2020-2021学年九年级数学苏科版下册第6章《图形的相似》单元培优卷（Word版 含答案）

《图形的相似》单元培优卷
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?南通期中）已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．（2019秋?仪征市校级月考）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9，b＝4，则c长（　　）
A．18 B．5 C．6 D．±6
3．（2019?苏州模拟）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　）
A．1 B．3 C． D．1或3
4．（2020?灌云县模拟）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
5．（2019秋?建邺区期末）下列说法正确的是（　　）
A．所有等边三角形都相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似
D．所有矩形都相似
6．（2020?锡山区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
7．（2020春?吴中区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
8．（2020春?江阴市期中）如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE，S△BCE，则BC＝（　　）
A．4 B．8 C．5 D．10
9．（2020春?常熟市期末）如图，已知?ABCD，AB＝2，AD＝6，将?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH的长为（　　）
A． B． C．5 D．无法确定
10．（2019秋?泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋?宝应县期末）如图，以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是　　．
12．（2019秋?靖江市校级期中）一个人拿着一把有厘米刻度的小尺站在距离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长40cm，则电线杆的高度为　　m．
13．（2019?通州区模拟）如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC＝15cm，BC＝20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是　　cm2．
14．（2020?镇江二模）如图，DE交△ABC边AC、BC的延长线分别于D、E两点，且DE∥AB，若，则△CDE与△ABC的面积比为　　．
15．（2020?南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　　．
16．（2019秋?扬州期中）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　　个．
17．（2018秋?赣榆区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　　时，△BPQ与△BAC相似．
18．（2019秋?赣榆区期末）已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈　　cm．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?新吴区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A（1，0）、B（3，0）、C（0，1）．
（1）△ABC的外接圆圆心M的坐标为　　．
（2）①以点M为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，位似比为2：1．
②点D坐标为　　．
（3）△DEF的面积为　　个平方单位．
20．（2020秋?宝应县月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD?BC＝DE?AC．
21．（2020?镇江模拟）如图所示，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝60°，D、E分别为AC、BC的中点，以DE为直角边画出等腰直角三角形△DEF．
（1）证△CDE与△BEH相似；
（2）若DE＝1，求AB的长．
22．（2019秋?东台市期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
23．（2019秋?海陵区校级期中）△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，点E是BD上一点．
（1）如图（1），若点D在AB的垂直平分线上，求CD的长．
（2）如图（2），连接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求点E到AC的距离．
（3）若点E到三角形两边的距离均为1.5，求CD的长．（直接写出答案）．
24．（2020?徐州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
25．（2019秋?南通期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），动点P从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿AO向O运动，在点P出发的同时，动直线EF从x轴出发，以每秒1个长度单位沿y轴方向向上平移，分别与y轴、线段AB交于EP、FP．设运动时间为ts（0＜t≤2）．
（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△EOP与△AOB相似？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
（2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2019秋?南通期中）已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据比例的性质，即可得到2x＝3y，进而得出．
