2020-2021学年高二下学期数学人教A版期末模拟测试卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在下列选项中,能正确表示集合和关系的是( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足,则z的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.在中, ,,,则 (??? )
A. B.
C. 或 D.以上答案都不对
4.直线被圆截得的弦长为( )
A.1 B.2 C. D.
5.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
6.某种产品的广告费支出x(万元)与销售额y(万元)之间有如表所示的线性相关关系,y与x的经验回归方程为,当广告支出5万元时,残差为( )
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
A.10 B.20 C.30 D.40
7.的展开式中有理项的项数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.曲线在处的切线的倾斜角为α,则的值为( )
A. B. C. D.
9.若函数的图像的一个对称中心是,则的最小值为( )
A.1 B.2 C.4 D.8
10.三棱锥中,是边长为3的正三角形,平面,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知定义在R上的偶函数,其导函数为;当时,恒有,若,则不等式的解集为
A. B.
C. D.
12.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知与,要使最小,则实数t的值为______________.
14.记为数列的前项和.若,则__________.
15.正实数满足:,则当取最小值时,____________.
16.已知A是锐二面角中内一点,AB垂直于点B,,点A到l的距离为2,则二面角的平面角的大小为____________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. (12分)已知数列满足.
(1)证明:是等比数列;
(2)求.
18. (12分)如图,四棱锥中,底面为平行四边形, ,,,底面
(1)证明: ;
(2)若,求二面角的余弦值。
19. (12分)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:.
参考公式:相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
.
20. (12分)已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点.
(1) 求抛物线的方程;
(2) 设为抛物线上的不同三点,点,且.求证:
直线过定点.
21. (12分)已知函数在处有极值.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上有且仅有一个零点,求实数b的取值范围.
(二)选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修4?–?4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
;过点的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若成等比数列,求a的值.
23. [选修4?–?5:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若存在,使得,求实数a的取值范围.
答案以及解析
一、选择题
1.答案:C
解析:解方程,得或,所以.
又,所以.故选C.
2.答案:B
解析:由,得,所以.故选B.
3.答案:A
解析:在中,由正弦定理,得,即,解得.
∵以及大边对大角,
∴,
∴.
故选A
4.答案:D
解析:圆的方程可化为,圆心恰好在直线l上,所以弦长即为圆的直径,故弦长为,故选D.
5.答案:A
解析:依题意,,故切线斜率,
故所求切线方程为,即.
6.答案:A
解析:因为y与x的经验回归方程为,
所以当时,.
由表格知当广告支出5万元时,销售额为60万元,所以残差为.故选A.
7.答案:C
解析:.又的展开式的通项,所以.当x的指数是整数时,该项为有理项,所以当,2,4,6,8时,该项为有理项,即有理项的项数为5.故选C.
8.答案:D
解析:依题意, ,所以,
所以
故选:D.
9.答案:B
解析:由题意知,所以,又,则,故选B.
10.答案:C
解析:设的中心为,则球心为过且垂直于平面ABC的直线与PA垂直平分面的交点,
因为是边长为3的正三角形,
所以,
又,
所以,
,
故选:C.
11.答案:A
解析:是定义在R上的偶函数,
.
时,恒有,
两边同乘以得:.
,
,
在为减函数.
为偶函数,
为偶函数.
,
,
,
,
即,
解得,
故选A.
12.答案:C
解析:令导数,解得;
令导数,解得,
所以函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,
所以在处取得极大值,也是最大值,故选C.
二、填空题
13.答案:
解析:∵,∴.∴所以当时,有最小值.
14.答案:-63
解析:由,得,所以.
当时, ,
得.
∴是首项为-1,公比为2的等比数列,
∴.
15.答案:
解析: ,
,
当且仅当,即时,等号成立.
故答案为.
16.答案:60°
解析:过点A作l的垂线设垂足为C,连接BC.由于,则为直角三角形,就是锐二面角的平面角.易得,因此,即二面角的平面角的大小是60°.
三、解答题
17.答案:(1)由得:,·
因为,
所以,
从而由得,
所以是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)得,
所以
.
18.答案:(1)因为,,
由余弦定理得,从而,∴,
∵平面,平面,
∴,又,
∴平面,所以。
(2)以D为坐标原点, 分别为的正半轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面的法向量为,则,
即因此,令,则,
设平面的法向量为
则, 即,可取,
则.
由图知二面角为钝角,
故二面角的余弦值为。
19.答案:(1)由题图中数据和附注中参考数据得
,
,
.
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由及(1)得,
.
所以y关于t的回归方程为.
将2016年对应的代入回归方程得.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨.
20.答案:(1)依题意,,所以.
(2)设直线的方程为,与抛物线联立得,
设,由得
化简得,
解得或(舍)
所以直线过定点
21.答案:(1)?,由题意知: ,得.
∴, 令,得或, 令,得.
∴的单调递增区间是和, 单调递减区间是.
(2)由1知, ,为函数的极大值, 为极小值,又∵要使得函数在区间上有且仅有一个零点?则即 ∴,即b的取值范围是
22.答案:(1)曲线C的普通方程为,
直线的普通方程为
(2)将直线的参数表达式代入抛物线得,
因为
由题意知,
代入得.
23.答案:(1)不等式的解集为.
(2)由(1)知,
因为存在,使得,所以,
所以,解得或.
所以实数a的取值范围为.