垂线交QH于点G，交PQ于点N，
则∠QPA＝180°﹣∠MPB﹣∠QPE＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
则∠HQP＝90°﹣75°＝15°，则∠HGP＝15°×2＝30°，
在Rt△PHQ中，设PH＝t，则GQ＝GP＝2t，GH＝
t，
∴QH＝2t+
t＝xsinA＝
x，解得t＝
，
AB＝AH+PH+PB，即
x+
+x＝10，
解得x＝
；
②当点E在AB边上时，如图3，
过点Q作QH⊥AB于点H，
则PH＝QH＝AQsinA＝
x，AH＝xcosA＝
x，
∴PH＞AH，
即点P在BA的延长线上，与题意不符；
综上，AQ＝
．
5.
（1）
（2）解：如图，过点A作
于点E，
则
，
在
中，
，
，
由题意得：
，
①如图，当圆
与AB相切时，
则
，
在
中，
，即
，
解得
，
经检验，
是所列分式方程的解；
②如图，当圆
与BC相切时，
则
，
在
中，
，即
，
解得
，
经检验，
是所列分式方程的解；
③当圆
与AC相切时，
如图，设圆
与AC相切于点F，连接OF，过点P作
于点G，作
，交CA延长线于点M，过点Q作
于点N，
则
，
，
点O是PQ的中点，
，
，
，
，
在
中，
，即
，
解得
，
，
，
在
中，
，即
，
解得
，
在
中，
，
，
在
中，
，
则由
得：
，
解得
；
综上，当圆
与AB相切时，
；当圆
与BC相切时，
；当圆
与AC相切时，
.
6.
（1）解：由题意得：
解得：
（2）解：设从出发起，运动了t秒，以O，P，Q为顶点的三角形与
相似
，
，
分两种情况讨论：
①如果
∽
，则
，
，解得
②如果
∽
，则
，
，解得
故当
或
时，以O，P，Q为顶点的三角形与
相似
（3）解：当
或
或
时，
为等腰三角形.提示：当
为等腰三角形时，分三种情况：
①如果
，那么
，解得：
②如果
，如图，过点P作
于F，则
在
中，
，
，
，
解得：
③如果
，如图，过点Q作
于F，
则
在
中，
，
，
，解得：
综上所述：当
或
或
时，
为等腰三角形.
7.
（1）解：在
中，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
.
（2）解：过点P作
于M，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
当
时，
有最大值，最大值为
.
（3）解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
.
∴
，
∴
（舍）或
.
∴当
时，
8.
（1）
t
（2）解：当D落在BC上，D与Q不重合时，如图2，CD＝CQ，
∴4﹣2t＝
t，t＝
，
当D落在BC上，D与Q重合时，如图3，CD＝CQ，
∴2t﹣4＝
t，t＝
，
综上所述，t的值是
或
；
（3）解：①当0＜t≤
时，如图4，Q在AC上，过点P作PE⊥AC于点E，
∵PD//AQ，QD//AP，
∴四边形APDQ是平行四边形，
∴PD＝AQ＝2t，
∴S＝
PD?PE＝
t＝
；
②当2≤t＜
时，如图5，Q在BC上，CQ＝2t﹣4，PF＝BF＝BC-CF＝4﹣
t，
FQ＝CF﹣CQ＝
t-(2t﹣4)，
∴S＝
PF?FQ＝
＝
﹣4t+8；
③当
＜t＜4时，Q在BC上，如图6，延长PD交BC于F点，
CQ＝2t﹣AC＝2t﹣4，DF＝FQ＝CQ﹣CF＝2t﹣4﹣
t＝
t﹣4，
PD＝PF﹣DF＝4﹣
t﹣(
t﹣4)＝8﹣2t，
∴S＝
PD?FQ＝
?(8﹣2t)(
t﹣4)＝﹣
+10t﹣16，
综上所述，S与t的函数关系式（S＞0）：S＝
．
9.