【解析】∵，
∴5x＝3x+3y，
即2x＝3y，
∴，
故选：A．
2．（2019秋?仪征市校级月考）已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝9，b＝4，则c长（　　）
A．18 B．5 C．6 D．±6
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出c．
【解析】根据比例中项的概念，得c2＝ab＝36，c＝±6，
又线段不能是负数，﹣6应舍去，取c＝6，
故选：C．
3．（2019?苏州模拟）若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　）
A．1 B．3 C． D．1或3
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
【解析】根据黄金分割点的概念得：ACAB1．
故选：A．
4．（2020?灌云县模拟）如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC的是（　　）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D．
【分析】A、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
B、加一公共角，根据两角对应相等的两个三角形相似可以得结论；
C、其夹角不相等，所以不能判定相似；
D、其夹角是公共角，根据两边的比相等，且夹角相等，两三角形相似．
【解析】A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC；
C、∵，
当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件不能判定△ACP∽△ABC；
D、∵，
又∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC，
所以此选项的条件可以判定△ACP∽△ABC，
本题选择不能判定△ACP∽△ABC的条件，
故选：C．
5．（2019秋?建邺区期末）下列说法正确的是（　　）
A．所有等边三角形都相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似
D．所有矩形都相似
【分析】根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．
【解析】（A）等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
（B）一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
（C）直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
（D）矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A．
6．（2020?锡山区校级模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为BC中点，H，G分别是边AB，CD上的动点，且始终保持GH⊥AE，则EH+AG最小值为（　　）
A．2 B． C． D．1
【分析】过G作GN⊥AB于N，依据△ABE∽△GNH，即可得到GH的长；以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，可得AG+HE＝ME+HE，当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，再根据勾股定理求得HM的长，即可得到EH+AG的最小值．
【解析】如图所示，过G作GN⊥AB于N，则∠ANG＝90°，GN＝AD＝2，
∵GH⊥AE，
∴∠ANG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAE＝∠NGH，
∴△ABE∽△GNH，
∴，
∵Rt△ABE中，AE，
∴，
∴GH，
如图所示，以AG，AE为邻边作平行四边形AEMG，则AG＝ME，GM＝AE，∠HGM＝∠AFG＝90°，
∴AG+HE＝ME+HE，
当H，E，M在同一直线上时，AG+HE的最小值等于HM的长，
此时，Rt△GHM中，HM，
∴EH+AG的最小值为，
故选：B．
7．（2020春?吴中区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解析】∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DEBC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2，
∴，
∴△ABC的面积为16，
故选：A．
8．（2020春?江阴市期中）如图，AC⊥BC，AC：BC＝3：4，D是AC上一点，连接BD，与∠ACB的平分线交于点E，连接AE，若S△ADE，S△BCE，则BC＝（　　）
A．4 B．8 C．5 D．10
【分析】过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，设BC＝4x，则AC＝3x，根据角平分线的性质得到EF＝EG，根据三角形的面积得到CD＝2x，根据正方形的性质得到EF＝FC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】过点E作BC，AC的垂线，垂足分别为F，G，
设BC＝4x，则AC＝3x，
∵CE是∠ACB的平分线，EF⊥BC，EG⊥AC，
∴EF＝EG，
又S△BCE，S△ADE，
∴ADBC＝x，
∴CD＝2x，
∵四边形EFCG是正方形，
∴EF＝FC，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴，即，
解得，EFx，
则4xx，
解得，x＝2，
则BC＝4x＝8，
故选：B．
9．（2020春?常熟市期末）如图，已知?ABCD，AB＝2，AD＝6，将?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH的长为（　　）
A． B． C．5 D．无法确定
