2020-2021学年九年级数学苏科版下册册6.2 黄金分割 培优训练（Word版含答案）

6.2 黄金分割 培优训练
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春?常熟市期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C．1 D．1
2．（2019秋?工业园区期末）小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.386cm D．7.64cm
3．（2019?兴化市二模）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则（　　）
A．AP2+BP2＝AB2 B．BP2＝AP?AB
C．AP2＝AB?BP D．AB2＝AP?PB
4．（2018秋?鼓楼区期末）如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（　　）
A． B． C． D．
5．（2019?苏州模拟）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　）
A．1 B．3 C． D．1或3
6．（2018秋?昌图县期末）一条线段的黄金分割点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
7．（2019?无锡二模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．（2018春?相城区期末）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2017秋?孝感期末）如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2018春?常熟市期末）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?高新区期末）点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为　　．
12．（2019秋?宿豫区期末）如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　　．
13．（2019秋?金湖县期末）若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝　　AB（用含无理数式子表示）．
14．（2019秋?徐州期末）点P在线段AB上，且．设AB＝4cm，则BP＝　　cm．
15．（2019秋?雨花台区期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　　cm．
16．（2019秋?沭阳县期末）已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则PQ＝　　．（结果保留根号）
17．（2019秋?诸暨市期末）已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1　　S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．
18．（2019秋?五华县期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝　　（结果保留根号）．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?宝应县月考）如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
20．（2017秋?义乌市校级月考）（1）已知0，求代数式的值；
（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．
21．（2018秋?金牛区校级期中）一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．请计算黄金比．
22．（2018?长丰县一模）如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
23．（2020春?高港区期中）二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简：．
解：将分子、分写同乘以得．
类比应用：（1）化简：　　．
（2）化简：．
拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC＝　　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为　　．
24．（2019?思明区校级模拟）如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020春?常熟市期末）点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，若AC＝2，则BC的长为（　　）
A． B． C．1 D．1
【分析】根据黄金分割的定义可得出较长的线段BCAC，将AC＝2代入即可得出BC的长度．
【解析】∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＜BC，
∴BCAC，
∵AC＝2，
∴BC1．
故选：D．
2．（2019秋?工业园区期末）小明同学发现自己一本书的宽与长之比是黄金比约为0.618．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　）
A．12.36cm B．13.6cm C．32.386cm D．7.64cm
【分析】根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解．
【解析】∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为20cm，
∴书的宽约为20×0.618＝12.36cm．
故选：A．
3．（2019?兴化市二模）已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则（　　）
A．AP2+BP2＝AB2 B．BP2＝AP?AB
C．AP2＝AB?BP D．AB2＝AP?PB
【分析】如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
【解析】∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，
∴AP2＝AB?BP．
故选：C．
4．（2018秋?鼓楼区期末）如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；所以APAB，代入数据即可得出AP的长度．
【解析】由于点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，
则APAB21．
故选：A．
5．（2019?苏州模拟）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　）
A．1 B．3 C． D．1或3
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
【解析】根据黄金分割点的概念得：ACAB1．
故选：A．
6．（2018秋?昌图县期末）一条线段的黄金分割点有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【分析】根据黄金分割的定义求解．
【解析】一条线段的黄金分割点有2个．
故选：B．
7．（2019?无锡二模）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】根据题意先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义进行求解即可．
【解析】∵模特身高165cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60，
∴0.60，
解得：x＝99，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：0.618，
解得：y≈8．
故选：C．
8．（2018春?相城区期末）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【解析】∵，
∴AB2＝2×（2﹣AB），
∴AB2+2AB﹣4＝0，
解得，AB1，AB21（舍去），
故选：C．
9．（2017秋?孝感期末）如果一个矩形的宽（即短边）与长（即长边）之比是，那么这个矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD是黄金矩形，点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，则图中黄金矩形的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据黄金矩形的判定解答．
【解析】∵矩形ABCD是黄金矩形．点E、F、G、H分别为线段AD、BC、AB、EF的中点，
∴图中黄金矩形有矩形AEGH，矩形GHFB，
故选：C．
10．（2018春?常熟市期末）如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定
【分析】根据黄金分割的定义得到BC2＝AC?AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝BC2，S2＝AC?AB，即可得到S1＝S2．
【解析】∵C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC2＝AC?AB，
∵S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，
∴S1＝BC2，S2＝AC?AB，
∴S1＝S2．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春?高新区期末）点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为　22或6﹣2　．