（1）8
（2）解：如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF（D）＝90°，
∵sin∠A＝
，
∴cos∠A＝
，
∵AD＝t，
∴AE＝
，BE＝t，
∴
+t＝10，
解得t＝
（3）解：当0＜t＜
时，如图2，过点D作DH⊥AB，垂足为H，则四边形DHEF为矩形，
在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝
，AD＝t，AH＝
，
∴EF＝DH＝
t，DF＝HE＝10﹣
t﹣t＝10﹣
t，
∴S＝
DF?EF＝
（10﹣
t）?
t＝
；
当
时，如图3，设EF交AC于点K，
在Rt△AKE中，∠AEK＝90°，sin∠A＝
，
则AE＝10﹣t，KE＝
，
∴S＝S△ADH﹣S△AKE＝
＝
＝
，
综上所述：
10.
（1）
（2）解：当点F与落在BC上时，如图1，
PA＝PF＝2t，
∴PB＝10?2t，
∵四边形PDEF是矩形，
∴PF∥AC，
∴∠BPF＝∠A＝60°，
∵∠B＝60°，
∴△BPF是等边三角形，
∴PB＝PF，即10?2t＝2t，
t＝
；
（3）解：分三种情况：
①当0＜t≤
时，如图2，
矩形PDEF与△ABC重叠部分是矩形PDEF，
∴S＝S矩形PDEF＝PD?PF＝
t?2t＝
；
当E与C重合时，如图3，
PF＝DC＝2t，
∵AC＝AD＋CD＝10，
∴t＋2t＝10，t＝
；
②当
＜t≤
时，如图4，
矩形PDEF与△ABC重叠部分是五边形PDEHG，
∵PB＝PG＝10?2t，PF＝PA＝2t，
∴GF＝PF?PG＝2t?（10?2t）＝4t?10，
Rt△GHF中，∠GHF＝30°，
∴
，FH＝
（4t?10），
∴S＝S矩形PDEF?S△GFH＝
?
GF?FH
＝
?
?（4t?10）?
（4t?10）
＝
；
③当
＜t≤5时，如图5，
矩形PDEF与△ABC重叠部分是四边形PDCG，
∴S＝
（PG＋CD）?PD＝
（10?2t＋10?t）?
＝
；
综上，S与t之间的函数关系式为：
.
11.
（1）解：当P到A时，BP=2t，
∴
，
∴
，
当P到C时，
∴
∴当
时，
当
时，
;
（2）解：∵
，
∴
∴PH//AC
∴
∴
，
即
，
∴
，（
）；
（3）解：
解得：
（舍）或
，
（4）
12.
（1）解：点A的坐标为（0，3）；点B的坐标为（4，0）．
（2）解：在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5．
∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．
△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：
①若△APQ∽△AOB，则有
，即
，
解得
．
②若△APQ∽△ABO，则有
，即
，
解得
．
故t=
或
（3）解：过Q作QH⊥OA于H，则△AQH∽△ABO，∴AQ：AB=HQ：OB，∴（5-2t）：5=QH：4，∴QH=
，∴S=
AP?HQ
，∴
．
13.
（1）B(8,4)，0（2）解：①△CDE的面积不变，理由如下：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA∥BC，
∴△QAD∽△QBC，
∴
，
即
，
∴
，
由翻折变换的性质可知：EQ=2BQ=2(4?t)，
∴S=S△QCE+S△QDE=
EQ(BC+AD)=
×2(4?t)×(8+
)=32；
②要使PQ∥CE，必须有∠PQA=∠CEB，则有△APQ∽△BCE，
∴
，
即AP?BE=AQ?BC
∴(8?2t)(4?t)=8t，
化简得
，
解得
，
由（1）可知：0故只取
，
∴当
时，PQ∥CE．
14.
（1）
（2）解：当R落在边
上时，得到下图
∵
，
，且
，
∴
，
又PQ∥AB，
∴∠PQR=90°，
∴△CQR∽△CBA，
∵PR∥BC，
∴△ARP∽△ABC，
∵AP=5t，
∴PR=4t，
又PQ∥AB，
∴∠PQR=90°，
∴△CQR∽△CBA，
∴PQ=
，
又PQ=
，
∴
，
解得：
；
故答案为：
．
（3）解：当
与
重叠部分图形为三角形时，
由（2）可知，当
时满足要求，
故此时QR=
；
∴S=
，
故答案为：S=
．
（4）t=
1
或t=
15.