【分析】先利用平行四边形的性质得到CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，再根据旋转的性质得到∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，接着证明△ADC∽△AEH，然后利用相似比求出EH，从而得到FH的长．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝6，∠D＝∠ABC，
∵?ABCD绕点A顺时针旋转得到?AEFG，且点G落在对角线AC上，
∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝2，EF＝BC＝6，∠E＝∠ABC，
∴∠E＝∠D，
而∠DAC＝∠HAE，
∴△ADC∽△AEH，
∴AD：AE＝DC：EH，即6：2＝2：EH，解得EH，
∴FH＝EF﹣EH＝6．
故选：B．
10．（2019秋?泰兴市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4），B（﹣4，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A’的坐标是（　　）
A．（1，﹣2） B．（2，1）
C．（﹣2，﹣1）或（2，1） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点A的坐标为（﹣2，4），
则点A的对应点A′的坐标为（﹣2，4）或（2，﹣4），即（﹣1，2）或（1，﹣2），
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11．（2018秋?宝应县期末）如图，以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是　1：4　．
【分析】根据位似变换的性质定义得到四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，根据相似多边形的性质计算即可．
【解析】以点O为位似中心，将四边形ABCD按1：2放大得到四边形A′B′C′D′，
则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，相似比为1：2，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是1：4，
故答案为：1：4．
12．（2019秋?靖江市校级期中）一个人拿着一把有厘米刻度的小尺站在距离电线杆约20m的地方，他把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆，已知臂长40cm，则电线杆的高度为　6　m．
【分析】如图，要求电线杆DE的高度可以利用△ABC∽△AED，它们的对应边成比例可直接求出．
【解析】过A作AF⊥DE交BC于O，
∵BC∥ED，
∴AO⊥BC，
∴△ABC∽△AED，
∴，
∵BC＝0.12m，AO＝0.4m，AF＝20m，DE6（米），
∴电线杆的高度近似为6米．
13．（2019?通州区模拟）如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC＝15cm，BC＝20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是　　cm2．
【分析】先利用勾股定理计算出AB＝25，再利用面积法计算出CD＝12，接着证明△CEF∽△CAB，则可计算出EF?25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为?25，…，从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为?25，且所有矩形的宽的都为?12，然后把所有矩形的面积相加即可．
【解析】如图，∵∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，
∴AB25，
∵CD?ABAC?BC，
∴CD＝12，
∵斜边上的高CD分成n等分，
∴CH，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，解得EF?25，
即从上往下数，第1个矩形的长为?25，
同理可得从上往下数，第2个矩形的长为?25，
…
从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为?25，
而所有矩形的宽都为?12，
∴这（n﹣1）张纸条的面积和是＝[?25?25?25]??12
（1+2+…+n﹣1）??12
（cm2）．
故答案为．
14．（2020?镇江二模）如图，DE交△ABC边AC、BC的延长线分别于D、E两点，且DE∥AB，若，则△CDE与△ABC的面积比为　4：9　．
【分析】由DE∥AB可判定△CDE∽△CAB，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得答案．
【解析】∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵，
∴，
故答案为：4：9．
15．（2020?南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于　　．
【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【解析】∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
16．（2019秋?扬州期中）如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　3　个．
【分析】根据已知分两种情况△PAD∽△PBC或△PAD∽△CBP来进行分析，求得PD的长，从而确定P存在的个数．
【解析】∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝90°
∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．
设PD＝x，则PC＝10﹣x；
①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC
∴x：（10﹣x）＝2：12，
解得x，即PD；
②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP
∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．
∴这样的点P存在的个数有3个．