【分析】分两种情况，根据黄金分割的定义即可得出答案．
【解析】①当AC＞BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴ACAB＝22；
②当AC＜BC时，
∵点C是线段AB的黄金分割点，
∴BCAB＝22，
∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2；
综上所述，线段AC的长为22或6﹣2；
故答案为：22或6﹣2．
12．（2019秋?宿豫区期末）如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段＝原线段的倍，可得BC的长，同理求得AD的长，则AB即可求得．
【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，
∴较小线段AD＝BC，
则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣21，
解得：x＝2．
故答案为：2
13．（2019秋?金湖县期末）若点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，则AC＝　　AB（用含无理数式子表示）．
【分析】直接利用黄金分割的定义求解．
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴ACAB．
故答案为．
14．（2019秋?徐州期末）点P在线段AB上，且．设AB＝4cm，则BP＝　（6﹣2）　cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到点为AB的黄金分割点，则APAB＝22，然后计算AB﹣AP即可．
【解析】∵．
∴P点为AB的黄金分割点，
∴APAB4＝22，
∴BP＝4﹣（22）＝（6﹣2）cm．
故答案为（6﹣2）．
15．（2019秋?雨花台区期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　（22）　cm．
【分析】根据黄金分割的定义得到PAAB，然后把AB＝4cm代入计算即可．
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，
∴PAAB4＝（22）cm．
故答案为（22）．
16．（2019秋?沭阳县期末）已知点P、Q为线段AB的黄金分割点，且AB＝2，则PQ＝　24　．（结果保留根号）
【分析】先根据黄金分割的定义得出较长的线段AP＝BQAB，再根据PQ＝AP+BQ﹣AB，即可得出结果．
【解析】根据黄金分割点的概念，可知AP＝BQ2＝（1）．
则PQ＝AP+BQ﹣AB＝（1）×2﹣2＝（24）．
故本题答案为：24．
17．（2019秋?诸暨市期末）已知线段AB，点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB、AB为边的矩形的面积为S2，则S1　＝　S2（填＜、≤、＝、＞或≥）．
【分析】根据黄金分割的概念知AP：AB＝PB：AP，变形后求解．
【解析】根据黄金分割的概念得：AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB?AB，
则S1：S2＝AP2：（PB?AB）＝1，即S1＝S2．
故答案为：＝．
18．（2019秋?五华县期末）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝10．则AP＝　55　（结果保留根号）．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则APAB，代入数据即可得出AP的长．
【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则APAB，
故答案为：55．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?宝应县月考）如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
【分析】根据黄金比值为计算，得到答案．
【解析】∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴ABAC1，
∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（1）＝3．
20．（2017秋?义乌市校级月考）（1）已知0，求代数式的值；
（2）已知线段AB＝10cm，点C、点D是线段AB的两个不同黄金分割点，求C、D之间的距离．
【分析】（1）设k，利用比例性质得a＝2k，b＝3k，然后把a＝2k，b＝3k代入所求的代数式计算分式的运算即可．
（2）根据黄金比值是，求出AD、BC的长，根据CD＝AD+BC﹣AB代入计算得到答案．
【解析】（1）设k，可得：a＝2k，b＝3k，
把a＝2k，b＝3k代入．
（2）∵C、D是AB上的两个黄金分割点，
∴AD＝BCAB＝55，
∴CD＝AD+BC﹣AB＝1020cm．
21．（2018秋?金牛区校级期中）一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．请计算黄金比．
【分析】设AB＝1，AC＝x，根据黄金分割的概念列出比例式，得到一元二次方程，解方程得到答案．
【解析】设AB＝1，AC＝x，则BC＝1﹣x，
由，得AC2＝AB?CB，
则x2＝1×（1﹣x）
整理得；x2+x﹣1＝0，
解得：x1，x2（不合题意，舍去）．
故黄金比为：．
22．（2018?长丰县一模）如果一个矩形的宽与长的比值为，则称这个矩形为黄金矩形，如图，将矩形ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．
【分析】根据黄金分割设出矩形BCFE的长和宽，然后表示出矩形ABCD的宽，再求出宽与长的比值即可得证．
【解析】原矩形ABCD是为黄金矩形．
理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，
∵四边形BCFE为黄金矩形，
∴宽FC为x，
∵四边形AEFD是正方形，
∴AB＝xxx，
则，
∴原矩形ABCD是为黄金矩形．
23．（2020春?高港区期中）二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简：．
解：将分子、分写同乘以得．
类比应用：（1）化简：　2　．
（2）化简：．
拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC＝　　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为　　．
【分析】类比应用：（1）仿照题干中的过程进行计算即可；
（2）仿照题干中的过程进行计算，然后化简即可；
拓展延伸：（1）根据黄金矩形定义结合AB＝1进行计算即可；
（2）根据题意计算出AD的长，从而可得DF，证明DF和EF的比值是即可；
（3）在图②中，连结AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，根据三角形AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可．
【解析】类比应用：（1）根据题意可得：
化简：2；
故答案为：2；
（2）根据题意可得：
原式1
＝3﹣1
＝2；
拓展延伸：
（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
若黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
则黄金矩形ABCD的长BC为：
1：；
故答案为：；
（2）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：
AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，
根据黄金矩形的性质可知：
AD＝BC＝1：；
∴FD＝EC＝AD﹣AF1，
∴1；
所以矩形DCEF是黄金矩形；
（3）如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，
∵AB＝EF＝1，AD，
∴AE，
在△AED中，
S△AEDAD×EFAE×DG，
即AD×EF＝AE×DG，
则1DG，
解得DG．
所以点D到线段AE的距离为．
故答案为：．
24．（2019?思明区校级模拟）如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC?AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．
（Ⅰ）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；
（Ⅱ）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A（3，0），B（x0，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解；
（Ⅱ）根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断．
【解析】（Ⅰ）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴2，
∴b＝﹣4a，又b2＝ac
∴16a2＝ac．
且与y轴交于点（0，8），
∴c＝8．
∴a，b＝﹣2．
∴yx2﹣2x+8
（x﹣2）2+6，
∵0，
∴y有最小值为6．
答：y的最小值为6．
（Ⅱ）原点是线段AB的黄金分割点．理由如下：
∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），
把它向下平移后与x轴交于A（3，0），B（x0，0），
∴x0＝﹣1．
∴OA＝3，OB＝1，AB＝4+2．
OA2＝（3）2＝14+6．
OB?AB＝（1）（4+2）＝14+6．
∴OA2＝OB?AB．
答：原点是线段AB的黄金分割点．