（1）解：在Rt△ABC中，AB＝
＝5，
由题意知：AP＝5?t，AQ＝2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
，∴
，
∴t＝
，
∴当t＝
时，PQ∥BC；
（2）解：过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴
，∴
，
∴PH＝3?
，
∴y＝
×AQ×PH＝
×2t×（3?
）＝?
＋3t，
（3）解：若PQ把△ABC周长平分，则AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ，
∴（5?t）＋2t＝t＋3＋（4?2t），解得t＝1，
若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ＝
S△ABC
，
即?
＋3t＝3，
∵t＝1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分；
（4）解：过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP′C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM＝CM，
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴
，∴
，
∴PN＝
，
∴QM＝CM＝
，
∴
＋
＋2t＝4，解得：t＝
，
∴当t＝
s时，四边形PQP′C是菱形，
此时PM＝3?
＝
cm，CM＝
＝
cm，
在Rt△PMC中，PC＝
＝
cm，
∴菱形PQP′C边长为
cm．
16.
（1）解：设BP的长为
x
，正方形
DEFG的边长为y
，
由∠B=60°，PD垂直AB，则BD=2x，DE=y，EC=
，
∴有
，整理得：
；
（2）解：若BP=2，即x=2，可得
，
∴
；
（3）解：若△GDP
是直角三角形，则PG⊥GD，∴∠DPG=30°，即PD=2GD，
即
，解之得：
?，此即BP的长度．
17.
（1）解：如图②中，
∵AM⊥OQ，BN⊥OQ
∴∠AMO＝∠BNO＝90°
∴∠AOM+∠MAO＝90°
∵∠AOM+BON＝90°
∴∠MAO＝∠NOB
在△AMO和△ONB中，
，
∴△AMO≌△ONB．
∴ON＝AM，OM＝BN．
∵AM＝4，BN＝3，
∴MN＝AM+BN＝7．?
（2）解：PB的长为定值．
理由：如图③所示：过点E作EG⊥y轴于G点．
∵△AEB为等腰直角三角形，
∴AB＝EB，∠ABO+∠EBG＝90°．
∵EG⊥BG，
∴∠GEB+∠EBG＝90°．
∴∠ABO＝∠GEB．
在△ABO和△EGB中，
，
∴△ABO≌△EGB．??????
∴BG＝AO＝5，OB＝EG
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB＝BF
∴BF＝EG．
在△BFP和△GEP中，
，
∴△BFP≌△GEP．??????
∴BP＝GP＝
BG＝
．?
∴PB的长为定值．?
18.
（1）2；
（2）解：点P在边AB上，
当
时，点Q在D点，BP=16-2t，
若
即
；
当
时，点DQ=t-5，则
当
时，
，如图2，
即
解得t=3，不合题意舍去；
当
时，
如图3
即
解得t=6
综上所述，当
或t=6时，
BPQ与
ABC为相似；
（3）解：PB=16-2t，BQ=11-t，
当BP=BQ,则16-2t=11-t,解得t=5;
当PB=PQ,作PM
于M，如图4，
则
即
解得
综上所述，当
BPQ是以BP为腰的等腰三角形时，t的值为5或
.
19.
（1）（
t，t）；（10﹣
t，t）
（2）解：由（1）知：E（
t，t），F（10﹣
t，t），
∴EF=10﹣
t﹣
t=10﹣
t，
∵四边形POFE是平行四边形，
∴EF∥OP，且EF=OP，
即10﹣
t=2t，
解得：t=
，
∴当t为
时，四边形POFE是平行四边形；
（3）解：过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，
可得四边形EMNF是矩形，如图2，
①当PE⊥PF时，PE2+PF2=EF2
，
由（1）知：OM=
t，EM=FN=t，ON=10﹣
t，EF=10﹣
t，
∴PM=
t，PN=10﹣
t，
∵PE2=ME2+MP2
，
PF2=PN2+FN2
，
∴t2+（
t）2+（10﹣
t）2+t2=（10﹣
t）2
，
解得：t1=0（舍去），t2=
；
②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，
∵四边形EPNF是矩形，
∴EF=PN，
即：EF=ON﹣OP，
∴10﹣
t=10﹣
t﹣2t，
解得t=0（舍去）；
③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，
∵四边形EMPF是矩形，
∴EF=MP，
即EF=OP﹣OM，
∴10﹣
t=2t﹣
t，
解得：t=4，
∴当t=
和4时，使△PEF为直角三角形.