故答案为3．
17．（2018秋?赣榆区期末）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝　1或4　时，△BPQ与△BAC相似．
【分析】直接利用△BPQ∽△BAC或△BPQ∽△BCA，分别得出答案．
【解析】当△BPQ∽△BAC时，
则，
∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，
∴BP＝2，
故，
解得：BQ＝4；
当△BPQ∽△BCA时，
则，
∵AB＝4，BC＝8，点P是AB边的中点，
∴BP＝2，
故，
解得：BQ＝1，
综上所述：当BQ＝1或4时，△BPQ与△BAC相似．
故答案为：1或4．
18．（2019秋?赣榆区期末）已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈　6.18　cm．
【分析】根据黄金分割的定义求解．
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，
∴APAB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2019秋?新吴区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为点A（1，0）、B（3，0）、C（0，1）．
（1）△ABC的外接圆圆心M的坐标为　（2，2）　．
（2）①以点M为位似中心，在网格区域内画出△DEF，使得△DEF与△ABC位似，且点D与点A对应，位似比为2：1．
②点D坐标为　（4，6）　．
（3）△DEF的面积为　4　个平方单位．
【分析】（1）直接利用三角形外心是各边垂直平分线交点得出M位置；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出答案．
【解析】（1）如图：M（2，2）；
故答案为：（2，2）；
（2）①如图所示：△DEF即为所求；
②D（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（3）△DEF的面积为：4×2＝4．
故答案为：4．
20．（2020秋?宝应县月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，试说明：
（1）△ABE∽△ACD；
（2）AD?BC＝DE?AC．
【分析】（1）根据题目中的条件，可以得到∠AEB＝∠ADC，再根据∠A＝∠A，即可得到△ABE∽△ACD；
（2）根据（1）中的结论，可以得到，再根据∠A＝∠A，即可得到△ADE∽△ACB，然后即可得到，从而可以AD?BC＝DE?AC．
【解析】（1）∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE∽△ACD；
（2）∵△ABE∽△ACD，
∴，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴AD?BC＝DE?AC．
21．（2020?镇江模拟）如图所示，Rt△ABC中∠C＝90°，∠A＝60°，D、E分别为AC、BC的中点，以DE为直角边画出等腰直角三角形△DEF．
（1）证△CDE与△BEH相似；
（2）若DE＝1，求AB的长．
【分析】（1）由中位线定理证得∠DEC＝∠EBH，证明∠DCE＝∠EHB．则可得出结论；
（2）由中位线定理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵D、E分别为AC、BC的中点，
∴DE∥BC，
∴∠DEC＝∠EBH，∠DEF＝∠EHB＝90°，
∵∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠EHB．
∴△CDE∽△HEB；
（2）解：∵D、E分别为AC、BC的中点，DE＝1，
∴AB＝2DE＝2．
22．（2019秋?东台市期末）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）求证：△AFD∽△CFE．
【分析】（1）根据两组对角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据直角三角形的性质得到CE＝BE＝AE，根据等腰三角形的性质得到∠EAC＝∠ECA，推出AD∥CE即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴AC2＝AB?AD；
（2）证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝BE＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD，
∴△AFD∽△CFE．
23．（2019秋?海陵区校级期中）△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，点D是AC上的一点，点E是BD上一点．
（1）如图（1），若点D在AB的垂直平分线上，求CD的长．
（2）如图（2），连接AE，若AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，求点E到AC的距离．
（3）若点E到三角形两边的距离均为1.5，求CD的长．（直接写出答案）．
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得AD＝BD，AF＝BF＝5，设CD＝x，在Rt△BCD中，根据勾股定理列出方程即可解得CD的长；
（2）过点E作EF⊥AC于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接CE，根据角平分线的性质可得EF＝EM＝EN，AE、BE、CE将△ABC分割成三个三角形，利用面积关系S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，即可求出EF的长；
（3）根据题意可分三种情况：①如图3所示，当点E到AB和BC的距离为1.5时，此时点E在∠CBA的角平分线上，设CD＝x，则DF＝x，AD＝8﹣x，在Rt△AFD中，根据勾股定理列出方程即可求出CD的长；②如图4所示，当点E到AC和BC的距离为1.5时，此时点E在∠BCA的角平分线上，可得矩形ENCM是正方形，设CD＝x，则DM＝x﹣1.5，利用△DEM∽△DBC，对应边成比例即可求出CD的长；③如图5所示，当点E到AC和AB的距离为1.5时，此时点E在∠BAC的角平分线上，得矩形EFCN，利用面积关系S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，可求出EF的长即为CN的长，再证明△DEN∽△DBC，对应边成比例即可求出CD的长．
