由递推公式求通项公式
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专题-----由递推公式求通项公式
一：累加法（形如， 求）
利用。求得
例1、（1）已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：是等差数列，利用等差数列公式可求
（2）已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
练习：1. 已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以 ，
2.已知数列满足，，则=________ ；
3.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得
则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
4.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故
因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
二：累乘法（形如 求） 。例2、已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
练习：1.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
三：待定系数法（构造法）
（1）形如“” 适用于待定系数法或构造法
①令；
由得，.
（2）形如一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。
例3、（1）已知数列中，，求数列的通项公式.
解：，
是以为公比的等比数列，其首项为
（2）已知数列中，，求数列的通项公式.
解：，，令
则 ，
例4、设数列：，求
练习：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
2. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得
整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
3. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则
等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
四：取倒数法（形如的递推数列都可以用倒数法求通项。）
例5、 数列中，，则的通项 .
解： 由，得
例2、数列中，，求数列的通项公式.
解：取倒数：
是等差数列，
练习：已知数列满足=1，，求；
五、取对数法
例6、 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法
例7、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。
七、数学归纳法
例8、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得
由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例9、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得
即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
九、不动点法
例10 、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为
。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
练习： 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
1
一：累加法（形如， 求）
利用。求得
例1、（1）已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：是等差数列，利用等差数列公式可求
（2）已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则
所以数列的通项公式为。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
练习：1. 已知数列满足，，求。
解：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即
所以 ，
2.已知数列满足，，则=________ ；
3.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得
则
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
4.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，得，
则，故
因此，
则
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
二：累乘法（形如 求） 。例2、已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即
又，
练习：1.已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
三：待定系数法（构造法）
（1）形如“” 适用于待定系数法或构造法
①令；
由得，.
（2）形如一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。
例3、（1）已知数列中，，求数列的通项公式.
解：，
是以为公比的等比数列，其首项为
（2）已知数列中，，求数列的通项公式.
解：，，令
则 ，
例4、设数列：，求
练习：1. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
2. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑥
将代入⑥式，得
整理得。
令，则，代入⑥式得
⑦
由及⑦式，
得，则，
故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。
3. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设 ⑧
将代入⑧式，得
，则
等式两边消去，得，
解方程组，则，代入⑧式，得
⑨
由及⑨式，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。
评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
四：取倒数法（形如的递推数列都可以用倒数法求通项。）
例5、 数列中，，则的通项 .
解： 由，得
例2、数列中，，求数列的通项公式.
解：取倒数：
是等差数列，
练习：已知数列满足=1，，求；
五、取对数法
例6、 已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
六、迭代法
例7、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以
又，所以数列的通项公式为。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。
七、数学归纳法
例8、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得
由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例9、 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
故，代入得
即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
九、不动点法
例10 、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的两个不动点。因为
。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
练习： 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则是函数的不动点。
因为，所以。
评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
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