20.
（1）解：如图，过点
作
，垂足为
．
∵
点
，点
，
∴
，
．
∴
，
．
∵
是
绕点
顺时针旋转得到的，
，
∴
，点
在线段
上．
∴
．
在
中，
，
．
∴
点
的坐标为
（2）解：如图，连接
，过点
作
，垂足为
．
∵
，
，
∴
，
．
∴
．
在
中，
，
．
∴
．
∴
点
的坐标为
（3）解：连接
，设线段
的中点为
，连接
，取
的中点N，连接
、MN
∴MN为△A′OB的中位线，
∴MN=
OB=
由勾股定理可得
∴
≥
－MN=
（当且仅当M
在线段O′N上时，取等号）
∴
的最小值为
．
21.
（1）解：①如图1中，当直线弧
的圆心是AC或BC的中点时，
所在圆的半径r的最小，
当∠A＝45°，
此时r＝
AC＝
，
∴△ABC的中线弧
所在圆的半径r的最小值为
．
②如图2中，当中线弧
所在的圆与AC，AB都相切时，
的弧长最大，
此时，
的圆心在BC上，
∵ND⊥BD，
∴∠NDB＝90°，
∵∠A＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴BN＝2DN＝2CN，
∴3CN＝BC＝
，
∴CN＝
，
∴半径为
．
∴△ABC的最长的中线弧
的弧长l
（2）解：如图3中，若中线弧
在
线段CD的下方时，
∵△ABC的中线弧
所在的圆的圆心在线段CD使得垂直平分线上，
当中线弧
所在圆与BC相切时，可得P（0，5），
观察图象可知中线弧
所在圆的圆心P的纵坐标t≥5．
如图4中，若中线弧
在
线段CD的上方时，
当中线弧
所在圆与AC相切时，可得P（
，﹣
），
观察图象可知中线弧
所在圆的圆心P的纵坐标t≤﹣
．
综上所述，中线弧
所在圆的圆心P的纵坐标t的取值范围为：t≥5或t≤﹣
22.
（1）2；2
（2）解：过点E作EG⊥AD于点G，过点F作FH⊥AD于点H，如图1，
∴EG＝AE·cos30°＝
cm，AG=AE·
=1cm,
AH＝AF·cos30°＝3cm，
当0≤x≤1时，如图1，则AP＝xcm，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠B＝30°，
∴AM＝2AP＝2x，
∴AN＝AM·tan30°＝2x·
（cm），
∴y＝
，
即y＝
（0≤x≤1）；
当1＜x≤3时，如图2，则
ME＝AM﹣AE＝2x﹣2（cm），
∴EH＝ME·tan∠EMH＝
（cm），
∴
，
∴y＝
，
即y＝
（1＜x≤3）；
当3＜x≤4时，如图3，
∴AN＝
（cm），
∵MN∥BC，
∴∠ANG＝∠C＝60°，
∵NF＝AN﹣AF＝
（cm），
∴FG＝FN·tan60°＝2x﹣6（cm），
∴
，
∴y＝S△AMN﹣S△EMH﹣S△FNG＝
，
即y＝
（3＜x≤4）；
综上，y＝
；
（3）解：过点O作OH⊥BC于点H，OG⊥AC于点G，OK⊥AB于点K，连接OA，OB，如图4，
∵OC平分∠ACB，
∴OH＝OG，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC＝30°，∠ANM＝∠ACB＝60°，
∴OK＝OM·sin30°＝
OM，
OG＝ON·sin60°＝
ON，
∵OM＝ON，
∴OG=
，
∵AC＝AB·tan30°＝
，BC＝2AC＝
，
∵
，
∴8×
＝8OK+
，
∴OK＝
，
∴PD=OH=
，
∴AP＝2，
∴x＝2．
23.