【解析】∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝8，
∴AB10．
（1）如图1所示，
∵点D在AB的垂直平分线上，
设AB的垂直平分线为DF，垂足为F，
∴AD＝BD，AF＝BFAB＝5，
设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，
在Rt△BCD中，根据勾股定理，得
62+x2＝（8﹣x）2，
解得x，
∴点D在AB的垂直平分线上时，CD的长为；
（2）如图2所示，过点E作EF⊥AC于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，连接CE，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AC，EM⊥AB，
∴EF＝EM，
∵BE平分∠ABC，EN⊥BC，EM⊥AB，
∴EN＝EM，
∴EF＝EM＝EN，
设EF＝EM＝EN＝x，则：
S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，
即AC?BCAC?EFAB?EMBC?EN，
∴6×8＝8x+10x+6x，
解得x＝2，
∴点E到AC的距离为2；
（3）根据题意可分三种情况：
①如图3所示，当点E到AB和BC的距离为1.5时，此时点E在∠CBA的角平分线上，
即BD平分∠ABC，过点D作DF⊥AB于点F，
则CD＝DF，
∵∠C＝∠BFD＝90°，BD＝BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），
∴BF＝BC＝6，
∴AF＝4，
设CD＝x，则DF＝x，AD＝8﹣x，
在Rt△AFD中，根据勾股定理，得
42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴当点E到AB和BC的距离为1.5时，CD＝3；
②方法一：
如图4所示，当点E到AC和BC的距离为1.5时，此时点E在∠BCA的角平分线上，
即CE平分∠BCA，过点E作EM⊥AC于点M，EN⊥BC于点N，
此时EM＝EN＝1.5，EM∥BC，
∵∠NCM＝90°，EM⊥AC，EN⊥BC，
∴四边形ENCM是矩形，
∵EM＝EN，
∴矩形ENCM是正方形，
∴CM＝1.5，
设CD＝x，则DM＝x﹣1.5，
∵EM∥BC，
∴△DEM∽△DBC，
∴，
即，
解得x＝2，
方法二：
∵S△BCD＝S△BEC+S△CED，
∴BC?CD＝1.5BC+1.5CD，
即6x＝9+1.5x，
解得x＝2，
∴CD＝2．
∴当点E到AC和BC的距离为1.5时，CD＝2；
③方法一：
如图5所示，当点E到AC和AB的距离为1.5时，此时点E在∠BAC的角平分线上，
即AE平分∠BAC，过点E作EM⊥A于B点M，EN⊥AC于点N，
此时EM＝EN＝1.5，作EF⊥BC于点F，
得矩形EFCN，
∵S△ABC＝S△AEC+S△AEB+S△BEC，
即AC?BCAC?ENAB?EMBC?EF，
∴6×8＝8×1.5+10×1.5+6EF，
解得EF，
∴CN＝EF，
设CD＝x，则DN＝x，
∵EN∥BC，
∴△DEN∽△DBC，
∴，
即，
解得x，
方法二：
设CD＝x，则AD＝8﹣x，EM＝EN＝1.5，AB＝10，BC＝6，
∵S△BEA+S△DEA＝S△BDA，
∴AB?EMAD?ENAD?BC，
即10×1.5+1.5（8﹣x）＝6（8﹣x），
解得x．
∴当点E到AC和AB的距离为1.5时，CD．
综上所述，点E到三角形两边的距离均为1.5，CD的长为3或2或．
24．（2020?徐州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解析】根据勾股定理得：BA；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t．
25．（2019秋?南通期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），动点P从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿AO向O运动，在点P出发的同时，动直线EF从x轴出发，以每秒1个长度单位沿y轴方向向上平移，分别与y轴、线段AB交于EP、FP．设运动时间为ts（0＜t≤2）．
（1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△EOP与△AOB相似？若存在，请求出所有符合题意的t的值；若不存在，请说明理由．
（2）若△PEF是等腰三角形，求t的值．
【分析】（1）分两种情况，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案；
（2）分三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质和勾股定理进行解答即可．
【解析】（1）存在，理由如下：
∵A、B两点的坐标分别为（4，0）和（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
当∠EPO＝∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴，即，
解得：t；
当∠EPO＝∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴，即，
解得：t；
综上所述，存在某一时刻t，使得△EOP与△AOB相似，t的值为s或s；
（2）分三种情况：
①当PE＝PF时，如图1所示：
作PG⊥EF于G，
则FG＝EG＝OP，
∴EF＝2EG＝2OP，
∵EF∥OA，
∴△BEF∽△BOA，
∴，
即，
解得：EF（3﹣t），
∴（3﹣t）＝2（4﹣2t），
解得：t；
②当EP＝EF时，t2+（4﹣2t）2＝[（3﹣t）]2，
整理得：29t2﹣48t＝0，
解得：t＝0（不合题意舍去），或t；
③当FE＝FP时，作FG⊥OA于G，如图3所示：
则OG＝EF（3﹣t），PG＝OG﹣OP（3﹣t）﹣（4﹣2t），
∵FE2＝FP2，
∴[（3﹣t）]2＝t2+[（3﹣t）﹣（4﹣2t）]2，
解得：t＝16+4（不合题意舍去），或t＝16﹣4；
综上所述，若△PEF是等腰三角形，t的值为s或s或（16﹣4）s．