（1）解：∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，
∴AC+BC＝14，
又∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝8，BC＝6，
∴a＝8×6＝48，
答：a的值是48.
（2）解：①∵∠ACB=90°
∴
又∵D为AB的中点
∴
∵
过C作CE⊥AB于E，
根据三角形的面积公式得：
6×8=10CE
解得
过P作PK⊥BQ于K，
∵
∴
∴
（I）当0（II）同理可求：当1（III）当2.5（IV）当3∵△PHC∽△BCA
∴
∴
∴PH=8-1.6t
∴
答：S与t之间的函数关系式是：
或
或
或
②2.5秒，
秒
24.
（1）解：2x
（2）解：如图①，当0y=2x·
?(5-5x)=-8x2+8x
如图②，当1时，重叠部分是四边形PNKQ，
y=
·
(5x-5)(5-3x+2x)
=-2x2+12x-10(5分)
如图③，当
时、重叠部分是△APN，
y=
·2x·
·2x=
x2
（3）解：x=
或
≤x<
25.
（1）1；
（2）解：S=
（3）解：能，t=
或t=
（4）解：t=
或t=
26.（1）
（2）解：当0时，△OCF∽△AOB时，
＝
，无解；
△OCF∽△OAB时，
＝
，得t1＝－6
(舍)，t2＝2
.
此时∠OCD＝60°＋60°＋60°＝180°；
当t>6
时，△OCF∽△AOB时，
＝
，
得t1＝－12＋6
(舍)，t2＝12＋6
.此时由∠AOC＝30°得∠AOF＝∠BAO＝∠ECD＝∠COF＝15°，得∠OCD＝90°；
△OCF∽△OAB时，
＝
，无解；
（3）解：不变，∠AFO＝60°.
当0时，如图1，延长OA、FE交于点G，可证△GAC∽△GFO，
，再证△GAF∽△GCO，得∠GFA＝∠GOC＝30°，得∠AFO＝60°；
当t>6
时，如图2，方法同上．
27.
（1）解：当t=2时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=2厘米，QC=4厘米，
∴PC=4，在Rt△PQC中PQ=
厘米；
（2）解：∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，
∴S△CPQ=
CP?CQ
=
，
∴t2﹣6t+5=0
解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）
∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；
（3）解：能垂直，理由如下：
延长QE交AC于点D，
∵将△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，则QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴
，
∴
，
∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
易证△ABC∽△DPE，
∴
∴
，
解得：t=
（0≤t≤4），
综上可知：当t=
时，PE⊥AB.
28.
（1）解：当0＜t≤
时，h＝2t．
当
＜t≤4时，h＝3﹣
（2t﹣3）＝
（2）解：当点E落在AC边上时，DQ∥AC，
∵AD＝DB，
∴CQ＝QB，
∴2t＝
，
∴t＝
．
（3）解：①如图1中，当0≤t＜
时，作PH⊥AB于H，则PH＝PA?sinA＝
﹣2t，
∴S＝
．
②如图2中，当
＜t≤4时，同法可得
．
（4）解：当点E落在直线CD上时，CD将?PEQD分成的两部分图形面积相等．有两种情形：
①当点E在CD上，且点Q在CB上时（如图3所示），
过点E作EG⊥CA于点G，过点D作DH⊥CB于点H，
易证Rt△PGE≌Rt△DHQ，
∴PG＝DH＝2，
∴CG＝2﹣t，GE＝HQ＝CQ﹣CH＝2t﹣
，
∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠DAC
∴在Rt△CEG中，tan∠ECG＝
，
∴t＝
．
②当点E在CD上，且点Q在AB上时（如图4所示），过点E作EF⊥CA于点F，
∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠ACD．
∵PE∥AD，∴∠CPE＝∠CAD＝∠ACD，∴PE＝CE，
∴PF＝
PC＝
，PE＝DQ＝
﹣2t，
∴在Rt△PEF中，cos∠EPF＝
，
∴t＝
综上所述，满足要求的t的值为
或
．